ตัวประกอบอินทิเกรตและสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เอกพันธุ์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| integrating factor/ˈɪntɪɡreɪtɪŋ ˈfæktə/ | ตัวประกอบอินทิเกรต |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | คำตอบเฉพาะ |
ตัดสินใจก่อนตอบคำถาม
- อินพุตที่บังคับ (forcing input) เปลี่ยนแปลงการตอบสนองของระบบ. การแก้เฉพาะสมการที่ไม่ถูกบังคับจะขาดส่วนที่ยังคงอยู่; การหารด้วย y ก็อาจทำให้สูญเสียคำตอบที่ถูกต้องไป
- เป้าหมายของคุณ: แก้สมการเชิงเส้นอันดับหนึ่งโดยใช้ตัวประกอบอินทิเกรต
อ่านความสัมพันธ์
- สมการเชิงเส้นอันดับหนึ่งมีรูปแบบ y′+p(x)y=q(x) บนช่วงที่สัมประสิทธิ์ต่อเนื่อง. อาจไม่แยกตัวแปรได้ ตั้ง μ(x)=exp(∫p(x)dx). เนื่องจาก μ′=pμ, การคูณจะได้ (μy)′=μq, ดังนั้น y=μ⁻¹(∫μq dx+C). เลือกฟังก์ชันต้นแบบที่สะดวกใดๆ สำหรับ p; ค่าคงที่ของการอินทิเกรตจะปรับมาตราส่วน μ และตัดออกจากคำตอบ. นำข้อมูลเริ่มต้นไปใช้หลังการอินทิเกรต, และเก็บจุดสัมประสิทธิ์ที่เป็นเอกฐาน (singular points) ไว้ภายนอกช่วงที่เลือก
- สร้างส่วนที่เป็นเนื้อเดียวกันและส่วนเฉพาะของคำตอบสัมประสิทธิ์คงที่
Which integrating factor works for y′+3y=x?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
p(x)=3, so μ=exp(∫3 dx)=e^(3x). Its derivative is 3μ.
ใช้กฎที่กำหนด
- สำหรับ y′+2xy=x dengan y(0)=1, μ=e^(x²). จากนั้น (e^(x²)y)′=x e^(x²), ซึ่งอินทิกรัลคือ e^(x²)/2+C. ดังนั้น y=1/2+C e^(−x²), และเงื่อนไขเริ่มต้นให้ C=1/2. การแทนค่าโดยตรงตรวจสอบ y′+2xy=x. Integrating factor ทำให้ด้านซ้ายเป็นอนุพันธ์ของผลคูณ; มันไม่ใช่ปัจจัยเพิ่มที่เหลืออยู่คูณกับด้านขวาเดิมในคำตอบสุดท้าย
- จัดการกับภาวะสั่นพ้องและตรวจสอบผลลัพธ์ในสมการต้นฉบับ
For y″−3y′+2y=4, which constant is a particular solution?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Both derivatives vanish for a constant. The equation reduces to 2y=4, so y=2.
ตรวจสอบเงื่อนไข
- สำหรับ ay″+by′+cy=r(x) โดยที่ a ไม่เป็นศูนย์ แก้สมการลักษณะเฉพาะ aλ²+bλ+c=0 สำหรับส่วน homogeneous รากจริงที่แตกต่างกันให้ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลสองตัว; รากซ้ำ λ ให้ (C₁+C₂x)e^(λx); ราก α±iβ ให้ e^(αx)(C₁ cos βx+C₂ sin βx) การแก้สมการสมบูรณ์คือ y_h+y_p แรงกระตุ้นแบบพหุนามบ่งชี้ให้ลองใช้พหุนาม particular; แรงกระตุ้นแบบเอกซ์โพเนนเชียลหรือไซน์/โคไซน์บ่งชี้ให้ใช้ครอบครัวฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง โดยมีสัมประสิทธิ์เพียงพอเพื่อรองรับการหาอนุพันธ์
- จัดการกับภาวะสั่นพ้องและตรวจสอบผลลัพธ์ในสมการต้นฉบับ
สำหรับ y″−3y′+2y=4, รากของสมการลักษณะเฉพาะคือ 1 และ 2 การแก้ particular แบบคงที่ y_p=2 ทำให้ 2y_p=4, ดังนั้น y=C₁e^x+C₂e^(2x)+2 สำหรับ y′+2xy=x และ y(0)=1, การแก้สมการอันดับหนึ่งแยกตัวแปรได้คือ y=(1+e^(−x²))/2 สิ่งเหล่านี้แสดงวิธีการที่ต่างกัน; ไม่มีสมการใดกลายเป็น homogeneous เพียงเพราะด้านซ้ายของสมการเป็นเชิงเส้น
For y′+2xy=x with y(0)=1, y=1/2+C e^(−x²). Give C as a decimal: ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
At x=0 the exponential is 1, so 1=1/2+C gives C=1/2.
ใช้รูปแบบงาน
- หากการลองแก้ particular ซ้ำซ้อนกับคำตอบของ homogeneous มันจะไม่สามารถสร้างแรงกระตุ้นได้: คูณด้วย x หนึ่งครั้งสำหรับราก đơn, สองครั้งสำหรับรากซ้ำ สำหรับ y″−3y′+2y=e^x, Ke^x แบบดิบๆ จะถูกทำให้เป็นศูนย์ ลอง Kxe^x จะได้ −Ke^x, ดังนั้น y_p=−xe^x เงื่อนไขเริ่มต้นกำหนดค่าคงที่ของ homogeneous เฉพาะหลังจากเพิ่ม y_p แล้ว แทนฟังก์ชันสุดท้ายกลับลงในสมการต้นฉบับเพื่อตรวจสอบเครื่องหมายและแรงกระตุ้น; การตรวจสอบเงื่อนไขเริ่มต้นเพียงอย่างเดียวไม่สามารถยืนยันสมการต่างได้
- จัดการกับภาวะสั่นพ้องและตรวจสอบผลลัพธ์ในสมการต้นฉบับ
เก็บการแก้ particular ไว้ การลองแก้ที่สั่นพ้องจำเป็นต้องมีปัจจัย x การพิสูจน์ด้วยตัวประกอบอินทิเกรตใช้ได้ในช่วงสัมประสิทธิ์ที่มีค่าถูกต้องและไม่ควรหารด้วย y หรือละเลยคำตอบที่เป็นศูนย์อย่างเงียบๆ
คำตอบใดสอดคล้องกับกรณีนี้?
แก้สมการเชิงเส้นอันดับหนึ่งโดยใช้ตัวประกอบอินทิเกรต
Ke^x can be a particular solution of y″−3y′+2y=e^x for a suitable constant K.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
e^x is homogeneous, so the differential operator sends every Ke^x to zero. A resonant trial requires an extra x factor.
รักษาระยะห่าง
- ตัวประกอบอินทิเกรต — ตัวคูณที่เปลี่ยนสมการเชิงเส้นอันดับหนึ่งให้อยู่ในรูปอนุพันธ์ของผลคูณ
- การแก้ particular — การแก้หนึ่งตัวที่ตอบสนองต่อแรงกระตุ้น nonhomogeneous ที่ระบุ
- แก้สมการเชิงเส้นอันดับหนึ่งโดยใช้ตัวประกอบอินทิเกรต
- สร้างส่วนที่เป็นเนื้อเดียวกันและส่วนเฉพาะของคำตอบสัมประสิทธิ์คงที่
- จัดการกับภาวะสั่นพ้องและตรวจสอบผลลัพธ์ในสมการต้นฉบับ
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.