RA.1 · Relativistic lifetime, energy and Doppler shift

อนุภาคที่ไม่เสถียรที่มีความเร็วสูงสามารถเดินทางไกลกว่าที่อายุขัยในกรอบหยุดนิ่งคูณด้วยความเร็วจะบ่งบอกไว้

ความรู้พื้นฐาน: 6, 42.

• เชื่อมโยงอายุขัยproper กับเวลาและระยะทางในlaboratory
• ใช้พลังงาน-โมเมนตัม invariant และพลังงานจลน์สัมพัทธภาพ
• สรุปความเร็วถอยห่างแนวตั้งจากอัตราส่วนคลื่น

สำหรับความเร็วสัมพัทธ์ v, กำหนด β=v/c และ γ=1/sqrt(1−β²). เวลาproper (proper time) วัดตามเส้นโลก (worldline) ของอนุภาคโดยนาฬิกาที่อยู่นิ่งเทียบกับอนุภาคนั้น หากเวลาเฉลี่ยproperของอนุภาคคือ τ0, เวลาเฉลี่ยในห้องทดลองจะเป็น γτ0 และระยะทางเฉลี่ยที่จะเดินทางคือ vγτ0 ที่ความเร็วคงที่ การสลายตัวเป็นปรากฏการณ์ทางสถิติ: เวลาเฉลี่ยไม่ใช่เวลาที่รับประกันว่าจะสลายตัวสำหรับแต่ละอนุภาค เมื่อ β=0.8, γ=5/3. คำนวณเหตุการณ์ในกาล-อวกาศให้สอดคล้องกันภายในกรอบอ้างอิงเดียว; เวลาproperและเวลาพิกัดเป็นปริมาณที่แตกต่างกัน

พลังงานทั้งหมดคือ E=γmc², โมเมนตัม p=γmv และ invariant E²−p²c²=m²c⁴. เมื่อ E และ pc แสดงในหน่วยพลังงานเดียวกัน, หา mc²=sqrt(E²−(pc)²), ไม่ใช่ E−pc. ต้องใช้รากที่สองที่ไม่เป็นลบเพื่อมวลหยุดนิ่งบวก. สำหรับ E=13 GeV และ pc=12 GeV, พลังงานหยุดนิ่งคือ 5 GeV และมวลคือ 5 GeV/c². อนุภาคไร้มวลมี E=pc แต่ไม่จำเป็นต้องมีพลังงานหรือโมเมนตัมเป็นศูนย์.ความสัมพันธ์เหล่านี้เกี่ยวกับ four-momentum ของอนุภาคโดดเดี่ยว ไม่ใช่ mv แบบคลาสสิกที่ความเร็วสัมพัทธภาพ

งานที่ใช้เร่งอนุภาคจากสถานะหยุดนิ่งเท่ากับพลังงานจลน์ K=E−mc²=(γ−1)mc². เมื่อ β=0.6, γ=1.25 และ K=0.25mc², ในขณะที่ค่าเชิงกลศาสตร์แบบคลาสสิก ½mv² ให้ค่า 0.18mc². พลังงานจลน์เชิงกลศาสตร์แบบคลาสสิกเป็นการขยายกำลังต่ำและความเร็วจะมีความคลาดเคลื่อนใกล้ความเร็วแสง c. งานที่เพิ่มการเร่งอย่างจำกัดจะทำให้ค่า γ เพิ่มขึ้นแทนที่จะทำให้อนุภาคที่มีมวลสามารถถึงความเร็ว c หรือเกิน c ได้. ควรแยกพลังงานรวม, พลังงานหยุดนิ่ง และพลังงานจลน์ออกจากกันเมื่อตีความหน่วยคำตอบ

สำหรับการถอยห่างแนวตั้งใน special relativity, อัตราส่วนคลื่น r=λ_observed/λ_emitted=sqrt((1+β)/(1−β)). จัดรูปใหม่จะได้ β=(r²−1)/(r²+1). อัตราส่วน r=2 ให้ β=3/5, ไม่ใช่ c times r−1 จากประมาณความเร็วต่ำ. Blueshift ใช้ r<1 และพารามิเตอร์การถอยห่างเป็นลบภายใต้ธรรมเนียมนี้. สูตรสมมติว่าการกระจัดเป็น kinematic ทั้งหมด; การขยายตัวทางจักรวาลหรือ gravitational redshift ต้องใช้โมเดลที่ต่างออกไป ระบุโมเดลที่กำหนดในโจทย์ก่อนตีความอัตราส่วนสเปกตรัม

พลังงานรวมและโมเมนตัมกำหนดมวลนิ่งที่ไม่แปรเปลี่ยน

เมื่อ E = 17 GeV และ pc = 15 GeV, มวลนิ่งคือ 8 GeV/c² อย่าลบโมเมนตัมออกจากพลังงานโดยตรง

อย่าใช้อายุขัยจริงเป็นเวลาในห้องปฏิบัติการ ลบ pc ออกจาก E เพื่อหามวลหยุดนิ่ง หรือใช้คำประมาณดอปเปอร์คลาสสิกสำหรับอัตราส่วนความยาวคลื่นขนาดใหญ่

เวลาเฉพาะ (proper time): เวลาที่บันทึกโดยนาฬิกาที่เคลื่อนที่ไปกับวัตถุตามเส้นโลก (worldline) ของวัตถุนั้น

พลังงานหยุดนิ่ง (rest energy): พลังงาน mc² ที่เกี่ยวข้องกับมวลหยุดนิ่งของวัตถุ