เฟสตรีโกณมิติและเส้นโค้งพารามิเตอร์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| phase angle/feɪz ˈæŋɡl/ | มุมเฟส |
| parametric curve/ˌpærəˈmetrɪk kɜːv/ | เส้นโค้งพารามิเตอร์ |
ตัดสินใจก่อนตอบคำถาม
- สัญญาณแบบคาบสามารถเริ่มต้นที่ค่าต่ำสุดในขณะที่รักษาคาบและแอมพลิจูดเดียวกันกับสัญญาณที่เริ่มต้นที่ค่าสูงสุด เฟสของสัญญาณจะเปลี่ยนไป ไม่ใช่ขนาดหรือความถี่
- เป้าหมายของคุณ: แยกแยะแอมพลิจูด ความถี่เชิงมุม มุมเฟส และการเลื่อนแนวนอน
อ่านความสัมพันธ์
- สำหรับ y=A cos(ωx−φ) เมื่อ A>0 และ ω>0, แอมพลิจูดคือ A, คาบคือ 2π/ω, และการเลื่อนแนวนอนคือ φ/ω. มุมเฟส φ วัดภายในอาร์กิวเมนต์ของโคไซน์; มันไม่ใช่การเลื่อนแนวนอนเอง เว้นแต่ ω=1. เริ่มต้นด้วยการวัดระยะจากยอดถึงยอดเพื่อหาคาบ และระยะจากเส้นกลางถึงยอดเพื่อหาแอมพลิจูด. เพื่อหามุมเฟส ให้แทนค่าจุดที่ทราบไว้และตรวจสอบทิศทางการเคลื่อนที่ที่จุดนั้น. เฟสที่เทียบเท่ากันต่างกันด้วย 2π.
- ตัดพารามิเตอร์ออกโดยยังคงโดเมนและทิศทางการวาดกราฟของมันไว้
For y=2 cos(3x−π), what is the rightward horizontal shift?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Factor the argument as 3(x−π/3). The phase π is divided by angular frequency 3.
ใช้กฎที่กำหนด
- สำหรับ y=−2 cos(3x) เขียนโมเดลใหม่ด้วยแอมพลิจูดบวกเป็น 2 cos(3x−π). แอมพลิจูดของมันคือ 2, รอบ 2π/3, และเฟส π; การเลื่อนไปทางขวาที่เทียบเท่าคือ π/3. จุดยอดเกิดขึ้นเมื่อ 3x−π เป็นพหุคูณของ 2π. จุดกราฟที่ x=0 และ y=0 เพียงอย่างเดียวไม่สามารถกำหนดเฟสได้อย่างชัดเจน: ความชันหรืออีกจุดหนึ่งช่วยแยกแยะมุมที่เป็นไปได้ หน่วยและกฎเกณฑ์ของมุมมีความสำคัญ; อนุพันธ์ตรีโกณมิติของแคลคูลัสธรรมดาใช้เรเดียน
- ใช้อนุพันธ์พารามิเตอร์โดยไม่สันนิษฐานว่าเส้นสัมผัสแนวตั้งหยุดนิ่ง
For x=cos³t,y=sin³t with t in [0,π/2], which set is traced?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The parameter interval keeps both coordinates nonnegative. Elimination gives the astroid relation, but does not remove this quadrant restriction.
ตรวจสอบเงื่อนไข
- curves พารามิเตอร์ระบุ x=x(t), y=y(t). การตัด t ออกจากสมการอธิบายเซตของจุดแต่สามารถสูญเสียข้อจำกัดและทิศทางได้. สำหรับ x=cos³t, y=sin³t, รากurnameจริงให้ |x|^(2/3)+|y|^(2/3)=1, ซึ่งเป็นแอสไตรอยด์ที่มี cusps บนแกนนอนและแกนตั้ง. เมื่อ t วิ่งจาก 0 ถึง 2π มันเริ่มต้นที่ (1,0), ผ่าน (0,1) ที่ π/2 และเคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกา. การจำกัด t ไว้ใน [0,π/2] ให้เพียงส่วนโค้งในจตุภาคที่หนึ่งเท่านั้น ไม่ใช่ locus ลึกซึ้งทั้งหมด
- ใช้อนุพันธ์พารามิเตอร์โดยไม่สันนิษฐานว่าเส้นสัมผัสแนวตั้งหยุดนิ่ง
สำหรับ y=−2 cos(3x), ค่าต่ำสุดรวม x=0 และค่าสูงสุดรวม x=π/3. การแสดงเฟส 2 cos(3x−π) ให้ค่าเดียวกัน. สำหรับ x=2 cos t,y=sin t, การตัดตัวแปรได้ x²/4+y²=1; ที่ t=π/4, dx/dt=−√2 และ dy/dt=√2/2, ดังนั้นความชัน −1/2. ช่วงพารามิเตอร์เต็ม [0,2π] วาดวงรีหนึ่งรอบทวนเข็มนาฬิกา
For x=t²,y=t³ and t=2, the slope dy/dx is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
dy/dx=(3t²)/(2t)=3t/2 when t≠0; at t=2 this equals 3.
ใช้รูปแบบงาน
- เมื่อ dx/dt≠0, dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt). เส้นสัมผัสแนวนอนโดยทั่วไปต้องการ dy/dt=0 และ dx/dt≠0; เส้นสัมผัสแนวตั้งโดยทั่วไปกลับเงื่อนไขเหล่านั้น. หากทั้งสอง消失, ตรวจสอบลิมิตหรือการขยายในท้องถิ่นแทนที่จะนำ 0/0 มาเป็นความชัน. สำหรับ x=t²,y=t³ ที่ t=0, ผลหารสำหรับ t≠0 คือ 3t/2 และมีแนวโน้มเป็นศูนย์: cusp นี้มีเส้นสัมผัสแนวนอน. ความเร็วพารามิเตอร์เป็นศูนย์ไม่ถือเป็นจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดในท้องถิ่นของ y ในในฐานะฟังก์ชันของ x ด้วยตนเอง
- ใช้อนุพันธ์พารามิเตอร์โดยไม่สันนิษฐานว่าเส้นสัมผัสแนวตั้งหยุดนิ่ง
มุมเฟสและการเลื่อนแนวนอนแตกต่างกันด้วยตัวคูณความถี่. สมการลึกลึกซึ้งสามารถเพิ่มส่วนที่ไม่ถูกวาดของ curve ได้. หากอนุพันธ์พารามิเตอร์ทั้งสอง消失 ให้ใช้เหตุผลในท้องถิ่นแทนการติดป้ายทุกจุดดังกล่าวว่าเป็นจุดสุดขั้ว
คำตอบใดสอดคล้องกับกรณีนี้?
แยกแยะขนาดการสั่น ความถี่เชิงมุม มุมเฟส และการเลื่อนแนวนอน
Phase angle φ and horizontal shift φ/ω are always the same number.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
They coincide numerically only in special cases, such as ω=1. Frequency rescales the horizontal coordinate.
รักษาระยะห่าง
- มุมเฟส — การเบี่ยงเบนของมุมภายในอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันแบบคาบ, นิยาม modulo ของคาบเต็ม
- curve พารามิเตอร์ — curve ที่มีพิกัดระบุเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์ร่วม
- แยกแยะความแตกต่างระหว่างแอมพลิจูด, ความถี่เชิงมุม, มุมเฟส และการเลื่อนแนวตั้ง
- ตัดพารามิเตอร์ออกโดยยังคงโดเมนและทิศทางการวาดกราฟของมันไว้
- ใช้อนุพันธ์พารามิเตอร์โดยไม่สันนิษฐานว่าเส้นสัมผัสแนวตั้งหยุดนิ่ง
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.