4 · Geometry and trigonometry

หัวข้อ 4MA1 เรื่อง 4 (เอกสารกำหนดหลักสูตร Issue 2, พฤศจิกายน 2017) เป็นหัวข้อที่ใหญ่ที่สุด: แถวระดับ พื้นฐาน 4.1–4.11 ครอบคลุมข้อเท็จจริงเกี่ยวกับมุม, รูปหลายเหลี่ยม, หน่วยวัด, การสร้างรูป, คำศัพท์วงกลม, พีทาโกรัสและ 2D ตรีโกณมิติ, การคำนวณปริมาตร/พื้นที่ และความคล้ายคลึง; ระดับสูงเพิ่มคุณสมบัติของ สาย chord ที่ตัดกัน, โปรแกรมเหตุผลทฤษฎีบทวงกลมที่สมบูรณ์, มุมทื่อและ ตรีโกณมิติที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก, ปัญหา 3D, ส่วนวงกลม, กรวย, ลูกบอล และ $k^2/k^3$ อัตราส่วนความคล้ายกัน. ในข้อสอบ Higher เดือนมิถุนายน 2024 หัวข้อนี้ได้มอบสายการคิดแบบหลายขั้นตอน AO3 chains: a reasoned circle-theorem chase, a composite hexagon area, a 3D cosine-rule angle และสมการของวัตถุสามมิติที่คล้ายกัน $k^3$.

สิ่งที่ต้องรู้สำหรับหัวข้อ 4 (แผ่นสูตร Higher ให้กฎไซน์/คอสาย, ½ab sin C, และสูตรปริมาตรและพื้นที่ผิวของกรวย/ลูกบอล):

มุมจำแนกเป็นมุมแหลม ($< 90°$), มุมฉาก, มุมทู่ ($90°$–$180°$) และมุมเกิน ($> 180°$). มุมบนเส้นตรงรวมกันได้ 180°, รอบจุดได้ 360°, มุมตรงข้ามกันมีขนาดเท่ากัน, และเส้นขนานให้ มุมร่วม ที่เท่ากัน มุมตรงข้ามมีค่าเท่ากัน และเส้นขนานให้ มุมที่ตำแหน่งเทียบเท่า เท่ากัน สามเหลี่ยมเท่ากับผลบวกของมุมภายในสองมุมที่อยู่ห่างจากมุมนั้น, และผลบวกมุมคือ 180°; สามเหลี่ยมหน้าจั่วมีด้านสองด้านและมุมฐานเท่ากัน, สามเหลี่ยมด้านเท่ามีสามด้านและสามมุมเท่ากันที่ รูปหลายเหลี่ยมมีชื่อตามจำนวนด้าน; สี่เหลี่ยม มีผลบวกมุมเป็น 180°, สามเหลี่ยมหน้าจั่วมีด้านและมุมฐานที่เท่ากันสองด้าน ส่วนสามเหลี่ยมด้านสมมาตรมีทั้งสามอย่างละสามอย่าง 60°.

รูปหลายเหลี่ยมเรียกชื่อตามจำนวนด้าน; สี่เหลี่ยม มีผลรวมมุมภายใน 360°, และผลรวมมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมแต่ละชนิดคือ $(n-2) \times 180°$. รูป รูปหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอ มีด้านและมุมทั้งหมดเท่ากัน: มุมภายนอก $= 360°/n$, มุมภายใน $= 180° - 360°/n$ — สามเหลี่ยมหน้าจั่ว (pentagon) สม่ำเสมอจะมีมุมภายใน 108°. สี่เหลี่ยมพิเศษซ้อนกัน: สี่เหลี่ยมขนาน (ด้านตรงข้ามและมุมเท่ากัน, ทแยงมุมตัดกันเป็นสองส่วนเท่ากัน), สี่เหลี่ยมผืนผ้า (มีมุมฉากด้วย), สี่เหลี่ยมจตุรัส (มีด้านเท่ากันทุกด้าน, ทแยงมุมตั้งฉากกัน), สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน, สี่เหลี่ยมคางหมู (มีคู่ขนานหนึ่งคู่) รูปทรงสองรูปจะ ** congruent ** เมื่อมีรูปร่างและขนาดเหมือนกันเป๊ะ (เงื่อนไข SSS, SAS, ASA, RHS); รูปทรงที่ similar มีมุมเท่ากัน และด้านตรงข้ามมีอัตราส่วนเท่ากัน

เส้นสมมาตร ของรูปสะท้อนรูปนั้นลงบนตัวมันเอง; อันดับความสมมาตรแบบหมุน คือจำนวนครั้งที่รูปทับกับตัวเองในการหมุนหนึ่งรอบ (สี่เหลี่ยมผืนผ้า: 2 เส้น, อันดับ 2; หกเหลี่ยมหน้าจั่วสม่ำเสมอ: 6 เส้น, อันดับ 6).

อ่านสเกลเครื่องมืออย่างมีเหตุผลและประมาณค่าก่อนคำนวณ; ช่วงเวลาใช้ได้ในนาฬิกา แบบ 12 ชั่วโมงและ 24 ชั่วโมง ทั้งสองแบบ ค่าการวัดมุมรวมถึง ทิศทางสามหลัก: วัดทวนเข็มนาฬิกาจากทิศเหนือ เขียนเป็นสามหลักเลข — 040°, ไม่ใช่ 40°. ทิศทางกลับ จะย้อนกลับ: ถ้า Q อยู่ทิศ 040° จาก P แล้ว P อยู่ทิศ 220° จาก Q (บวก 180°, นำคำตอบ มาหารเอาเศษโดย 360).

ความเร็วเฉลี่ย คือระยะทางหารด้วยเวลา; ความหนาแน่น คือมวลหารด้วยปริมาตร; ความดัน คือแรงหารด้วยพื้นที่ — ทั้งหมดนี้คือกลุ่มของ การวัดเชิงซ้อน: กำหนดคำศัพท์หน่วยให้ชัดเจน (กม./ชม., ก./ซม.³, นิวตัน/ม.²) และแปลงอย่างระมัดระวัง. รถคันหนึ่งวิ่งระยะ 234 กม. ใน 2 ชม. 36 นาที มีค่าเฉลี่ย $234 \div 2.6 = 90$ กม./ชม.

วัดและวาดเส้นให้ใกล้ที่สุดเป็นมิลลิเมตร; สร้างสามเหลี่ยมจาก SSS, SAS หรือ ASA ด้วยไม้บรรทัดและโปรทracitor. ด้วย ไม้บรรทัดและวงเวียน สร้าง (i) เส้น แบ่งครึ่งฉากของเส้นตรง และ (ii) เส้นแบ่งครึ่งมุม; สิ่งเหล่านี้ยัง สร้างมุมเฉพาะ (60° จากโครงสร้างส่วนโค้งสามเหลี่ยมด้านเท่า, 90° โดยเส้นแบ่งครึ่งฉาก, 45° โดยการแบ่งครึ่ง). การสร้างตอบคำถาม ** locus **: เซตของจุดที่ มีระยะคงที่จากจุดหนึ่ง (วงกลม), จากเส้นตรง (คู่ขนาน), มีระยะเท่ากันจากสอง จุด (เส้นแบ่งครึ่งฉาก) หรือจากสองเส้นตรง (เส้นแบ่งครึ่งมุม) — ทาพื้นที่ให้ สอดคล้องกับเงื่อนไขหลายอย่างพร้อมกัน.

แผนภาพสเกลและแผนที่มีอัตราส่วน (1 : 50 000): แปลงระยะทางบนแผนที่เป็นระยะทางจริงโดยคูณด้วยค่าสเกล โดยรักษาหน่วยให้ชัดเจน. ระยะผ่านค่าสเกลลาร์, รักษาหน่วยให้ชัดเจน.

ศัพท์วงกลม: จุดศูนย์กลาง, รังสี, เส้นผ่านศูนย์กลาง, สายคอร์ด, เส้นรอบวง, เส้นสัมผัส (สัมผัสกันที่จุดเดียว ตั้งฉากกับรัศมีที่จุดนั้น), ส่วนโค้ง, sector, ส่วนวงกลม Foundation ใช้คุณสมบัติของ chord และ tangent แบบไม่เป็นทางการ; Higher ต้องการโปรแกรมเต็ม พร้อมเหตุผลมาตรฐาน. สี่เหลี่ยมภายในวงกลม มีมุมตรงข้าม รวมกันเป็น 180°; มุมที่ศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่รอบวง บนส่วนโค้งเดียวกัน; มุมในส่วนวงกลมเดียวกันมีค่าเท่ากัน; มุมในครึ่งวงกลม (ตั้งอยู่บน เส้นผ่านศูนย์กลาง) เป็นมุมฉาก; และมุมระหว่างเส้นสัมผัสกับสายลวดเท่ากับ มุมในส่วนวงกลมสลับ (ทฤษฎีบทมุมส่วนสลับ). คุณสมบัติของสายลวด: เส้นตั้งฉากจากจุดศูนย์กลาง แบ่งครึ่งเชอร์ด; เชอร์ดสองเส้นที่ตัดกันเป็น $AE \times EB = CE \times ED$, และ เวอร์ชันภายใน/ภายนอกกำลังทำให้ครอบครัวนี้สมบูรณ์

ตัวอย่างวิธีทำ: 1HR มิถุนายน 2024 ข้อ13, ปรับแล้ว. $A$, $B$, $C$, $D$ อยู่บนวงกลม ศูนย์กลาง $O$ ด้วย $\angle BCD = 128°$; หา $\angle OBD$. มุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมภายในวงกลม รวมกันเป็น 180°, ดังนั้น $\angle BAD = 180 - 128 = 52°$. มุมที่ศูนย์กลางคือ มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวงบนส่วนโค้งเดียวกัน: $\angle BOD = 104°$. สามเหลี่ยม $OBD$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ($OB = OD$, รังสีวงกลม), ดังนั้น $\angle OBD = \tfrac{180 - 104}{2} = 38°$. ทุกขั้นตอนการคำนวณต้องระบุเหตุผล — นั่นคือสิ่งที่รายการคะแนนใช้เพื่อประเมิน

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: $a^2 + b^2 = c^2$ ในสามเหลี่ยมมุมฉาก (6-8-10 เป็น ชุดตัวเลขจำนวนเต็ม; 5-12-13 อีกชุดหนึ่ง. SOH CAH TOA ให้ $\sin\theta = \tfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}$, $\cos\theta = \tfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}$, $\tan\theta = \tfrac{\text{opp}}{\text{adj}}$ — ใช้ไปข้างหน้าเพื่อหาด้านและย้อนกลับ ด้านตรงข้ามมุม — บวกอีกหนึ่งส่วน) หรือ กฎโคไซน์ มุมต่ำ หลุดลงมา (มุมสลับภายในพามันเข้าสู่สามเหลี่ยม).

การขยายอัตราส่วนไปสู่มุม ทแยงมุม: $\sin 130° = \sin 50°$ (ค่าไซน์ยังคง เป็นบวก), $\cos 130° = -\cos 50°$ (ค่าโคไซน์จะเปลี่ยนเป็นลบ). ทริโกณมิติทุกชนิดสามารถนำไปใช้กับ กฎซายน์ $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$ (คู่หนึ่ง — ด้านหารด้วย มุมตรงข้าม — บวกอีกส่วนหนึ่ง) หรือ กฎโคไซน์ $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ (สองด้านและมุมระหว่างกัน, หรือสามด้าน), และ สูตรพื้นที่ $\tfrac12 ab\sin C$ ทำงานย้อนกลับ: พื้นที่ 15 ด้วย $a = 6$, $b = 10$ ให้ $\sin C = \tfrac{2 \times 15}{60} = 0.5$, ดังนั้น $C = 30°$ (หรือ $150°$ หากแผนภาพ แสดงมุมทื่อ)

ตัวอย่างวิธีทำ: กฎซายน์. ในสามเหลี่ยม $ABC$, $\angle A = 40°$, $\angle B = 65°$ และมี $a = BC = 8$ ซม. หา $b = AC$. ใช้คู่ด้านหารด้วยมุมตรงข้ามสองครั้ง:

ตัวอย่างวิธีทำ: กฎโคไซน์พร้อมมุมทื่อ. ด้านสองด้านยาว $7$ ซม. และ $9$ ซม. ตัดกัน ที่ $110°$. หาความยาวด้านที่สาม $a$:

เนื่องจาก $\cos 110°$ เป็นลบ พจน์สุดท้ายจะถูก บวก; ด้านตรงข้ามมุมทื่อ มีความยาวที่สุด ตรวจสอบให้แน่ใจว่าเครื่องคิดเลขอยู่ในโหมดองศา

3D เป็นปัญหา 2D ภายในรูปทรง: ชื่อบทสมการสามเหลี่ยมมุมฉาก แล้วใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหรือ trigonometry as usual. In a cuboid with base 6 cm × 8 cm and height 10 cm, the base $\sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ ซม.; มุมระหว่างเส้นทแยงมุมอวกาศ $\sqrt{6^2 + 8^2 + 10^2} = \sqrt{200} \approx 14.1$ cm; the angle between the space เส้นทแยมุมและเส้นทแยมุมฐานสอดคล้องกับ $\tan\theta = \tfrac{10}{10}$ ดังนั้น $\theta = 45°$.

ตัวอย่างวิธีทำ: 1HR มิถุนายน 2024 Q22, ปรับแล้ว. จุด $B$, $M$, $P$ ในกล่องทึบ มี $BM = \sqrt{200}$, $BP = \sqrt{244}$ และ $MP = 10$ (ความยาวแต่ละด้านหาได้จาก ทฤษฎีบทพีทาโกรสในสามเหลี่ยมมุมฉากของกล่อง) มุม $BMP$ ต้องใช้กฎโคไซน์กับ สามเหลี่ยม $BMP$:

ลำดับการแก้: ระบุสามเหลี่ยมเป้าหมาย หาความยาวทั้งสามด้าน (อาจต้องใช้ ทฤษฎีบทพีทาโกรสของตัวเองก่อน) แล้วใช้กฎโคไซน์หรือกฎไซน์ โดยรักษามุมที่ต้องการไว้ที่ จุดศูนย์กลางของสัญลักษณ์

การแปลงหน่วยเมตริก: เส้นตรง cm↔m โดย 100, พื้นที่ by $100^2$, ปริมาตร by $100^3$ (1 เมตร³ = 10⁶ เซนติเมตร³). ความรอบรูปและพื้นที่สร้างจากสามเหลี่ยม ($\tfrac12 bh$), สี่เหลี่ยมผืนผ้า, สี่เหลี่ยมขนาน ($bh$) และสี่เหลี่ยมคางหมู ($\tfrac12(a+b)h$); วงกลมมี ความยาวรอบวง $2\pi r$ และพื้นที่ $\pi r^2$ (รวมครึ่งวงกลมด้วย). รูปผสม แยกออกเป็นส่วนเหล่านี้

ตัวอย่างวิธีทำ: 2HR มิถุนายน 2024 Q10, ปรับแล้ว. หกเหลี่ยม $ABCDEF$ มี $AB \parallel FC \parallel ED$ with $AB = 11$, $ED = FC = 23$, the perpendicular distance between $FC$ และ $ED$ เท่ากับ 4.7 (ซม.) และด้านเอียง $BC = 5$ ทำมุม $30°$ กับ $FC$. แถบ ระหว่าง $FC$ และ $ED$ เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า; ด้านบนนั้น ส่วนสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู $ABCF$ คือ $5\sin 30° = 2.5$. แยกส่วน: สี่เหลี่ยมผืนผ้า $23 \times 4.7 = 108.1$ บวกกับสี่เหลี่ยมคางหมู $\tfrac12(11 + 23) \times 2.5 = 42.5$, ดังนั้นพื้นที่คือ $150.6\ \text{cm}^2$ (ค่าที่ $\tfrac{753}{5}$). วาดเส้นแบ่งก่อนคำนวณ

ระดับสูงเพิ่ม ภาควงกลม: คออ arc $= \tfrac{\theta}{360} \times 2\pi r$, พื้นที่ภาควงกลม $= \tfrac{\theta}{360} \times \pi r^2$ — for $r = 9$, $\theta = 40°$: arc $= 2\pi ≈ 6.28$, area $= 9\pi \approx 28.3$. Sector perimeter adds the two radii. Solids: prisms $V = \text{cross-section} \times \text{length}$ (ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก, ทรงกระบอก $V = \pi r^2 h$, ผิว $2\pi r^2 + 2\pi rh$); กรวย $V = \tfrac13 \pi r^2 h$ ที่มีผิว $\pi r l$ ($l$ คือด้านเอียง); ทรงกลม $V = \tfrac43\pi r^3$, ผิว $4\pi r^2$.กรวย $r = 3$, $h = 4$ มี $l = 5$ (ทฤษฎีบทพีทาโกรส), $V = 12\pi$, ด้านโค้ง ผิว $15\pi$

รูปทรงที่คล้ายกันมีความยาวที่สอดคล้องกันในอัตราส่วนคงที่ $k$ (คือ ตัวคูณสเกล ): แล้วพื้นที่จะขยายตาม $k^2$ และปริมาตรตาม $k^3$ — และในทางกลับกัน อัตราส่วนพื้นที่ $4 : 9$ หมายถึง อัตราส่วนความยาว $2 : 3$. แผนที่และโมเดลใช้ $k$ โดยตรง

ตัวอย่างวิธีทำ: 2HR มิถุนายน 2024 Q24 family, ปรับแล้ว. Solid $B$相似กับsolid $A$ ที่มีความยาวทุกด้าน $k$ เท่ากับ $A$'. ปริมาตรจะขยายตาม $k^3$: กระดาษชุด กรวยบวกครึ่งทรงกลมคู่ให้ $k^3 = \tfrac{125}{8}$, ดังนั้น $k = \sqrt[3]{\tfrac{125}{8}} = \tfrac52 = 2.5$. A second pair with length ratio $4$ has volume ratio $4^3 = 64$ — ที่ solidใหญ่กว่าเก็บ 64เท่าของsmaller. ตั้งอัตราส่วนบนความยาวก่อน, แล้วกำลังสอง หรือกำลังสามหนึ่งครั้ง.

ตัวอย่างวิธีทำ: พื้นที่ต่อปริมาตร. ขวดที่คล้ายกันสองใบมีพื้นที่ผิว $180\ \text{cm}^2$และ$405\ \text{cm}^2$. ขวดเล็กกว่าเก็บ$320\ \text{cm}^3$. หาปริมาตรของขวดใหญ่กว่า. ทำตามอัตราส่วนสเกลความยาว: ปริมาตรของรูปใหญ่กว่า ตรวจสอบตามอัตราส่วนความยาว:

ข้อผิดพลาดทั่วไปคือการคูณปริมาตรด้วยอัตราส่วนพื้นที่ $2.25$ (ให้ผลลัพธ์เป็น $720\ \text{cm}^3$).

• Classify angles; use line, point, parallel-line and triangle angle facts, including exterior-angle and polygon sums with regular-polygon interior/exterior angles (F 4.1, 4.2).
• ใช้การวัดทิศทาง ความเร็ว/ระยะทาง/เวลา ความหนาแน่น และความดัน เป็นปริมาณผสม (F 4.3)
• ใช้การนำทาง ความเร็ว/ระยะทาง/เวลา ความหนาแน่น และความดัน เป็นปริมาณผสม (F 4.4).
• สร้างสามเหลี่ยม เส้นแบ่งครึ่ง และเส้นตั้งฉาก; ตอบคำถามเรื่องตำแหน่งจุดและวาดตามสเกล (F 4.5, F 4.11 B)
• ใช้ศัพท์วงกลมและสมบัติของเส้นผ่านศูนย์กลาง/เส้นสัมผัส; ระดับสูง: สี่เหลี่ยมในวงกลม, มุมที่จุดศูนย์กลาง/มุมบนส่วนโค้ง, เส้นตัดกัน — ทุกขั้นตอนพร้อมเหตุผลมาตรฐาน (F 4.6–4.7, H 4.6–4.7; มิถุนายน 2024 1HR Q13)
• ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและ SOH CAH TOA ใน 2D พร้อมมุมยกและมุมลด; ค่า ratios ของมุมทแยงมุม, กฎไซน์, กฎโคไซน์ และ ½ab sin C รวมถึงการกลับด้าน (F 4.8, H 4.8 A–C, E)
• แก้โจทย์ 3D โดยการแยกสามเหลี่ยมมุมฉากออกมา; ใช้กฎโคไซน์กับสามเหลี่ยมที่แยกออกมา (H 4.8 D, F; มิถุนายน 2024 1HR Q22)
• Perimeters and areas including trapezia, circles and sectors; surface areas and volumes of prisms, cylinders, cones and spheres with unit conversions (F 4.9–4.10, H 4.9, H 4.10; June 2024 2HR Q10).
• Length : area : volume ratios $k : k^2 : k^3$, used both directions (F 4.11, H 4.11; June 2024 2HR Q24 family).

หมายเหตุขอบเขต: ทิศทางแสดงด้วยเลขสามหลัก; การสร้างรูปทรงพิจารณาจากเส้นโค้งที่มองเห็นได้ (ทิ้งไว้ตามเดิม); ใช้หน่วยองศาเท่านั้น (ไม่รวมเรเดียน); กรณีของกฎไซน์ที่มีค่าสองเท่าและ 3งานวงกลมอยู่นอกรายการพื้นฐานระดับพื้นฐานจะตรงกับแถว 4.1–4.11 ระดับพื้นฐานเท่านั้น ตัวอย่างมีวิธีทำดัดแปลงจากชุดข้อสอบ Higher เดือนมิถุนายน 2024 ที่ผ่านการทบทวนแล้ว (ดูเอกสาร หลักฐานการประเมิน); ข้อในแผ่นคำถามเป็นต้นฉบับเว้นแต่จะระบุแหล่งที่มา