3 · Sequences, functions and graphs

4MA1 หัวข้อ 3 (เอกสารกำหนดหลักสูตรIssue 2, พฤศจิกายน 2017). แถวพื้นฐาน 3.1 และ 3.3 เป็นส่วนร่วม กับระดับสูง; บล็อกProgramming notation 3.2 และบล็อกCalculus 3.4 เป็นเฉพาะระดับสูง, และ ระดับสูง 3.3 ขยายงานกราฟไปยังฟังก์ชันลูกบาศก์ ส่วนกลับ กราฟตรีโกณมิติ การแปลงและ จุดตัด ในใบสอบระดับสูงเดือนมิถุนายน 2024 สายนี้หนักที่สุดของหกหัวข้อ (ประมาณหนึ่งในสามของแต่ละใบสอบ) และมีเกณฑ์จำแนกเกรด A/A*: ผลรวมอนุกรมพีชคณิต, ฟังก์ชันประกอบ, เส้นตรงตั้งฉาก, จุดตัดระหว่างเส้นกับโค้ง และจุดวิกฤต

สิ่งที่ต้องรู้สำหรับหัวข้อ 3 (แผ่นสูตรระดับสูงให้เฉพาะอนุกรมและกฎสี่เหลี่ยมคางหมูเท่านั้น):

กฎจากพจน์สู่พจน์บอกวิธีการได้พจน์ถัดไป (บวก 4: 5, 9, 13, 17, …; คูณด้วย 2: 1, 2, 4, 8, …); กฎจากตำแหน่งสู่พจน์ให้ค่าพจน์โดยตรง from its position. For an arithmetic sequence with first term $a$ and common เป็น $d$, พจน์ที่ $n$ คือ $u_n = a + (n-1)d$: สำหรับ 1, 3, 5, 7, … กฎคือ $2n - 1$, และ "พจน์ที่ n คือ $4n + 3$" สร้าง 7, 11, 15, … ตรวจสอบกฎที่เสนอไว้ด้วยค่าสองค่า positions before trusting it.

ระดับสูงเพิ่ม ผลรวมของอนุกรมเลขคณิต จับคู่พจน์แรกกับพจน์สุดท้าย พจน์ที่สอง กับพจน์ก่อนสุดท้าย, … จะได้ $n/2$ คู่ที่มีผลบวกเท่ากันของ $a + u_n$:

สำหรับ $4+7+10+13+\cdots$: $a=4$, $d=3$, ดังนั้น $S_{50} = 25\,(8 + 49 \times 3) = 25 \times 155 = 3875$. Recovering $a$ and $d$ จากสองพจน์ ใช้กฎพจน์เป็นระบบสมการคู่: ถ้า $u_2 = 7$ และ $u_5 = 19$, แล้ว $3d = 12$, ดังนั้น $d = 4$ และ $a = 7 - 4 = 3$.

คือ 1, 2024 และ 23. พจน์ติดต่อกันมีส่วนต่างร่วม ดังนั้น อนุกรมคือ $4x-14$, $x+2$ และ $7x-9$. พจน์ติดกันมีผลต่างร่วม, ดังนั้น $(x+2)-(4x-14) = (7x-9)-(x+2)$, ซึ่งให้ $-3x + 16 = 6x - 11$ ดังนั้น $x = 3$. พจน์ต่างๆ คือ $-2, 5, 12, \ldots$: $a = -2$, $d = 7$. จากนั้น $S_{40} = 20\left[2(-2) + 39 \times 7\right] = 20 × 269 = 5380$. Keep $a$, $d$Symbols until the final substitution — the algebra, ไม่ใช่การคำนวณทางเลขคณิต, ที่ให้คะแนน

A function maps each input of one set to exactly one output of another: write $f(x) = \ldots$ หรือ $f{:}\ x \mapsto \ldots$ โดเมนคือเซตของค่าที่อนุญาตให้ใช้เป็น อินพุต; เรนจ์คือเซตของเอาต์พุต ให้ตัดอินพุตที่ทำให้กฎไม่ถูกต้องออก: สำหรับ $f(x) = \dfrac{1}{x-2}$ ให้ตัด $x = 2$ ออก; สำหรับ $f(x) = \sqrt{x}$ ใช้ $x \ge 0$.

ฟังก์ชันประกอบ $\mathrm{fg}(x) = f(g(x))$ ทำ $g$ ก่อน แล้วจึงทำ $f$ — เอาต์พุตของ $g$ ต้องเป็นอินพุตที่อนุญาตให้ใช้ได้ของ $f$ ฟังก์ชันผกผัน $f^{-1}$ ทำลายผลของ $f$ และมีอยู่เฉพาะเมื่อ $f$ เป็นฟังก์ชันแบบหนึ่งต่อหนึ่ง: สำหรับ $f(x) = \sqrt{x-2}$ (โดเมน $x \ge 2$, รังสี $f \ge 0$), การเขียน $y = \sqrt{x-2}$ และการยกกำลังสองจะได้ $x = y^2 + 2$, ดังนั้น $f^{-1}(x) = x^2 + 2$ บนโดเมน $x \ge 0$. ตรวจสอบ $f^{-1}(f(x)) = x$ เสมอ

ตัวอย่างวิธีทำ (2HR มิถุนายน 2024 ข้อ17, ปรับแล้ว). $f(x) = \dfrac{x}{2x-4}$ และ $g(x) = 3x+1$; หา $k$ เมื่อทราบ $\mathrm{fg}(k) = 2$. ขั้นแรก $g(k) = 3k+1$, จากนั้น

ดังนั้น $3k+1 = 12k-4$, ซึ่งให้ $9k = 5$ และ $k = \tfrac59$. (ทางลัดที่ต้องรู้: การแก้สมการ $f(x) = 2$ ก่อน จะได้ $x = 8/3$, ดังนั้นกำหนด $g(k) = 8/3$ — ได้คำตอบเดียวกันแต่ใช้พีชคิตน้อยลง.)

พิกัดคาร์ทีเซียนระบุตำแหน่งจุดในทั้งสี่จตุภาค โดย จุดกึ่งกลาง คือนามเฉลี่ยของ พิกัดปลาย: $M = \left(\tfrac{x_1+x_2}{2}, \tfrac{y_1+y_2}{2}\right)$. ความชัน ของเส้นตรงคือผลต่างของ $y$ หารด้วยผลต่างของ $x$: ผ่าน $(1,7)$ และ $(2,9)$ ความชันคือ $2$. เส้นตรง $y = mx+c$ มีความชัน $m$ และตัดแกน $y$ ที่ $(0,c)$ — สำหรับ $y = 3x+5$ มีความชัน 3 และจุดตัดแกน $(0,5)$. กรณีพิเศษ: $x = k$ เป็น เส้นตั้ง (ไม่มีความชันจำกัด), $y = c$ เป็นเส้นแนวนอน (ความชัน 0). กราฟแปลงค่า (สกุลเงิน, อุณหภูมิ) อ่านได้แบบเดียวกัน

การตีความกราฟจากสถานการณ์จริงเป็นส่วนหนึ่งของบทนี้: บนกราฟระยะเวลา-เวลา ความชันคือ ความเร็ว; บนกราฟความเร็ว-เวลา ความชันคือความเร่ง และพื้นที่ใต้กราฟคือ ระยะทางที่เคลื่อนที่ไป. การฝึกวาดกราฟครอบคลุมการเติมตารางค่าสำหรับเส้นตรง (รวมถึงรูปแบบ $ax + by = c$) และสมการกำลังสอง วาดเส้นโค้งเรียบผ่านจุดที่วาดไว้ — ห้ามใช้ เส้นท่อนระหว่างจุดเหล่านั้น.

เส้นขนาน มีความชันเท่ากัน. เส้นฉาก มีความชัน คูณกันได้ $-1$: เส้นฉากกับ $m$ คือ $-1/m$. เส้นผ่าน $(x_1, y_1)$ ที่มี ความชัน $m$ คือ $y - y_1 = m(x - x_1)$.

ตัวอย่างวิธีทำ (2HR มิถุนายน 2024 ข้อ21, ปรับ). $ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มี $A(-5, 2)$ และ $B(3, 5)$; หาสมการของ $BC$ ในรูป $ax + by + c = 0$. ด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ติดกัน เป็นเส้นฉาก. ความชันของ $AB$ คือ $\tfrac{5-2}{3-(-5)} = \tfrac38$, ดังนั้นความชันของ $BC$ คือ $-\tfrac83$. ผ่าน $B(3,5)$: $y - 5 = -\tfrac83(x-3)$, ดังนั้น $3y - 15 = -8x + 24$, ให้ $8x + 3y - 39 = 0$. คำนวณผลคูณในท้ายที่สุดเพื่อให้ $a$, $b$, $c$ เป็นจำนวนเต็ม ตามที่โจทย์กำหนด

ระดับสูง 3.3 ต้องการการจดจำและวาดกราฟของตระกูลโค้งสามประเภทนอกเหนือจากพหุนามกำลังสอง: พหุนามดีกรีสาม $y = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$ (เครื่องหมายใดก็ได้; $y = x^3 - 4x$ เพิ่ม–ลด–เพิ่ม), ฟังก์ชันผกผัน $y = A/x$, $y = A/x^2$, $y = A/x^3$ (สองแขนง, เส้นประสมุขฐาน, ไม่ตัดแกน) และ กราฟตรีโกณมิติ $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tan x$ สำหรับมุมทุกขนาดใน องศา — ซินและคอสสั่นระหว่าง $-1$ และ $1$ ด้วยคาบ 360°; เทนเจนต์ซ้ำ ทุก 180° และมีจุดไม่ต่อเนื่องที่ $90° + 180°n$. วงกลมที่มีศูนย์กลางที่จุดกำเนิดมี $x^2 + y^2 = r^2$ — วงกลมเข้าสู่บทเรียนนี้เป็นโค้งที่สองของการตัดกัน เล่มนี้แพงกว่าเล่มนั้น (Zhè běn shū bǐ nà běn shū guì.) — เล่มนี้แพงกว่า

ต้องการ การเปลี่ยนแปลงรูป สี่ชนิดของ $y = f(x)$ สำหรับฟังก์ชันเชิงเส้น, พหุนามกำลังสอง, ซินและ คอส:

The inside forms act "backwards" on $x$ and only on $x$. For $f(x) = x^2$: $y = f(x-2)+5 = (x-2)^2 + 5$ moves the minimum from $(0,0)$ to $(2, 5)$; $y = f(2x) = 4x^2$ ลดครึ่ง ค่า $x$ ทำให้พาราโบลาแคบลง ไม่ใช่สูงขึ้น สำหรับ $y = \sin 2x$ ช่วงเวลาจะลดลงครึ่งหนึ่ง ไปเป็น 180°. อ่านการเปลี่ยนแปลงที่วาดจากกราฟ (จุดกลับตัวไปที่ไหน?) และ เขียนในรูปพีชคณิต — ทั้งสองทิศทางถูกประเมิน

ความชันของเส้นโค้ง: วาดเส้นสัมผัสที่จุดและนำความชันนั้นมาคำนวณเป็น rise/run — วัดจากเส้นที่วาด ไม่ใช่เส้นโค้ง ความชันที่แม่นยำของเส้นโค้งต้องใช้แคลคูลัส (ส่วนถัดไป).

จุดตัด: ค่า $x$ ที่เส้นตรง $y_1$ ตัดกับเส้นโค้งไม่เชิงเส้น $y_2$ คือ คำตอบของ $y_2 - y_1 = 0$. จุดตัดของ $y = 2x+1$ และ $y = x^2 + 3x - 2$ แก้สมการ $x^2 + x - 3 = 0$; ของ $y = 5$ และ $y = x^3 - 3x^2 + 7$, แก้ $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$.

ตัวอย่างวิธีทำ (2HR มิถุนายน 2024 ข้อ22, ปรับ). หาว่าเส้นตรง $y = 3x - 1$ ตัดกับ เส้นโค้ง $x^2 + y^2 = y + 11$ ที่ไหน แทนค่าเส้นตรงลงในเส้นโค้ง:

ดังนั้น $x = -\tfrac35$ หรือ $x = \tfrac32$, โดย $y = 3x-1$ ให้ค่า $y = -\tfrac{14}{5}$ หรือ $y = \tfrac72$. จุดคือ $\left(-\tfrac35, -\tfrac{14}{5}\right)$ และ $\left(\tfrac32, \tfrac72\right)$ — แทนกลับลงในสมการ อื่น เพื่อตรวจสอบ: $\tfrac94 + \tfrac{49}{4} = \tfrac{58}{4} = 14.5 = \tfrac72 + 11$. ✓

ความชันของเส้นโค้ง เปลี่ยนแปลงไปตามเส้น: เป็น อัตราการเปลี่ยนแปลงแปรผัน. การหาอนุพันธ์ ให้ค่าที่แน่นอน: สำหรับเลขชี้กำลังจำนวนเต็มของ $x$,

สำหรับ $y = x^3 - 8x^2 - 12x + 5$: $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 16x - 12$. จุดคงที่ มี $\dfrac{dy}{dx} = 0$: ในที่นี้ $3x^2 - 16x - 12 = (3x+2)(x-6)$, ดังนั้น $x = -\tfrac23$ หรือ $x = 6$. แยกแยะระหว่าง สูงสุด จาก ต่ำสุดจากรูปทรงของกราฟ: ฟังก์ชันสามกำลัง โดยมีสัมประสิทธิ์ $x^3$ เป็นบวก จะเพิ่ม–ลด–เพิ่ม... ที่นี่ $y \to -\infty$ แทนด้วย $x \to -\infty$, ดังนั้นจุดนิ่งทางซ้าย $x = -\tfrac23$ คือค่าสูงสุด ($y = \tfrac{247}{27} \approx 9.1$) and the right one is the minimum ($y(6) = 216 - 288 - 72 + 5 = -139$).

ตัวอย่างทำสำเร็จ (1HR มิถุนายน 2024 ข้อ19, ปรับแล้ว). $C$ มีสมการ $y = x^3 - 8x^2 - 12x + 5$ และมีจุดนิ่งสองจุด $A$ และ $B$ โดยที่ $x_A > x_B$; จงหา $A$. หาอนุพันธ์และ ตั้งให้เท่ากับศูนย์: $(3x+2)(x-6) = 0$, และรากที่มากกว่าคือ $x = 6$. แทนค่าลงใน กราฟ: $y = 216 - 288 - 72 + 5 = -139$, ดังนั้น $A = (6, -139)$. การให้คะแนนตามขั้นตอน — หาอนุพันธ์ (อย่างน้อยสองพจน์ถูกต้อง), ตั้งให้เท่ากับศูนย์, แก้สมการกำลังสอง, แทนค่ากลับเข้าไป.

จลนศาสตร์: เมื่อระยะกระจัด $s$ เมตร หลังเวลา $t$ วินาที ความเร็วคืออัตราการ เปลี่ยนแปลงของระยะกระจัด และความเร่งคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว: $v = \dfrac{ds}{dt}$, $\quad a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2s}{dt^2}$. สำหรับ $s = t^3 - 24t$ (metres, $0 \le t \le 20$): $v = 3t^2 - 24$ m/s and $a = 6t$ m/s². The อนุภาคหยุดนิ่งชั่วขณะเมื่อ $v = 0$: $t = \sqrt{8} = 2.83$ วินาที (3 หลักความสำคัญ).

• สร้างลำดับจากกฎจากพจน์ต่อพจน์และกฎตำแหน่งต่อพจน์; หากฎของลำดับจำนวนเต็ม (F 3.1 A–B).
• หาผลรวมอนุกรมเลขคณิตด้วย $u_n = a + (n-1)d$, รวมถึงพจน์พีชคณิต (H $a$ C; มิถุนายน $d$ 3.1HR ข้อ3.1).
• หาค่าผลบวกอนุกรมเลขคณิตที่มี $S_n = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$, รวมถึงพจน์ทางพีชคณิต (H 3.1 C; มิถุนายน 2024 1HR Q23).
• ใช้ $f(x)$ และ $f{:}\,x\mapsto$_notation; กำหนดโดเมนพร้อมข้อจำกัดและเรนจ์ (H 3.2 A–C).
• สร้าง $\mathrm{fg}(x)$ — $g$ ก่อน — และหาค่า $f^{-1}$ บนโดเมนแบบหนึ่งต่อหนึ่ง (H 3.2 D; มิถุนายน 2024 2HR Q17)
• อ่าน แทรกและตีความกราฟในทุกจตุภาค: จุดกึ่งกลาง, กราฟแปลงหน่วย, กราฟระยะทาง/ความเร็ว–เวลา, ตารางค่า (F 3.3 A–I)
• ความชันจากสองจุด; $y = mx + c$; สมการของเส้นขนานและเส้นตั้งฉากที่ผ่านจุด (F 3.3 G–H, H 3.3 F–G; มิถุนายน 2024 2HR Q21)
• จำแนกรูปและวาดสเก็ตช์ฟังก์ชันลูกบาศก์, กราฟผกผัน, $\sin/\cos/\tan$, และวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด $x^2+y^2=r^2$ (H 3.3 A)
• ประยุกต์ใช้และอ่านค่าการแปลงสี่แบบ $f(x)+a$, $f(x+a)$, $af(x)$, $f(ax)$ (H 3.3 B–C).
• ประมาณค่าความชันของเส้นโค้งโดยการวาดเส้นสัมผัส (H 3.3 D)
• แก้ไขจุดตัดระหว่างสมการเชิงเส้น–ไม่เชิงเส้นโดยใช้ $y_2 - y_1 = 0$ และตรวจสอบด้วยการแทนค่า (H 3.3 E; มิถุนายน 2024 2HR Q22)
• หาอนุพันธ์ของเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม; หาค่าจุดวิกฤต; จัดประเภทจุดสูงสุด/ต่ำสุดจากรูปทรงของกราฟ (H 3.4 A–D; มิถุนายน 2024 1HR Q19)
• ใช้แคลคูลัสกับการเคลื่อนที่: $v = ds/dt$, $a = dv/dt$, และ "หยุดนิ่ง" หมายถึง $v = 0$ (H 3.4 E).

หมายเหตุขอบเขต: ซีรีส์เรขาคณิตและผลรวมถึงอนันต์ไม่รวมอยู่ในระดับนี้ (ไม่มี แถวเรขาคณิตใน 4MA1 3.1); การหาอนุพันธ์จำกัดอยู่เฉพาะเลขชี้กำลังจำนวนเต็มของ $x$ — กฎลูกโซ่, กฎคูณและกฎหารไม่รวมอยู่; หน่วยวัดเรเดียนไม่รวมอยู่ (ใช้องศาตลอดทั้งข้อสอบ) ผู้เข้าสอบระดับพื้นฐานต้องทำ 3.1 และ 3.3 เท่านั้น ตัวอย่างวิธีทำข้างต้นปรับมาจากชุด ทบทวนเดือนมิถุนายน 2024 ระดับสูง (ดูหลักฐานการประเมินของเมตา); ข้อสอบอื่นๆ ทั้งหมดใน แผ่นงานนี้เป็นข้อสอบต้นฉบับ