เรขาคณิตเวกเตอร์, โปรเจกชันและพื้นที่ที่มีทิศทาง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| cross product/krɒs ˈprɒdʌkt/ | ผลคูณไขว้ |
| orthogonal/ɔːˈθɒɡənl/ | ตั้งฉากกัน |
ตัดสินใจก่อนตอบคำถาม
- เส้นทางสองเส้นอาจชี้ไปในทิศทางเดียวกันโดยประมาณ, ตัดกันเป็นมุมฉาก หรือสวนทางกัน ผลคูณสเกลาร์ (dot product) ช่วยจำแนกรูปแบบเหล่านี้; ผลคูณเวกเตอร์ (cross product) วัดพื้นที่ที่ทั้งสองเส้นครอบคลุม
- เป้าหมายของคุณ: ใช้ผลคูณสเกลาร์เพื่อจำแนกมุมและคำนวณการฉายภาพ
อ่านความสัมพันธ์
- สำหรับเวกเตอร์จริง u,v ที่ไม่ใช่ศูนย์ u·v=|u||v| cos θ. ผลคูณสเกลาร์ที่เป็นบวก, ศูนย์ หรือลบ สอดคล้องกับมุมแหลม, มุมฉาก หรือมุมท Obtuse ตามลำดับ การฉายภาพสเกลาร์ของ v ตามทิศทางของ u คือ (v·u)/|u|; การฉายภาพเวกเตอร์คือ ((v·u)/(u·u))u. ส่วนต่างจากการฉายภาพนี้จะตั้งฉากกับ u. อย่าสับสนระหว่างเวกเตอร์ที่ถูกฉายภาพกับองค์ประกอบสเกลาร์ที่มีเครื่องหมายของมัน เวกเตอร์ศูนย์ตั้งฉากกับทุกเวกเตอร์แต่ไม่มีทิศทางมุมที่กำหนดไว้
- คำนวณพื้นที่สามเหลี่ยมและทิศทางโดยใช้ผลคูณเวกเตอร์
Triangle vertices are (0,0,0),(2,0,0),(0,3,0). What is its area?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The edge cross product has magnitude 6. Triangle area is half the spanned parallelogram area.
ใช้กฎที่กำหนด
- สำหรับเวกเตอร์สามมิติ, u×v จะตั้งฉากกับทั้งสองและมีขนาด |u||v| sin θ. การคำนวณพิกัดใช้ (u₂v₃−u₃v₂, u₃v₁−u₁v₃, u₁v₂−u₂v₁). ขนาดนี้คือพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมขนาน ดังนั้นสามเหลี่ยมที่เกิดจากเวกเตอร์ขอบสองตัวจะมีพื้นที่ครึ่งหนึ่งของค่านี้ การกลับลำดับ将它们จะทำให้ผลคูณเวกเตอร์เปลี่ยนเครื่องหมายแต่รักษาพื้นที่ไว้ สร้างเวกเตอร์ขอบทั้งสองจากจุดยอดเดียวกัน; การนำเวกเตอร์ตำแหน่งที่ไม่เกี่ยวข้องกันมาทำ cross product มักจะวัดพื้นที่สามเหลี่ยมผิด
- สร้างหรือปฏิเสธการกำหนดค่าเครื่องหมายผลคูณสเกลาร์บนระนาบ
What is the vector projection of (3,4) onto the line spanned by (1,0)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Multiply (1,0) by the coefficient ((3,4)·(1,0))/((1,0)·(1,0))=3.
ตรวจสอบเงื่อนไข
- ระนาบผ่านจุด p ที่มีเวกเตอร์ปกติ n มีสมการ n·(x−p)=0. ระยะห่างจาก q ไปยังระนาบคือ |n·(q−p)|/|n|; ตัวส่วนช่วยปรับมาตราส่วนของสมการ ผลคูณสามเท่า (scalar triple product) u·(v×w) ให้ปริมาตรของทรงลูกบาศก์เอียงที่มีเครื่องหมาย; ค่าสัมบูรณ์คือปริมาตรทางเรขาคณิต ผลคูณสามเท่าเป็นศูนย์หมายถึงความสัมพันธ์เชิงเส้นของเวกเตอร์ขอบทั้งสาม ไม่ใช่จำเป็นต้องหมายความว่าแต่ละคู่ตั้งฉากหรือขนานกัน
- สร้างหรือปฏิเสธการกำหนดค่าเครื่องหมายผลคูณสเกลาร์บนระนาบ
ด้วย p=(0,0,0), q=(2,0,0), r=(0,3,0), ขอบคือ u=(2,0,0), v=(0,3,0). ผลคูณเวกเตอร์ของพวกเขาคือ (0,0,6), ซึ่งให้พื้นที่สามเหลี่ยม 3. สำหรับ w=(3,4) และ u=(1,0), การฉายภาพเวกเตอร์คือ (3,0) และส่วนที่เหลือที่ตั้งฉากคือ (0,4). ระนาบ 2x−y+2z=6 มีความยาวของเวกเตอร์ปกติ 3, ดังนั้นระยะห่างจากจุดกำเนิดคือ 6/3=2.
The distance from the origin to 2x−y+2z=6 is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Divide the absolute constant 6 by the normal length √(4+1+4)=3.
ใช้รูปแบบงาน
- สำหรับเวกเตอร์สี่ตัวบนระนาบ จะมีผลคูณสเกลาร์ที่ไม่เรียงลำดับทั้งหมดหกชุด การกำหนดค่า e₁,−e₁,e₂,−e₂ มีผลคูณลบสองชุดและศูนย์สี่ชุด; e₁,e₁,e₂,e₂ มีผลคูณบวกสองชุดและศูนย์สี่ชุด. สี่เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ไม่สามารถมีผลคูณสเกลาร์ระหว่างทุกคู่ที่เป็นลบได้ เรียงทิศทาง שלה around the circle: ช่องว่างเชิงมุมระหว่าง consecutive แต่ละตัวจะต้องมากกว่า 90°, ทำให้ผลรวมของช่องว่างสี่ตัวเกิน 360°. เวกเตอร์ศูนย์ไม่สามารถช่วยแก้เงื่อนไขลบเข้มงวดได้ เพราะผลคูณสเกลาร์ของมันจะเป็นศูนย์
- สร้างหรือปฏิเสธการกำหนดค่าเครื่องหมายผลคูณสเกลาร์บนระนาบ
ขนาดของผลคูณเวกเตอร์คือพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมขนาน ดังนั้นหารสองเพื่อหาพื้นที่สามเหลี่ยม. ผลคูณสเกลาร์เป็นศูนย์เป็นการบอกความเป็น orthogonal แบบพีชคณิต แม้สำหรับเวกเตอร์ศูนย์ก็ตาม. ระยะห่างจากระนาบต้องหารด้วยความยาวของเวกเตอร์ปกติ
คำตอบใดสอดคล้องกับกรณีนี้?
ใช้ผลคูณจุดเพื่อจำแนงมุมและคำนวณการฉาย
Four nonzero vectors in R² can have all six unordered pairwise dot products negative.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Consecutive direction gaps would all exceed 90°, contradicting their total 360°. Zero vectors would produce zero products instead.
รักษาระยะห่าง
- orthogonal — ที่มีผลคูณสเกลาร์เป็นศูนย์ในปริภูมิผลคูณภายในจริง
- cross product — เวกเตอร์ตั้งฉากที่มีทิศทางในสามมิติwhose magnitude is spanned parallelogram area.
- ใช้ผลคูณสเกลาร์เพื่อจำแนกมุมและคำนวณการฉายภาพ
- คำนวณพื้นที่สามเหลี่ยมและทิศทางโดยใช้ผลคูณเวกเตอร์
- สร้างหรือปฏิเสธการกำหนดค่าเครื่องหมายผลคูณสเกลาร์บนระนาบ
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.