การกระจายความเร็ว และกลุ่มสถิติ
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| probability density/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti/ | ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น |
| partition function/pɑːˈtɪʃn ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันพาร์ติชัน |
ตัดสินใจก่อนตอบคำถาม
- แก๊สสามารถมีความเร็วเฉลี่ยเป็นศูนย์ได้ในขณะที่อนุภาคมีความเร็วสูงมาก ทิศทางตรงกันข้ามหักล้างกันในความเร็วเฉลี่ยแบบเวกเตอร์ แต่ความเร็วไม่มีเครื่องหมาย
- เป้าหมายของคุณ: การทำให้ความหนาแน่นความเร็วต่อเนื่องเป็นมาตรฐานและการตีความหน่วยของมัน
อ่านความสัมพันธ์
- สำหรับฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นความเร็วต่อเนื่อง f(v), f(v)dv ประมาณค่าความน่าจะเป็นในช่วงแคบ และ ∫from0to∞ f(v)dv=1. ความหนาแน่นมีหน่วยกลับด้านของความ速度和ไม่ใช่ความน่าจะเป็นเอง ถ้า P(v)dv นับจำนวนอนุภาคในช่วงนั้น พื้นที่คือจำนวนอนุภาค N และ f=P/N. เypezoid ที่เพิ่มขึ้นในช่วงกว้าง v0, คงที่ในช่วงกว้าง 2v0, แล้วลดลงในช่วงกว้าง v0 มีพื้นที่ 3av0 สำหรับส่วนสูง a. ทำให้อยู่ในรูปมาตรฐานด้วยพื้นที่ก่อนคำนวณค่าเฉลี่ยหรือตีความส่วนสูงบนกราฟ
- แยกแยะค่าเฉลี่ยแบบเวกเตอร์ ค่าเฉลี่ยความเร็ว และความเร็วที่เป็นไปได้มากที่สุด
For an isotropic equilibrium ideal gas without bulk flow, which is correct?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Velocity directions cancel, while speed is nonnegative and its equilibrium mean is positive.
ใช้กฎที่กำหนด
- ในแก๊สสมดุลแบบอ nisotropic โดยไม่มีการไหลรวม แต่ละการกระจายองค์ประกอบความเร็วจะสมมาตร ดังนั้น ⟨v_vector⟩=0. ความเร็ว v=|v_vector| เป็นค่าบวกหรือศูนย์และมีค่าเฉลี่ยเป็นบวก สำหรับแก๊สอุดมคติคลาสสิก ความหนาแน่นความเร็ว Maxwell สัมพันธ์กับ v²exp[−mv²/(2kBT)]. จุดสูงสุด (mode) คือ sqrt(2kBT/m), ค่าเฉลี่ยคือ sqrt(8kBT/(πm)) และความเร็ว root-mean-square คือ sqrt(3kBT/m). ทั้งสามสิ่งนี้คือปริมาณที่แตกต่างกัน ตัวคูณ v² ทำให้ความหนาแน่นความเร็วเป็นศูนย์ที่ v=0 แม้ว่าการกระจายเวกเตอร์ความเร็วจะมีค่ามากที่สุดในเวกเตอร์ศูนย์ก็ตาม
- ใช้น้ำหนัก Boltzmann กับความเสื่อมถอยและฟังก์ชันพาร์ติชัน
Ground degeneracy 1, excited degeneracy 3, gap kBT ln3. The excited-level probability is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Excited total weight 3e^(−ln3)=1 equals ground weight 1; Z=2.
ตรวจสอบเงื่อนไข
- สำหรับการกระจายแบบต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นที่จะมีความเร็วระบุไว้เฉพาะตัวเป็นศูนย์; ความน่าจะเป็นที่ไม่ใช่ศูนย์หมายถึงช่วง เมื่อ statement นี้ไม่ได้หมายความว่าไม่มีอนุภาคที่มีความเร็วน้อยมาก หรือว่าเครื่องตรวจจับความละเอียดจำกัดไม่สามารถบันทึก bin เป็นศูนย์ได้ อุณหภูมิเปลี่ยนสเกลของการกระจาย Maxwell: ความเร็วลักษณะเฉพาะแปรผันตรงกับ sqrt(T/m). การเพิ่มอุณหภูมิสองเท่าไม่ทำให้ความเร็วเพิ่มขึ้นสองเท่า และอนุภาคที่มีมวลมากกว่าจะมีความเร็วเฉลี่ยช้ากว่าที่อุณหภูมิเดียวกัน
- ใช้น้ำหนัก Boltzmann กับความเสื่อมถอยและฟังก์ชันพาร์ติชัน
ทrapezoid ความหนาแน่นจำนวนมี N=90อนุภาค, v0=2 m/s และความกว้าง plateau 2v0. พื้นที่คือ 3av0, ซึ่งให้ a=15อนุภาคต่อหน่วยความเร็ว. สำหรับกลุ่มสองระดับที่มี degeneracies 1และ2พร้อมช่องว่าง kBT ln2, Z=2และความน่าจะเป็นของระดับกระตุ้นคือ 1/2. แต่ละสถานะกระตุ้นเดี่ยวมีความน่าจะเป็น 1/4.
A count-density trapezoid has area 3av0, N=60 and v0=4 m/s. Its height a is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
a=N/(3v0)=60/12=5 particles per unit speed.
ใช้รูปแบบงาน
- ใน canonical ensemble ที่อุณหภูมิ T, สถานะที่มีพลังงาน E_i มีน้ำหนัก exp(−E_i/(kBT)). หารด้วยฟังก์ชันพาร์ติชัน Z=Σexp(−E_i/(kBT)) เพื่อความน่าจะเป็น. หากชั้นพลังงานมีความเสื่อมถอย g_i, ความน่าจะเป็นของชั้นนั้นคือ g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. พลังงานเท่ากันต่อสถานะไม่ implies ความน่าจะเป็นเท่ากันต่อชั้นเมื่อความเสื่อมถอยต่างกัน. สำหรับชั้นพื้นดินที่มีความเสื่อมถอย 1 และชั้นกระตุ้นที่มีความเสื่อมถอย 2 ที่ Δ=kBT ln2, น้ำหนักรวมของชั้นกระตุ้นคือ 2e^(−ln2)=1: ทั้งสองชั้นมี probability 1/2. สมมติฐาน Classical Maxwell–Boltzmann แตกต่างจากการครอบครองแบบ Bose–Einstein และ Fermi–Dirac
- ใช้น้ำหนัก Boltzmann กับความเสื่อมถอยและฟังก์ชันพาร์ติชัน
ส่วนสูงของความหนาแน่นไม่ใช่ความน่า几分. ความเร็วเฉลี่ย, ความเร็วเฉลี่ย และ mode แตกต่างกัน; รวมความเสื่อมถอยก่อนทำให้ความน่าจะเป็นของชั้นเป็นมาตรฐาน
คำตอบใดสอดคล้องกับกรณีนี้?
ทำให้ความหนาแน่นของความเร็วต่อเนื่องเป็นปกติ และตีความหน่วยของมัน
A continuous speed distribution assigns nonzero probability to exactly one specified speed.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Only an interval has nonzero probability; a single point has zero measure.
รักษาระยะห่าง
- ความหนาแน่นความน่า几分 — ความน่า几分ต่อหน่วยของตัวแปรต่อเนื่อง, ซึ่งอินทิกรัลจะให้ค่าความน่า几分ในช่วง
- ฟังก์ชันพาร์ติชัน — ผลรวมของน้ำหนักสถิติที่ใช้ทำให้ความน่า几分สถานะสมดุลเป็นมาตรฐาน
- การทำให้ความหนาแน่นความเร็วต่อเนื่องเป็นมาตรฐานและการตีความหน่วยของมัน
- แยกแยะค่าเฉลี่ยแบบเวกเตอร์ ค่าเฉลี่ยความเร็ว และความเร็วที่เป็นไปได้มากที่สุด
- ใช้น้ำหนัก Boltzmann กับความเสื่อมถอยและฟังก์ชันพาร์ติชัน
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.