T.9 · ความคล้ายกัน การสเกล และตำแหน่งระยะทางวงกลม

เตรียมสอบ GRE ระดับปริญญาตรี วัตถุประสงค์ภายในขอบเขต ETS ที่ทบทวนนี้คือการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่การทดสอบหรือตัวทำนายคะแนนอย่างเป็นทางการ

ความรู้พื้นฐาน: สามเหลี่ยมคล้าย, สูตรระยะทาง และสมการกำลังสอง

• จับคู่จุดยอดสามเหลี่ยมโดยดูมุมที่เท่ากันก่อนจะสร้างอัตราส่วนของด้าน
• ใช้ปัจจัยมาตราส่วนของความยาว พื้นที่ และปริมาตรต่อการเปลี่ยนแปลงทางเรขาคณิต
• ระบุเงื่อนไขระยะทางของวงกรอน และรักษาแขนของไฮเปอร์โบลาที่มีเครื่องหมาย

ความคล้าย: ความเท่ากันของมุมที่สอดคล้องกันและอัตราส่วนของความยาวที่สอดคล้องกันเป็นค่าเดียวกัน

โฟกัส: จุดคงที่ใช้ในการนิยามระยะทางของวงกรอน

สามเหลี่ยมจะคล้ายกันเมื่อมุมที่สอดคล้องกันเท่ากัน; อัตราส่วนของด้านที่สอดคล้องกันก็จะเท่ากัน เขียนการจับคู่จุดยอดให้ชัดเจน ถ้าสามเหลี่ยม APQ มีมุม A เท่ากับมุม A ของ ABC และมุม P เท่ากับมุม C การจับคู่ที่เป็นลำดับคือ A↔A, P↔C, Q↔B ดังนั้น AP/AC=AQ/AB=PQ/CB ด้าน AP อยู่บน AB แต่สอดคล้องกับ AC; การจับคู่โดยตำแหน่งของด้านหรือโดยตัวอักษร P อาจให้อัตราส่วนที่ผิด

ด้วยค่าสเกลมาตรฐาน k>0 ความยาวจะคูณด้วย k พื้นที่จะคูณด้วย k² และปริมาตรจะคูณด้วย k³ การเพิ่มขึ้นของความยาว 30% หมายถึง k=1.30 ดังนั้นการเพิ่มขึ้นของพื้นที่คือ 1.30²−1=0.69 หรือ 69%; ไม่ใช่ 60% สำหรับรูปทรงคล้ายกันที่มีอัตราส่วนปริมาตรเป็น 27 อัตราส่วนความยาวจะเป็น 3 และอัตราส่วนพื้นที่ผิวจะเป็น 9. การเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์และผลต่างสัมบูรณ์เป็นปริมาณที่ต่างกัน; ให้เขียนอัตราส่วนใหม่ต่อเก่าก่อนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์

วงกลมกำหนดระยะทางจากจุดหนึ่งให้คงที่ วงรีกำหนดผลรวมระยะทางจากจุดโฟกัสสองจุดให้คงที่ ไฮเพอร์โบลากำหนดผลต่างสัมบูรณ์ของระยะทางเหล่านี้; พาราโบลากำหนดความเท่ากันของระยะทางจากโฟกัสไปยังเส้น directrice. นี่คือนิยามของเซตจุด ไม่ใช่ภาพร่างที่ต้องจดจำ สำหรับจุดโฟกัส (−c,0) และ (c,0), วงรีใช้ผลรวม 2a โดย a>c ไฮเพอร์โบลาที่ไม่เสื่อมสภาพใช้ผลต่างสัมบูรณ์ 2a โดย 0<a<c; ผลต่างที่มีเครื่องหมายจะแยกแยะกิ่งทั้งสองได้

สำหรับไฮเพอร์โบลาที่มีแกนหลักแนวนอน, c²=a²+b² และสมการคือ x²/a²−y²/b²=1. ให้ r_A เป็นระยะทางไปยัง (−c,0) และ r_B เป็นระยะทางไปยัง (c,0). เงื่อนไข r_A−r_B=2a>0 เลือกกิ่งขวา x≥a; เงื่อนไขลบเลือกกิ่งซ้าย การยกกำลังสองอาจทำให้เสียสัญญาณนี้ ดังนั้นต้องตรวจสอบเงื่อนไขระยะทางเดิมหลังจากได้สมการแล้ว ผลต่างเป็นศูนย์จะได้เส้นตั้งฉากแบ่งครึ่งแทนไฮเพอร์โบลา; ผลต่างที่มากกว่าระยะห่างระหว่างโฟกัสเป็นไปไม่ได้ตามอสมการสามเหลี่ยม

ให้ AB=10, AC=15 และ BC=20 จุด P บน AB มี AP=6 และ Q บน AC ทำให้มุม APQ เท่ากับมุม ACB ดังนั้น AP/AC=6/15=2/5 ซึ่ง PQ=8 และ AQ=4 แยกต่างหาก โฟกัสอยู่ที่ (−5,0),(5,0) และระยะทางไปจุดซ้ายลบด้วยระยะทางไปจุดขวาเท่ากับ 6 จะได้ a=3, b²=25−9=16: x²/9−y²/16=1 โดยที่ x≥3. จุด (−3,0) สอดคล้องกับสมการกำลังสองแต่ไม่สอดคล้องกับเงื่อนไขมีเครื่องหมาย

จับคู่มุมก่อนด้าน ร้อยละพื้นที่ใช้กำลังสองของตัวคูณความยาว สมการระยะทางยกกำลังสองอาจอธิบายทั้งสองสาขาแม้ว่าโจทย์เดิมจะขอเพียงสาขาเดียวก็ตาม

รูปทรงคล้ายกันมีอัตราส่วนพื้นที่ผิว 9:25. หาอัตราส่วนความยาวและปริมาตรที่สอดคล้องกัน อธิบายว่าทำไมการจับคู่จุดยอดจึงสำคัญก่อนสร้างอัตราส่วนสามเหลี่ยม

วิธีทำตัวอย่าง

การรากที่สองเชิงบวกจะได้อัตราส่วนความยาว 3:5. การยกกำลังสามจะได้อัตราส่วนปริมาตร 27:125. อัตราส่วนพื้นที่ไม่ใช่ค่าสเกลความยาวเอง จุดยอดที่สอดคล้องกันต้องจับคู่กับมุมที่เท่ากัน; มิฉะนั้นอัตราส่วนอาจเปรียบเทียบด้านที่ไม่เกี่ยวข้องกัน ความคล้ายคลึงเป็นการสมมติในที่นี้; อัตราส่วนพื้นที่เพียงอย่างเดียวไม่พิสูจน์ว่ารูปทรงทั่วไปมีความคล้ายคลึงกัน

สำหรับจุดโฟกัส $A=(-5,0)$ และ $B=(5,0)$, หา locus $|PA|-|PB|=6$. สกัดสมการมาตรฐาน, เลือกกิ่งของมัน และตรวจสอบจุดยอดในความสัมพันธ์ที่ยังไม่ถูกยกกำลังสอง จะเกิดอะไรขึ้นหากผลต่างที่ต้องการเป็น 12?

ตรวจสอบหลังทำแบบฝึกหัดแล้ว

เขียน $r_A=\sqrt{(x+5)^2+y^2}$ และ $r_B=\sqrt{(x-5)^2+y^2}$. เงื่อนไขเดิมคือ $r_A-r_B=6$. เนื่องจาก $r_A^2-r_B^2=20x$, การคูณผลต่างระยะทางด้วยผลรวมจะได้ $r_A+r_B=10x/3$. ดังนั้น $r_B=5x/3-3$, ซึ่งต้องไม่เป็นลบ การยกกำลังสองสมการนี้จะได้ $(x-5)^2+y^2=(5x/3-3)^2$. ขยายและจัดกลุ่มจะได้ $16x^2/9-y^2=16$. ดังนั้นครึ่งหนึ่งของระยะโฟกัสคือ c=5, ครึ่งหนึ่งของผลต่างคือ a=3, และไฮเพอร์โบลาคือ $x^2/9-y^2/16=1$, โดยใช้ $b^2=c^2-a^2=16$. ผลต่างบวกเดิมเลือกกิ่งขวา $x\ge3$. ที่ $(3,0)$ ระยะทางคือ 8 และ 2, ผลต่างหก; ที่ $(-3,0)$ ผลต่างเป็นลบหก. การยกกำลังสองเพียงอย่างเดียวรักษากิ่งที่ไม่ถูกต้องนี้ไว้ ผลต่าง 12 มากกว่า $|AB|=10$ และเป็นไปไม่ได้ตามอสมการสามเหลี่ยมกลับด้าน