1 · Numbers and the number system

4MA1 หัวข้อ 1 (ประเด็นสเปก 2, พฤศจิกายน 2017) เป็นหัวใจของ คุณวุฒิ: ระดับพื้นฐาน 1.1–1.11 ครอบคลุมตั้งแต่จำนวนเต็มและกฎสี่อย่างผ่าน เศษส่วน, ทศนิยม, เลขชี้กำลัง, เซต, เปอร์เซ็นต์, อัตราส่วน, ขอบเขต และรูปแบบมาตรฐานไปสู่ การใช้จำนวนในชีวิตประจำวัน; ระดับสูงเพิ่มการแปลงทศนิยมซ้ำ, รากที่สอง, เซตพีชคณิต, การเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์ซ้ำซ้อน และปัญหาขอบเขต. ในช่วงเดือนมิถุนายน 2024 ข้อสอบสายนี้ ให้เปอร์เซ็นต์ย้อนกลับ (2HR Q8), รูปแบบมาตรฐาน (2HR Q9), การพิสูจน์ทศนิยมซ้ำ (2HR Q18 family), การคูณขอบเขตบน (2HR Q19), การจัดรูปรากที่สอง (1HR Q17 family) and prime factors with Venn regions (1HR Q11 family).

สิ่งที่ต้องรู้สำหรับหัวข้อ 1:

จำนวนเต็มครอบคลุมจำนวนบวก, จำนวนลบ และศูนย์; ตำแหน่งมีชื่อระบุมูลค่าของแต่ละหลักเลข จำนวนที่มีทิศทางปรากฏในสถานการณ์จริง (อุณหภูมิ, หนี้สิน, ระดับน้ำทะเล); การเรียงลำดับ วางตำแหน่งบนเส้นจำนวน. สี่การคำนวณกับจำนวนลบ: เครื่องหมายเหมือนกันบวก, เครื่องหมายต่างกันลบ, ลบสองตัวเป็นบวก. วงเล็บ, ตามด้วยเลขชี้กำลัง, ตามด้วย, หาร/คูณ, แล้วบวก/ลบ** (BIDMAS): $3 + 4 \times 2^2 = 3 + 16 = 19$, ในขณะที่ $(3 + 4) \times 2 = 14$. คี่, คู่, จำนวนเฉพาะ (มีตัวประกอบเพียงสอง), ตัวประกอบ และ พหุคูณจำแนกจำนวนนับ; ตัวประกอบร่วมและ พหุคูณร่วมนำไปสู่ HCF และ LCM.

เศษส่วนที่เท่ากันตัดทอนหรือขยาย: $\tfrac{8}{12} = \tfrac23$. เศษผสม และ เศษทศนิยมแปลงด้วยการหารโดยมีเศษเหลือ. ตัวส่วนร่วมกันช่วยให้จัดอันดับ เปรียบเทียบ บวก และ ลบเศษส่วนได้: $\tfrac13 + \tfrac14 = \tfrac{4}{12} + \tfrac{3}{12} = \tfrac{7}{12}$. ส่วน เศษส่วน OF ปริมาณหนึ่งคูณ: $\tfrac34$ ของ 48 คือ 36; การแสดงจำนวนหนึ่งเป็น เศษส่วนหนึ่งของอีกตัวหนึ่งหาร ($7$ เป็นเศษส่วนของ $28$ คือ $\tfrac14$). การคูณ fractions multiplies numerators and denominators; dividing multiplies by the ส่วนกลับ — ส่วนหนึ่งหน่วยเป็นผลคูณกลับ ($\tfrac13$ undo $3$). เศษส่วนแปลงเป็นทศนิยม (หาร) และเปอร์เซ็นต์ (คูณด้วย 100).

ทศนิยมซ้ำ (ระดับสูง) แปลงโดยใช้พีชคณิต: ให้ $x = 0.306306\ldots$; แล้ว $1000x = 306.306\ldots$; ลบกัน, $999x = 306$, ดังนั้น $x = \tfrac{306}{999} = \tfrac{34}{111}$ (มิถุนายน 2024 2HR Q18). ทศนิยมจำกัดคือเศษส่วนที่มี ตัวส่วนเป็นกำลังของสิบ.

ตำแหน่งค่าหลักของทศนิยมมี tenth, hundredth, thousandth; การเรียงลำดับเปรียบเทียบเลขที่มี ค่ามากที่สุดก่อน กำลังสอง ($1, 4, 9, \ldots$), กำลังสาม จำนวน ($1, 8, 27, \ldots$), รากของพวกมัน และ สัญลักษณ์เลขชี้กำลัง พร้อม กฎการคูณและการหารสำหรับเลขชี้กำลังจำนวนเต็มบวก: $2^3 \times 2^4 = 2^7$ and $2^7 \div 2^3 = 2^4$. Every integer factors into primes: $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$; มิถุนายน 2024 1HR Q11 ตัวประกอบครอบครัวแยกจำนวนใหญ่ออกเป็นจำนวนเฉพาะและอ่าน ผลคูณของพื้นที่จากแผนภาพเวนน์ ($19600 = 2^4 \times 5^2 \times 7^2$). The HCF ใช้กำลังต่ำสุดของแต่ละจำนวนเฉพาะร่วม; LCM ใช้กำลังสูงสุดของทุกจำนวนเฉพาะ: สำหรับ $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ และ $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$, HCF $= 2^2 \cdot 3 = 12$ และ LCM $= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520$.

รากไม่สมบูรณ์ คือรากอตรรกยะที่แน่นอนเช่น $\sqrt2$. ลดรูปโดยการดึง สี่เหลี่ยม: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2$, โดยใช้ $\sqrt{ab} = \sqrt a\, \sqrt b$. Adding needs like surds: $3\sqrt2 + 5\sqrt2 = 8\sqrt2$, but $\sqrt2 + \sqrt3$ ไม่สามารถจัดรูปได้.

การทำให้ส่วนเป็นจำนวนตรรกยะ ล้างรากออกโดยการคูณทั้งเศษและ ส่วนด้วย-queryate — ผลต่างของสี่เหลี่ยมสองกำลังจะลบมันออกได้อย่างสมบูรณ์. ตัวอย่างทำ: $\dfrac{5}{3 - \sqrt2} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{(3 - \sqrt2)(3 + \sqrt2)} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{9 - 2} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{7}$; and $\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$. มิถุนายน 2024 1HR Q17 ครอบครัวทำให้ส่วนเป็นจำนวนตรรกยะ สร้างจาก $2 - \sqrt3$ ไปยังคำตอบของครอบครัว $\tfrac{7(2 + \sqrt3)}{4}$ — เนื่องจาก $(2 - \sqrt3)(2 + \sqrt3) = 1$, ตัวคูณ $(2 + \sqrt3)$ ล้างรากออกได้อย่างสมบูรณ์.

เซต คือกลุ่มขององค์ประกอบ: $A = \{2, 4, 6, 8\}$. สัญลักษณ์: $\cup$ (ยูเนียน, ในเซตใดก็ได้), $\cap$ (อินเตอร์เซกชัน, ในทั้งสอง), $\in$ และ $\notin$ (สมาชิกภาพ). เซตสากล $\mathcal{E}$ มี ทุกสิ่งที่กำลังพูดคุยถึง; เซตว่าง $\emptyset$ ไม่มีสมาชิก; ซึ่ง เซตเสริม $A'$ ครอบคลุมทุกอย่างใน $\mathcal{E}$ นอกเหนือจาก $A$. แผนภาพ Venn แผนภาพ วาดบริเวณ — ในระดับสูงพร้อมเซตทางพีชคณิต, เซตย่อย ($B \subset A$: สมาชิกทุกตัวของ $B$ อยู่ใน $A$), จำนวนสมาชิก $n(A)$, and practical uses (polls, prime-factor regions). June 2024 1HR Q11 family places the ตัวประกอบหลักของสองจำนวนในแผนภาพ Venn สองเซตและอ่านผลคูณเช่น $AB$, $A^2$ และ $B^2$ จากพื้นที่รวม — ห.ร.ม. คือผลคูณของส่วนที่ทับซ้อนกัน, ค.ร.น. ผลคูณของทุกสิ่งทุกอย่าง

แผนภาพเวนน์สองเซตภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้าเซตสากล: เซต A ทางซ้าย, B ทางขวา, ส่วนกลางที่ทับซ้อนกัน, พื้นที่ส่วนเติมเต็มถูกทึบสี พร้อมแสดงการดำเนินการ_union_, intersection, complement และ n(A).

เปอร์เซ็นต์หมายถึงส่วนต่อ 100: $35\% = 0.35 = \tfrac{7}{20}$. เปอร์เซ็นต์ทำหน้าที่เป็น ตัวคูณ: เพิ่มขึ้นตาม $12\%$ หมายถึง $\times 1.12$; ลดลงตาม $20\%$ หมายถึง $\times 0.8$. กลับด้านเปอร์เซ็นต์หารค่าสุดท้ายด้วยตัวคูณ — มิถุนายน 2024 2HR Q8: ตู้เย็นที่ราคา 6225 รูปีหลังจากลดราคา $17\%$ เดิมมีราคา $\tfrac{6225}{0.83} = 7500$ รูปี. ดอกเบี้ยทบต้น และการเสื่อมสภาพใช้ ตัวคูณซ้ำ: $A = P\left(1 \pm \tfrac{r}{100}\right)^n$ — £2000 ที่ 3% ดอกเบี้ยทบต้นเป็นเวลา 4 ปี จะเพิ่มเป็น $2000 \times 1.03^4 = £2251.02$; รถยนต์มูลค่า £12000 เสื่อมสภาพ 15% ต่อปี เป็นเวลา 3 ปี จะลดลงเหลือ $12000 \times 0.85^3 = £7369.50$

อัตราส่วน เปรียบเทียบส่วนย่อย: ลดทอนโดยการหารตลอด ($45 : 60 = 3 : 4$); แบ่ง ตาม $\tfrac{\text{parts}}{\text{total}} \times \text{amount}$ — £350 ถูกแบ่งในอัตรา ส่วน $2 : 5$ จะได้ $\tfrac27 \times 350 = £100$ และ $\tfrac57 \times 350 = £250$ สัดส่วน ขยายหรือหดภายในหรือระหว่างปริมาณ: วิธีหน่วยเดียวหาหนึ่งหน่วย ก่อน (7 ปากกา costing £4.20, ดังนั้นปากกาหนึ่งใบ costing £0.60 และ 12 ปากกา costing £7.20); ปริมาณ ใน อัตราส่วนตรง สเกลแบบเดียวกัน ($y = kx$) ปัญหาคำอธิบายผสม มีความสมเหตุสมผล มีความสมเหตุสมผล

ปัดเศษจำนวนเต็มเป็นกำลังของสิบ และทศนิยมเป็นเลขมีนัยสำคัญหรือตำแหน่งทศนิยม ตำแหน่ง: $3.4617 \to 3.5$ (2 เลขมีนัยสำคัญ) และ $3.46$ (2 ตำแหน่งทศนิยม) ค่าที่แม่นยำจะมีขอบเขต — 19 ปัดเศษเป็นจำนวนเต็ม nearest whole means $18.5 \le v < 19.5$ — ขอบเขตบน bound** 19.5 และ lower bound 18.5. การประมาณค่าจะปัดเศษทุกจำนวนให้เป็น 1 s.f. first: $\tfrac{4.12 \times 29.8}{0.187} \approx \tfrac{4 \times 30}{0.2} = 600$. Bound problems (Higher) choose the extremes the question needs — June 2024 2HR Q19: distance $=$ speed $\times$ time with speed $19$ km/h to the nearest whole (so UB $19.5$) and time $1.5$ h to 1 d.p. (so UB $1.55$): the upper bound of the distance is $19.5 \times 1.55 = 30.2$ km (3 s.f.).

Standard form writes $a \times 10^n$ with $1 \le a < 10$: $604000 = 6.04 \times 10^5$ and $0.00007 = 7 \times 10^{-5}$ (June 2024 2HR Q9). Indices add จำนวนในชีวิตประจำวัน — เงิน, ตารางเวลา, ค่าอ่าน — ใช้คณิตศาสตร์เดียวกันพร้อมหน่วย calculator's $\times 10^{\wedge}$ key keeps the working exact.

Everyday number — money, timetables, readings — uses the same arithmetic with units เครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์ทำตามลำดับการดำเนินการที่ถูกต้อง — แต่การปัดตัวเลขก่อนกำหนด (seconds to years, 12- and 24-hour clocks), and the conversions between them ($1\ \text{m}^2 = 10^4\ \text{cm}^2$; $1\ \text{litre} = 1000\ \text{cm}^3$). A scientific calculator applies the order of operations correctly — but rounding early สูญเสียความแม่นยำ: รักษาค่าความละเอียดเต็มรูปแบบตลอดกระบวนการคำนวณ และปัดเศษเฉพาะคำตอบสุดท้าย คำตอบ ให้มีความแม่นยำตามที่โจทย์กำหนด

• จำนวนเต็ม, การจัดลำดับ, จำนวนที่มีทิศทาง, กฎสี่ข้อ, BIDMAS, คี่, คู่, prime, factors และ multiples (F 1.1 A–H)
• เศษส่วนที่เทียบเท่า เศษส่วนผสม ส่วนร่วม เศษของปริมาณ ค่าผกผัน และการแปลงระหว่างเศษส่วน ทศนิยม และเปอร์เซ็นต์ (F 1.2 A–H)
• สี่เหลี่ยม, ลูกบาศก์, ราก, กฎเลขชี้กำลัง, การแยกตัวประกอบเป็นจำนวน PRIMES, GCD และ LCM (F 1.3 A–E; มิถุนายน 2024 2 HR Q18 กลุ่ม).
• Decimals: place value, ordering, terminating decimals as fractions (F 1.3 A–E).
• Squares, cubes, roots, index laws, prime factorisation, HCF and LCM (F 1.4 A–E; June 2024 1HR Q11 family).
• Surds: simplifying, adding like surds, rationalising with conjugates (H 1.4 A–B; June 2024 1HR Q17 family).
• เซต: สัญลักษณ์ เซตเอกฐาน/เซตว่าง/เซตส่วนเติมเต็ม แผนภาพเวนน์; เซตย่อยระดับสูง, n(A), เซตเชิงพีชคณิตและเชิงปฏิบัติ (F 1.5 A–E, H 1.5 A–D)
• เปอร์เซ็นต์: ตัวคูณ, เปอร์เซ็นต์ของค่า, การเพิ่ม/ลด, การหาค่าเดิม, ดอกเบี้ยทบต้นและการเสื่อมสภาพ (F 1.6 A–G, H 1.6 A–B; มิถุนายน 2024 2 HR Q8)
• อัตราส่วนในรูปอย่างง่าย การแบ่งสัดส่วน ความแปรผันตรง และโจทย์ปัญหา (F 1.7 A–E)
• การปัดเศษเป็นเลขยกกำลังสิบ หลักความมีนัยสำคัญ และทศนิยม; การระบุขอบเขตและโจทย์เกี่ยวกับขอบเขตโดยเลือกค่าสุดขั้วที่เหมาะสม; การประมาณค่าด้วย 1 หลักความมีนัยสำคัญ (F 1.8 A–D, H 1.8 A; มิถุนายน 2024 2 HR Q19)
• การแปลงและคำนวณในรูปมาตรฐาน (F 1.9 A, H 1.9 A; มิถุนายน 2024 2HR Q9)
• จำนวนในชีวิตประจำวัน หน่วยมาตรฐานและการแปลงหน่วย การคำนวณเวลา และระเบียบในการใช้เครื่องคิดเลข (F 1.10 A–C, F 1.11 A)

หมายเหตุขอบเขต: เลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน ลลบ และศูนย์ นอกเหนือจากกฎการคูณและ กฎการหารอยู่ในหัวข้อ 2; กราฟอัตราส่วนอยู่ในหัวข้อ 2 และ 4; ค่าคงที่ ระดับพื้นฐานเท่านั้น ตัวอย่างวิธีทำถูกปรับมาจากข้อสอบเดือนมิถุนายน 4 ที่ผ่านการตรวจสอบแล้ว ระดับพื้นฐานเท่านั้น ตัวอย่างวิธีทำปรับมาจากข้อสอบเดือนมิถุนายน 2024 ที่ผ่านการทบทวนแล้ว หรือเป็นต้นฉบับ; ข้อสอบในแผ่นคำถามเป็นของใหม่เว้นแต่จะระบุไว้