สำหรับ f:X→Y และ A⊆X, ภาพ f(A) ประกอบด้วย output ทั้งหมด f(a) โดยที่ a ∈ A จุดหนึ่งจะอยู่ใน f(A∪B) ก็ต่อเมื่อจุดนั้นมาจาก A หรือ B ดังนั้น f(A∪B)=f(A)∪f(B) หาก A⊆B แล้ว f(A)⊆f(B) สำหรับผลตัดกัน จะได้ว่า f(A∩B)⊆f(A)∩f(B) เป็นจริงเสมอ: output เดียวอาจมาจาก input ที่แตกต่างกัน ใช้ f(x)=x², A={−1}, B={1}; ภาพทางซ้ายเป็นเซตว่าง ในขณะที่ผลตัดกันทางขวาคือ {1}
Preimages behave differently. For C⊆Y, f⁻¹(C) here denotes the set of all inputs sent into C, even if f has no inverse function. Membership in two preimages means the very same input maps into both target sets. Consequently preimages preserve unions, intersections and complements relative to the stated domain/codomain. Do not transfer a theorem about preimages to images. If f is injective, image intersections do become equal, because equal outputs then force a shared input.
ความสัมพันธ์ R บน X เป็น reflexive เมื่อ xRx สำหรับทุก x, เป็น symmetric เมื่อ xRy implicates yRx, และเป็น transitive เมื่อ xRy และ yRz implicates xRz ทั้งสามข้อนี้สร้าง equivalence relation; kelas ของมันจะ partition X บนจำนวนเต็ม, xRy เมื่อ x และ y มีเศษเหลือเท่ากัน modulo สี่ ให้ kelas สี่ kelas ความสัมพันธ์ |x−y|≤1 เป็น reflexive และ symmetric แต่ไม่ใช่ transitive: 0R1 และ 1R2 แต่ 0 ไม่มีความสัมพันธ์กับ 2 การตรวจสอบเพียงแผนภาพหรือสองสมบัติไม่เพียงพอ
An implication P⇒Q is false exactly when P is true and Q false. Thus the negation of P⇒(Q∧R) is P∧(¬Q∨¬R), not ¬P⇒(¬Q∧¬R). Negating “every x has property A” gives “there exists x without A”; negating “there exists x” gives “every x does not”. A counterexample can disprove a universal claim, while examples cannot prove it. The quantifiers retain their order when individually negated: ¬(∀x∃y S(x,y)) is ∃x∀y ¬S(x,y).
