6 · Statistics and probability

4MA1 หัวข้อ 6 (สเปกนิฟิเคชัน Issue 2, พฤศจิกายน 2017) ระดับพื้นฐาน 6.1–6.3 ครอบคลุม การจัดแสดงข้อมูล ค่าเฉลี่ยจากการประมาณกลุ่ม และชุดเครื่องมือความน่าจะเป็นทั้งหมด (มาตราส่วน, พื้นที่ตัวอย่าง, แผนภาพเวนน์, ส่วนเสริม); Higher เพิ่มฮิสโตแกรมที่มีชั้นไม่เท่ากัน งานความถี่สะสมพร้อมค่ามัธยฐานและช่วงระหว่างควอไทล์ และแผนภาพต้นไม้สำหรับเหตุการณ์อิสระและเงื่อนไข แผนภูมิสำหรับเหตุการณ์ที่เป็นอิสระและเงื่อนไข ในข้อสอบเดือนมิถุนายน 2024 ส่วนนี้ จัดเตรียมฮิสโตแกรมที่มีขนาดชั้นไม่เท่ากัน (1HR Q16), กราฟสะสมความถี่พร้อม ค่าควอไทล์อ่านได้ (2HR Q11) และคำถามเรื่องพีชคณิตที่ไม่มีการแทนที่ (1HR Q21).

สิ่งที่ต้องรู้สำหรับหัวข้อ 6:

ทำตารางก่อนวาด: นับรวมลงในตารางความถี่, รักษาขอบเขตชั้นให้ชัดเจน, จากนั้นเลือกแผนภูมิ — แผนภูมิแท่ง (หมวดหมู่ที่ไม่ต่อเนื่อง), แผนภูมิวงกลม (สัดส่วน), แผนภูมิภาพ, หรือระนาบความถี่สำหรับข้อมูลกลุ่ม การตีความสามารถทำได้สองทาง: อ่านค่าจากแผนภูมิที่กำหนดและเปรียบเทียบการกระจาย (สองกลุ่มบนแกนนอนเดียวกัน; แกนนอนที่ตัดทอนซึ่งทำให้เข้าใจผิดก็ถือเป็นความคิดเห็นที่ยอมรับได้)

ระดับสูงจะวาด ฮิสโตแกรม ด้วย ช่วงความกว้างไม่เท่ากัน: ความสูงของแท่ง คือ ความหนาแน่นของความถี่ $= \dfrac{\text{frequency}}{\text{ความ กว้างของช่วง}}$, ดังนั้นพื้นที่แทนความถี่ ช่วงความกว้างเท่ากันเป็นกรณีพิเศษที่ ความสูงเพียงอย่างเดียวเพียงพอ

ตัวอย่างวิธีทำ: 1 HR เดือนมิถุนายน 2024 ข้อ 16, ปรับแต่ง. กลุ่มข้อมูลมีความกว้าง 2, 3, 5, 10, 15 มีจำนวน ความถี่ 5, 12, 18, 14, 9. ความหนาแน่น: $\tfrac52 = 2.5$, $\tfrac{12}3 = 4$, $\tfrac{18}5 = 3.6$, $\tfrac{14}{10} = 1.4$, $\tfrac9{15} = 0.6$ — เกณฑ์การให้คะแนนของข้อสอบ ยอมรับแท่งที่มีความถูกต้องซึ่งมีความสูงอยู่ในอัตราส่วนนี้ ตรวจสอบเอง: ตัวสุดท้าย แท่งสุดท้ายดูสูงเพราะความกว้างของมันคือ 15; พื้นที่ของมันคือ $0.6 \times 15 = 9$. ✓

The mean sums and divides; the median orders and takes the middle; the mode is the most frequent. For 3, 7, 8, 10, 12: mean 8, median 8, ช่วง $12 - 3 = 9$. สำหรับข้อมูลกลุ่ม ให้ประมาณค่าเฉลี่ยโดยใช้อันตรกึ่งกลาง: คูณแต่ละอันตรกึ่งกลางกับความถี่ แล้วรวมและหารด้วยผลรวมทั้งหมด; ระบุ ชั้นฐาน ผลรวมเทียบกับขอบเขตชั้นบนและเชื่อมด้วยเส้นโค้งที่เพิ่มขึ้นอย่างเรียบลื่น — ซึ่งเรียกว่า (ชั้นที่มีความหนาแน่นของความถี่สูงสุดเมื่อความกว้างต่างกัน)

ตัวอย่างทำพร้อมอธิบาย: ค่าเฉลี่ยกลุ่ม. เวลา $t$ (นาที) สำหรับ 25 นักเรียน:

$\sum fm = 20 + 105 + 225 + 175 = 525$ และ $\sum f = 25$, ดังนั้นค่าเฉลี่ยจะอยู่ที่ประมาณ $525 \div 25 = 21$ นาที เป็นเพียง ค่าประมาณ เท่านั้น เนื่องจากนักเรียนแต่ละคนถูกพิจารณา เสมือนอยู่ที่จุดกึ่งกลางของช่วง ค่ากลุ่มที่มีโมดัสคือ $20 < t \le 30$ การหารด้วย 4 (จำนวน ช่วง) แทนที่จะหารด้วย 25 คือความผิดพลาดที่พบบ่อย

ช่วงควอไทล์วัด การกระจาย ด้วย ควอไทล์: เรียงข้อมูลให้เป็นลำดับ, หาค่ามัธยฐาน แล้วหาค่ามัธยฐานของครึ่งล่างและครึ่งบนจะได้ $Q_1$ และ $Q_3$; ช่วงควอไทล์ คือ $Q_3 - Q_1$ (ไม่ได้รับผลกระทบจากค่าผิดปกติต่างจาก ช่วง) สำหรับ 4, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 15: มัธยฐานคือ 9.5, ครึ่งล่าง 4, 6, 7, 9 ให้ $Q_1 = 6.5$, ครึ่งบน 10, 12, 14, 15 ให้ $Q_3 = 13$, ดังนั้น IQR คือ $13 - 6.5 = 6.5$.

ตาราง ความถี่สะสม เพิ่มจำนวนความถี่เมื่อผ่านแต่ละชั้น; วาดจุดแต่ละ total against its UPPER class boundary and join with a smooth increasing curve — the ogive. Reads: the median is the value at $\tfrac n2$ on the curve; the quartiles at $\tfrac n4$ and $\tfrac{3n}4$; the IQR is their difference; percentiles work the same way, and "how many above X" reads the total at X and subtracts from $n$.

ตัวอย่างวิธีทำ: 2HR มิถุนายน 2024 ข้อ11 กลุ่มครอบครัว ปรับแล้ว. 60 เวลาบ้านวิชา (hours per week): cumulative frequencies 6, 17, 27, 42, 60 at upper boundaries 10, 15, 20, 25, 30. ค่ากลางอยู่ที่พนักงานคน30: ระหว่าง20 (27 พนักงาน) และ25 (42), ดังนั้น $20 + 5 \times \tfrac{30 - 27}{42 - 27} = 21$ ชั่วโมง. สัดส่วน四分位: พนักงานคน15 ให้ค่า$Q_1 = 10 + 5 \times \tfrac{15 - 6}{17 - 6} = 14.1$; คนที่45 ให้ค่า $Q_3 = 25 + 5 \times \tfrac{45 - 42}{60 - 42} = 25.8$; IQR $\approx 11.7$. วาดกราฟ การอ่านค่าจากกราฟ — จุดบนกราฟใช้สำหรับอ่านค่า ไม่ใช่แค่คำตอบ

ความน่าจะเป็นวัดโอกาสในสเกล 0 (เป็นไปไม่ได้) ถึง 1 (แน่นอน) ค่า A โมเดลทางทฤษฎีนับผลลัพธ์ที่มีโอกาสเท่ากัน; การทดลองประมาณค่าจาก ความถี่: $P(\text{event}) \approx \tfrac{\text{times it happened}}{\text{trials}}$ (ประมาณค่าจากข้อมูลที่เก็บรวบรวมไว้ก่อนหน้า) พื้นที่ตัวอย่าง รวบรวม ผลลัพธ์ทั้งหมด — สำหรับเหตุการณ์สองครั้งต่อเนื่อง ใช้ตารางหรือรายการแบบมีระบบ; ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งคำนวณจากจำนวนเซลล์ที่สอดคล้อง ความน่าจะเป็นนับเซลล์ที่เป็นไปได้ กฎของ ส่วนเสริม: $P(A') = 1 - P(A)$ — มักเป็นวิธีที่รวดเร็ว (สำหรับคำถาม "อย่างน้อยหนึ่ง")

แผนภาพเวนน์: พื้นที่ของแต่ละเซตและการทับซ้อน; ความน่าจะเป็นถูกใส่ลงใน พื้นที่เหล่านี้ และผลรวมเท่ากับ 1, โดย $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ ตัวอย่าง: 30 students, 18 like cricket ($C$), 15 tennis ($T$), 7 both: $P(C \cup T) = \tfrac{18 + 15 - 7}{30} = \tfrac{26}{30}$, and $P(\text{neither}) = 1 - \tfrac{26}{30} = \tfrac{2}{15}$

แผนภาพต้นไม้ คำนวณโดยการคูณตามกิ่งและบวกระหว่างผลลัพธ์ เมื่อมีการ การเลือกแบบมีคืน (replacement), กิ่งซ้ำ — เหตุการณ์เหล่านี้เป็น อิสระต่อกัน: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. การเลือกแบบไม่มีคืน, ตัวส่วนของกิ่งที่สอง ลดลงหนึ่ง และตัวเศษลดลงตามผลลัพธ์ครั้งแรก: การสุ่มนี้เป็นแบบขึ้นกัน, และ วิธีแสดงแสดงค่าเศษส่วนที่เปลี่ยนแปลงไป

ตัวอย่างวิธีทำ: 1HR มิถุนายน 2024 ข้อ21 กลุ่มครอบครัว ปรับแล้ว. ถุงหนึ่งมี 5 สีแดง, 6 สีน้ำเงิน และ 9 green sweets; two are taken without replacement. $P(\text{one red and one blue, in ลำดับใดก็ได้}) = \tfrac{5}{20} \times \tfrac{6}{19} + \tfrac{6}{20} \times \tfrac{5}{19} = \tfrac{60}{380} = \tfrac{3}{19}$. เวอร์ชันในกระดาษใช้กลไกเดียวกันด้วย ค่า $x$ ที่ไม่ทราบและแก้สมการกำลังสองที่ได้ (ผลลัพธ์ที่ตรวจสอบแล้ว: $x = 11$, ความน่าจะเป็นสุดท้าย, ขยาย, แก้, และปฏิเสธรากที่บริบทห้ามไว้ ด้วยกระเป๋าข้างต้น, $\tfrac7{75}$ อ่านได้โดยตรงจากกิ่ง ความน่าจะเป็น, ขยาย, แก้, และปฏิเสธรากที่บริบทห้ามไว้.

ตัวอย่างวิธีทำ: ผลรวมที่ไม่ทราบ ถุงหนึ่งมี $n$ ลูกอม ซึ่งในนั้น 6 เป็นสีส้ม ดึงออกมาสองลูกโดยไม่ใส่กลับ และ $P(\text{both orange}) = \tfrac13$. หา $n$

จำนวนลูกอมไม่สามารถเป็นลบได้ ดังนั้น $n = 10$. ตรวจสอบ: $\tfrac{6}{10} \times \tfrac{5}{9} = \tfrac{30}{90} = \tfrac13$. ✓

Conditional probability shrinks the world: $P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ — บนแผนภาพต้นไม้, สาขาที่สองเมื่อสาขาแรกเกิดขึ้นแล้ว ด้วยถุงข้างต้น, $P(\text{blue second} \mid \text{red first}) = \tfrac{6}{19}$ อ่าน ตรงจากสาขาได้เลย

• สเกลความน่าจะเป็น; การประมาณค่าทางทฤษฎีและการทดลอง; เซตตัวอย่างและการนับแบบระบบสำหรับสองเหตุการณ์; แผนภาพเวนน์กับกฎการบวก; คอมพลีเมนต์ (F 6.1 A–H).
• Draw histograms with unequal widths via frequency density; area is the frequency (H 6.1 A; June 2024 1HR Q16).
• ควอไทล์และช่วงระหว่างควอไทล์สำหรับข้อมูลแบบต่อเนื่องตามตำแหน่ง (H 6.2 B–C)
• สัดส่วน四分位และIQRสำหรับข้อมูลแบบไม่ต่อเนื่องโดยตำแหน่ง (H 6.2 B–C).
• สร้างเส้นความถี่สะสมจากตาราง; อ่านค่ากลาง, สัดส่วน四分位, IQR และเปอร์เซนไทล์ด้วยเส้นอ่านที่วาดไว้ (H 6.1 B–C, H 6.2 A, D; มิถุนายน 2024 2HR Q11).
• สเกลความน่าจะเป็น; การประมาณค่าเชิงทฤษฎี vs เชิงทดลอง; ชุดตัวอย่างและการจัดเรียงระบบสำหรับสองเหตุการณ์; แผนภาพเวนน์กับกฎการบวก; ส่วนเสริม (F 6.3 A–H).
• แผนภาพต้นไม้: คูณตามแนว, บวกระหว่าง; แทนที่ vs ไม่แทนที่; ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขอ่านจากสาขา; การตั้งสมการพีชคณิตที่จบด้วยกำลังสอง (H 6.3 A–D; มิถุนายน 2024 1HR Q21 family).

หมายเหตุขอบเขต: ฮิสโตแกรมใช้ความหนาแน่นของความถี่ (ไม่ใช่ความถี่) เมื่อความกว้าง แตกต่างกัน; มาตรฐานของควอไทล์ในที่นี้คือตำแหน่ง (ค่ามัธยฐานของส่วนล่างและส่วนบน ครึ่ง; ค่าคาดหวังและสัญลักษณ์เซตแบบเป็นทางการอยู่ในเนื้อหาที่จะศึกษาในภายหลัง ระดับพื้นฐาน ผู้เข้าสอบทำเพียงบรรทัดระดับพื้นฐาน 6.1–6.3 เท่านั้น ตัวอย่างวิธีทำปรับมาจาก ทบทวนข้อสอบเดือนมิถุนายน 2024 หรือต้นฉบับ; ข้อสอบบนแผ่นมีต้นฉบับใหม่เว้นแต่จะระบุไว้