ความคล้ายคลึง, การสเกลและ locus ของระยะห่างเชิงขั้ว
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| focus/ˈfəʊkəs/ | จุดโฟกัส |
| similarity/ˌsɪmɪˈlærɪti/ | ความคล้ายกัน |
ตัดสินใจก่อนตอบคำถาม
- แผนที่ขยายระยะทางทุกแห่งโดย 30%. พื้นที่หมึกเพิ่มขึ้น 69%, ในขณะที่ผลต่างที่มีเครื่องหมายของระยะทางไปยังจุดอ้างอิงสองจุดสามารถเลือกได้เพียงสาขาเดียวของเส้นโค้ง
- เป้าหมายของคุณ: จับคู่ยอดสามเหลี่ยมตามมุมที่เท่ากันก่อนสร้างอัตราส่วนด้าน
อ่านความสัมพันธ์
- สามเหลี่ยมคล้ายกันเมื่อมุมที่สอดคล้องกันตรงกัน; อัตราส่วนด้านที่สอดคล้องกันจะเท่ากัน เขียนการจับคู่ยอดให้ชัดเจน ถ้าสามเหลี่ยม APQ มีมุม A เท่ากับมุม A ของ ABC และมุม P เท่ากับมุม C, การจับคู่ตามลำดับคือ A↔A, P↔C, Q↔B. ดังนั้น AP/AC=AQ/AB=PQ/CB. ด้าน AP อยู่บน AB แต่สอดคล้องกับ AC; การจับคู่ตามตำแหน่งที่ด้านอยู่หรือตามตัวอักษร P อาจให้อัตราส่วนที่ผิด
- ใช้ตัวคูณสเกลของความยาว พื้นที่ และปริมาตรต่อการเปลี่ยนแปลงทางเรขาคณิต
Correspondence is A↔A, P↔C, Q↔B. If AP=6, AC=15 and CB=20, what is PQ?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
AP corresponds to AC, not AB. The common scale is 6/15=2/5; multiply CB=20 by it.
ใช้กฎที่กำหนด
- ด้วยตัวคูณสเกลความยาว k>0, ความยาวคูณด้วย k, พื้นที่คูณด้วย k² และปริมาตรคูณด้วย k³. การเพิ่มความยาว 30% หมายถึง k=1.30, ดังนั้นการเพิ่มขึ้นของพื้นที่คือ 1.30²−1=0.69, หรือ 69%; มันไม่ใช่ 60%. สำหรับรูปทรงคล้ายกันที่มีอัตราส่วนปริมาตร 27, อัตราส่วนความยาวคือ 3 และอัตราส่วนพื้นที่ผิว 9. การเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์และผลต่างสัมบูรณ์เป็นปริมาณที่ต่างกัน; เขียนอัตราส่วนใหม่ต่อเก่าก่อนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์
- ระบุเงื่อนไขระยะทางของวงกรอบและรักษาสาขาไฮเพอร์โบล่าที่มีเครื่องหมาย
A circle radius grows by 30%. What is the area increase?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The new area is 1.3²=1.69 times the old area, so the increase is 69%, not the full new ratio 169%.
ตรวจสอบเงื่อนไข
- วงกลมกำหนดระยะทางไปยังจุดหนึ่ง เอลิปส์กำหนดผลรวมของระยะทางไปยังจุดโฟกัสสองจุด ไฮเพอร์โบล่ากำหนดผลต่างสัมบูรณ์ของระยะทางเหล่านั้น; พาราโบลากำหนดความเท่ากันของระยะทางไปยังจุดโฟกัสและเส้น directrice. เหล่านี้เป็นนิยามของชุดจุด ไม่ใช่ภาพร่างที่ต้องท่องจำ สำหรับจุดโฟกัส (−c,0) และ (c,0), เอลิปส์ใช้ผลรวม 2a โดย a>c. ไฮเพอร์โบล่าที่ไม่เสื่อมสภาพ (nondegenerate hyperbola) ใช้ผลต่างสัมบูรณ์ 2a โดย 0<a<c; ผลต่างที่มีเครื่องหมายแยกแยะสาขาทั้งสองของมัน
- ระบุเงื่อนไขระยะทางของวงกรอบและรักษาสาขาไฮเพอร์โบล่าที่มีเครื่องหมาย
ให้ AB=10, AC=15 และ BC=20 จุด P บน AB มี AP=6 และ Q บน AC ทำให้มุม APQ เท่ากับมุม ACB ดังนั้น AP/AC=6/15=2/5 ซึ่ง PQ=8 และ AQ=4 แยกต่างหาก โฟกัสอยู่ที่ (−5,0),(5,0) และระยะทางไปจุดซ้ายลบด้วยระยะทางไปจุดขวาเท่ากับ 6 จะได้ a=3, b²=25−9=16: x²/9−y²/16=1 โดยที่ x≥3. จุด (−3,0) สอดคล้องกับสมการกำลังสองแต่ไม่สอดคล้องกับเงื่อนไขมีเครื่องหมาย
For foci (−5,0),(5,0) and a hyperbola difference magnitude 6, the value of b² is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
c=5 and a=3; b²=c²−a²=25−9=16.
ใช้รูปแบบงาน
- สำหรับไฮเปอร์โบลาที่มีแกนหลักเป็นแนวนอน c²=a²+b² และสมการคือ x²/a²−y²/b²=1. ให้ r_A เป็นระยะไปยัง (−c,0) และ r_B เป็นระยะไปยัง (c,0). เงื่อนไข r_A−r_B=2a>0 เลือกสาขาขวา x≥a; เงื่อนไขลบเลือกสาขาซ้าย. การยกกำลังสองอาจทำให้สูญเสียเครื่องหมายนี้ ดังนั้นตรวจสอบเงื่อนไขระยะทางเดิมหลังจากได้สมการแล้ว. ผลต่างเป็นศูนย์ให้เส้นแบ่งครึ่งตั้งแทนที่จะเป็นไฮเปอร์โบลา; ผลต่างที่มากกว่าระยะห่างระหว่างโฟกัสเป็นเรื่องที่เป็นไปไม่ได้ตามอสมการสามเหลี่ยม
- ระบุเงื่อนไขระยะทางของวงกรอบและรักษาสาขาไฮเพอร์โบล่าที่มีเครื่องหมาย
จับคู่มุมก่อนด้าน ร้อยละพื้นที่ใช้กำลังสองของตัวคูณความยาว สมการระยะทางยกกำลังสองอาจอธิบายทั้งสองสาขาแม้ว่าโจทย์เดิมจะขอเพียงสาขาเดียวก็ตาม
คำตอบใดสอดคล้องกับกรณีนี้?
จับคู่จุดยอดสามเหลี่ยมตามมุมที่เท่ากันก่อนสร้างอัตราส่วนด้าน
The signed condition distance to (−5,0) minus distance to (5,0) equals 6 includes both hyperbola branches.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The positive signed difference selects the right branch. At the left vertex the difference is −6.
รักษาระยะห่าง
- ความคล้ายคลึง — ความเท่ากันของมุมที่ตรงกันและอัตราส่วนของความยาวที่ตรงกัน的共同 ratio
- โฟกัส — จุดคงที่ที่ใช้ในการนิยามระยะของวงกรวย
- จับคู่จุดยอดสามเหลี่ยมโดยมุมที่เท่ากันก่อนจะสร้างอัตราส่วนด้าน
- ใช้ตัวคูณสเกลของความยาว พื้นที่ และปริมาตรต่อการเปลี่ยนแปลงทางเรขาคณิต
- ระบุเงื่อนไขระยะทางของวงกรอบและรักษาสาขาไฮเพอร์โบล่าที่มีเครื่องหมาย
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.