TS.2 · Speed distributions and statistical ensembles

แก๊สสามารถมีความเร็วเฉลี่ยเป็นศูนย์ได้ขณะที่อนุภาคมีความเร็วเฉลี่ยที่สำคัญ ทิศทางตรงกันข้ามจะหักล้างกันในความเร็วเฉลี่ยแบบเวกเตอร์; ความเร็วไม่มีเครื่องหมาย

ความรู้ก่อนหน้า: 4, 35.

• ทำให้อนุภาคความหนาแน่นความเร็วต่อเนื่องเป็นมาตรฐาน และตีความหน่วยของอนุภาค
• แยกแยะค่าเฉลี่ยเวกเตอร์ ค่าเฉลี่ยความเร็ว และความเร็วที่มีโอกาสเกิดขึ้นมากที่สุด
• ใช้น้ำหนักแบบโบลต์ซมันน์พร้อมกับการจัดระดับพลังงานซ้ำและการแบ่งฟังก์ชัน

สำหรับ probability density f(v) แบบ continuous, f(v)dv ประมาณความน่าจะเป็นในช่วงแคบ และ ∫from 0to∞ f(v)dv=1. ความหนาแน่นมีหน่วย inverse-speed และไม่ใช่ probability เอง. ถ้า P(v)dv นับอนุภาคในช่วงนั้น, พื้นที่คือจำนวนอนุภาค N และ f=P/N. trapezoid ที่เพิ่มขึ้นเหนือความกว้าง v0, คงที่เหนือความกว้าง ⟨2⟩v0, แล้วลดลงเหนือความกว้าง v0 มีพื้นที่ ⟨3⟩av0 สำหรับความสูง a. normalise by area ก่อนคำนวณ mean หรือตีความ height บนกราฟ

ใน isotropic equilibrium gas without bulk flow, แต่ละ velocity-component distribution เป็น symmetric, ดังนั้น ⟨v_vector⟩=0. ความเร็ว v=|v_vector| เป็น nonnegative และมี mean เป็นบวก. สำหรับ classical ideal gas, Maxwell speed density เป็น proportion กับ v²exp[−mv²/(2kBT)]. Mode คือ sqrt(2kBT/m), mean คือ sqrt(8kBT/(πm)) และ rms speed คือ sqrt(3kBT/m). นี่คือสามปริมาณต่างกัน. ตัวคูณ v² ทำให้ speed density เป็นศูนย์ที่ v=0, แม้แต่ velocity-vector density จะมากที่สุดที่ zero vector

สำหรับการกระจายแบบต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นที่จะได้ความเร็วที่กำหนดไว้หนึ่งค่าพอดีมีค่าเป็นศูนย์; ความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์หมายถึงช่วงนี้ statement นี้ไม่ได้หมายความว่าไม่มีอนุภาคที่มีความเร็วเล็กจนเกือบเป็นศูนย์ หรือว่าเครื่องตรวจจับที่มีความละเอียดจำกัดไม่สามารถบันทึกvronzero ได้ อุณหภูมิเปลี่ยนมาตราส่วนของการกระจายแมกซ์เวลล์: ความเร็วลักษณะเฉพาะแปรผันตรงกับ sqrt(T/m). การเพิ่มอุณหภูมิตามตัวสองเท่าจะไม่ทำให้ความเร็วเพิ่มขึ้นสองเท่า และอนุภาคที่มีมวลมากกว่าจะมีความเร็วเฉลี่ยต่ำกว่าที่อุณหภูมิเดียวกัน

ในเอนเซมเบิลคาโนนิกที่อุณหภูมิ T สถานะที่มีพลังงาน E_i มีน้ำหนัก exp(−E_i/(kBT)). หารด้วยฟังก์ชันการแบ่ง Z=Σexp(−E_i/(kBT)) เพื่อความน่าจะเป็น หากชั้นพลังงานมีการจัดระดับซ้ำ g_i, ความน่าจะเป็นของชั้นนั้นคือ g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. พลังงานเท่ากันต่อสถานะไม่ implies ความน่าจะเป็นเท่ากันต่อชั้นเมื่อมีการจัดระดับซ้ำต่างกัน สำหรับชั้นพื้นดินที่มีการจัดระดับซ้ำ 1 และชั้นกระตุ้นที่มีการจัดระดับซ้ำ 2 ที่ Δ=kBT ln2, น้ำหนักรวมของชั้นกระตุ้นคือ 2e^(−ln2)=1: ทั้งสองชั้นมีความน่าจะเป็น 1/2. สมมติฐานแมกซ์เวลล์-โบลต์ซมันน์เชิงคลาสสิกแตกต่างจากการครอบครองแบบ Bose-Einstein และ Fermi-Dirac แบบควอนตัม

เอนเซมเบิลคาโนนิกมีการจัดระดับซ้ำพื้นฐาน 1 และการจัดระดับซ้ำกระตุ้น g ที่ช่องว่าง Delta.

ด้วย g = 4 และ $\Delta=k_BT\ln2$, นี่คือความน่าจะเป็นสำหรับชั้นกระตุ้นทั้งหมด สถานะทั้งสี่ของแต่ละสถานะมีความน่าจะเป็น 1/6.

ความสูง density ไม่ใช่ probability. Mean velocity, mean speed และ mode แตกต่างกัน; รวม degeneracy ก่อน normalise level probabilities

** probability density**: ความน่าจะเป็นต่อหน่วยของตัวแปรต่อเนื่องwhose integral ให้ความน่าจะเป็นของช่วง

** partition function**: ผลรวมของน้ำหนักทางสถิติที่ใช้ทำให้อันตรภาคความน่าจะเป็นสถานะสมดุลเป็นมาตรฐาน