C.8 · เฟสของฟังก์ชันตรีโกณมิติและเส้นโค้งแบบพารามิเตอร์

เตรียมสอบ GRE ระดับปริญญาตรี วัตถุประสงค์ภายในขอบเขต ETS ที่ทบทวนนี้คือการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่การทดสอบหรือตัวทำนายคะแนนอย่างเป็นทางการ

ความรู้พื้นฐาน: ฟังก์ชันตรีโกณมิติแบบเรเดียน,อนุพันธ์ และการพารามิเตอร์ของเส้นโค้ง

• แยกแยะแอมพลิจูด, ความถี่เชิงมุม, มุมเฟส และการเลื่อนแนวนอน
• ลบพารามิเตอร์ออกโดยยังคงโดเมนและทิศทางของการวาดกราฟไว้
• ใช้อนุพันธ์แบบพารามิเตอร์โดยไม่สันนิษฐานว่าเส้นสัมผัสแนวตั้งหยุดนิ่ง

มุมเฟส: มุม OFFSET ภายในอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันเป็นคาบ, นิยาม modulo ของรอบเต็ม

เส้นโค้งแบบพารามิเตอร์: เส้นโค้งซึ่งพิกัดระบุเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์ร่วม

สำหรับ y=A cos(ωx−φ) เมื่อ A>0 และ ω>0, แอมพลิจูดคือ A, คาบคือ 2π/ω, และการเลื่อนแนวนอนคือ φ/ω. มุมเฟส φ วัดภายในอาร์กิวเมนต์ของโคไซน์; มันไม่ใช่การเลื่อนแนวนอนเอง เว้นแต่ ω=1. เริ่มต้นด้วยการวัดระยะจากยอดถึงยอดเพื่อหาคาบ และระยะจากเส้นกลางถึงยอดเพื่อหาแอมพลิจูด. เพื่อหามุมเฟส ให้แทนค่าจุดที่ทราบและตรวจสอบทิศทางการเคลื่อนที่ที่จุดนั้น. มุมเฟสที่เทียบเท่ากันแตกต่างกันด้วย 2π.

For y=−2 cos(3x), rewrite the model with positive amplitude as 2 cos(3x−π). Its amplitude is 2, period 2π/3, and phase π; the equivalent right shift is π/3. Peaks occur where 3x−π is a multiple of 2π. A graph point at x=0 and y=0 alone cannot determine phase uniquely: slopes or another point distinguish the possible angles. Units and angle conventions matter; ordinary calculus trigonometric derivatives use radians.

เส้นโค้งพารามิเตอร์ระบุ x=x(t), y=y(t). การกำจัด t อธิบายเซตจุดแต่สามารถสูญเสียข้อจำกัดและทิศทางได้ สำหรับ x=cos³t, y=sin³t, รากสามเหลี่ยมจริงให้ |x|^(2/3)+|y|^(2/3)=1, ซึ่งเป็นแอสโทรอิด (astroid) ที่มีจุดแหลมบนแกน เมื่อ t วิ่งจาก 0 ถึง 2π เริ่มที่ (1,0), ผ่าน (0,1) ที่ π/2 และเดินทางทวนเข็มนาฬิกา การจำกัด t ไว้ใน [0,π/2] ให้เพียงส่วนโค้งในจตุภาคแรก ไม่ใช่พิกัดเชิงนิยามทั้งหมด

เมื่อ dx/dt≠0, dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt). เส้นสัมผัสแนวนอนต้องการ dy/dt=0 และ dx/dt≠0; เส้นสัมผัสแนวตั้งกลับเงื่อนไขเหล่านั้น หากทั้งสองเป็นศูนย์ ให้ตรวจสอบลิมิตหรือการขยายท้องถิ่นแทนการนำ 0/0 มาใช้เป็นความชัน. สำหรับ x=t²,y=t³ ที่ t=0, ผลหารสำหรับ t≠0 คือ 3t/2 และมีแนวโน้มเป็นศูนย์: cusp มีเส้นสัมผัสแนวนอน. ความเร็วพารามิเตอร์เป็นศูนย์ไม่ได้เป็น max หรือ min ท้องถิ่นของ y ในนามฟังก์ชันของ x ด้วยตัวเอง

สำหรับ y=−2 cos(3x), ค่าต่ำสุดรวม x=0 และค่าสูงสุดรวม x=π/3. การแสดงเฟส 2 cos(3x−π) ให้ค่าเดียวกัน. สำหรับ x=2 cos t,y=sin t, การตัดตัวแปรได้ x²/4+y²=1; ที่ t=π/4, dx/dt=−√2 และ dy/dt=√2/2, ดังนั้นความชัน −1/2. ช่วงพารามิเตอร์เต็ม [0,2π] วาดวงรีหนึ่งรอบทวนเข็มนาฬิกา

มุมเฟสและการเลื่อนแนวนอนต่างกันด้วยตัวคูณความถี่ สมการเชิงนิยาม (implicit equation) สามารถเพิ่มส่วนที่ลากเส้นไม่ครบของเส้นโค้งได้ หากอนุพันธ์ของพารามิเตอร์ทั้งสองหายไปพร้อมกัน ให้ใช้เหตุผลท้องถิ่นแทนการติดป้ายทุกจุดเช่นนั้นว่าเป็นจุดสุดขั้ว

สำหรับ $y=-3\cos(2x)$, ระบุแอมพลิจูด, คาบ, การแสดงมุมเฟสที่มีแอมพลิจูดบวก และการเลื่อนแนวนอนที่เกี่ยวข้อง. พารามิเตอร์วงรี $x^2/9+y^2/4=1$ ทวนเข็มนาฬิกา

วิธีทำตัวอย่าง

ความสูงของคลื่นคือสาม และคาบ $2\pi/2=\pi$. เขียน $y=3\cos(2x-\pi)$, โดยมีเฟส $\pi$ และการเลื่อนไปทางขวา $\pi/2$. เฟสและการเลื่อนไม่ใช่สิ่งเดียวกัน การกำหนดพารามิเตอร์หนึ่งคือ $x=3\cos t,y=2\sin t$, $0\le t\le2\pi$, ซึ่งเริ่มต้นที่ $(3,0)$ และเคลื่อนที่ขึ้นในขั้นต้น การกำจัด t เพื่อตรวจสอบสมการวงรี

สำหรับ $x=t^2,y=t^3$ บน $-1\le t\le1$, หาเส้นโค้งที่สร้างและเส้นสัมผัสที่ t=0. ความเร็วพารามิเตอร์ที่เป็นศูนย์พิสูจน์ได้ว่าไม่มีเส้นสัมผัสหรือไม่? สมการเชิงนัยเดียวยังคงข้อจำกัดของพารามิเตอร์ทั้งหมดไว้หรือไม่?

ตรวจสอบหลังทำแบบฝึกหัดแล้ว

การกำจัดตัวแปรให้ $y^2=x^3$, พร้อม $0\le x\le1$ และเครื่องหมายของ y ทั้งสองด้าน สำหรับ t ที่ไม่เท่ากับศูนย์, $dy/dx=3t/2\to0$. ความชันของเส้นคัตจากจุดกำเนิดคือ $y/x=t\to0$ เช่นกัน ดังนั้นจุดยอดจึงมีเส้นสัมผัสแนวนอน พารามิเตอร์อนุพันธ์ทั้งสองเป็นศูนย์ที่จุดเดิม ทำให้ผลหารดิบ $0/0$ ไม่สามารถสรุปได้ ไม่ใช่การพิสูจน์ว่าไม่มีเส้นสัมผัส สมการเชิงนัยที่ไม่มีข้อจำกัดยังมีจุดที่มี x>1; ข้อจำกัดช่วงต้องถูกนำส่งแยกต่างหาก