N · Statistical distributions

AQA · A-Level · Mathematics · หัวข้อ 14

ฝึกฝน

14.1

ขอบเขตและเงื่อนไขก่อนเข้าเรียน

AQA A-level Mathematics 7357, ส่วน N (การแจกแจงสถิติ), เวอร์ชัน 1.3 (การประเมินครั้งแรก 2018). หมายเหตุการสอนต้นฉบับ

ความรู้ก่อนหน้า: ความน่าจะเป็นจากส่วน M

นี่คือตัวอย่างการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่วัสดุอย่างเป็นทางการของ AQA

คำศัพท์ ฝึกฝน

English	ไทย
statistical distribution/stəˈtɪstɪkl ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/	การแจกแจงทางสถิติ
binomial distribution/baɪˈnəʊmɪəl ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/	การแจกแจงทวินาม
expected value/ekˈspektɪd ˈvæljuː/	ค่าคาดหวัง
normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/	การแจกแจงปกติ

14.2

การแจกแจงสถิติ

คำถาม

เครื่องจักรหนึ่งเติมขวดด้วยความแปรปรวนเล็กน้อยรอบ 500 มล. ในขณะที่จำนวนข้อบกพร่องที่นับได้โดยเครื่องเป็นเลขเต็มเสมอ แบบจำลองหนึ่งใช้พื้นที่ใต้เส้นโค้งเรียบอีกแบบหนึ่งนับความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง Which fits which?
ก่อนอ่านต่อ บอกว่าอะไรทำให้การนับเป็นแบบเบย์เซียน และอะไรคือสิ่งที่โมเดลต่อเนื่องต้องการ

วิธีทำ

การแจกแจงแบบเบย์เซียน ต้องมี n ที่คงที่ การทดลองที่เป็นอิสระ ผลลัพธ์สองประเภท และ p ที่คงที่: P(X = k) = C(n,k) pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, โดยมี E(X) = np และ Var(X) = np(1 − p) ค่าคาดหวังคือค่าเฉลี่ยที่ถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็น
ปริมาณต่อเนื่องมีเส้นความหนาแน่น: ความน่าจะเป็นคือพื้นที่, และ P(X = x) = 0 สำหรับค่าที่แน่นอนใดๆ การแจกแจงปกติ มาตรฐานด้วย z = (x − μ)/σ ก่อนอ่านความน่าจะเป็นหาง Poisson นับเหตุการณ์ด้วยอัตราคงที่ โดยมีค่าเฉลี่ยเท่ากับความแปรปรวน
การแจกแจงแบบเบย์เซียน: จำนวนความสำเร็จในการทดลอง n ที่มีความน่าจะเป็นคงที่ p; ค่าคาดหวัง: ค่าเฉลี่ยที่ถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม; การแจกแจงปกติ: โมเดลรูปกระดิ่งสมมาตรสำหรับปริมาณต่อเนื่อง มาตรฐานด้วย z = (x − μ)/σ

Left: bar chart of B(5, 0.2) with P(X = 0) ≈ 0.328. Right: standard normal curve with the tail beyond z = 2 shaded — B(5, 0.2): P(X = 0) = 0.8⁵ ≈ 0.328, mean 1; for N(100, 15²), x = 130 standardises to z = 2

ตรวจสอบคำตอบของคุณ

ตรวจสอบเงื่อนไขแบบเบย์เซียนก่อนใช้สูตร: การสุ่มโดยไม่แทนที่ทำให้การทดลองขึ้นอยู่กับกันและเปลี่ยน p ดังนั้นโมเดลจึงล้มเหลว ไม่ทุกการนับเป็นแบบเบย์เซียน
For a continuous variable, never ask P(X = exactly 130): compute a tail or an interval. State the event before calculating, and draw the shaded region first.

กรณีฝึกทำ

กำหนดให้: X ~ binomial(5, 0.2). P(X = 0) = 0.8⁵ = 0.32768. E(X) = np = 1 และ Var(X) = np(1 − p) = 0.8. สำหรับปริมาณปกติที่มี μ = 100, σ = 15, ค่า 130 มี z = (130 − 100)/15 = 2, ดังนั้นมันอยู่เหนือค่าเฉลี่ยสองส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ตัวอย่าง:

สำหรับ X ~ binomial(5, 0.2), หา P(X = 1) โดยใช้ลำดับเดียวกัน: เลือกโมเดล → สูตร → แทนค่า (คำตอบ: P(X = 1) = C(5,1) × 0.2 × 0.8⁴ = 5 × 0.2 × 0.4096 = 0.4096)

ขอบเขตกับกับดัก

โมเมนต์ของ distribution แบบ binomial จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อสอดคล้องกับเงื่อนไขทั้งสี่เท่านั้น. โมเดลปกติต้องการข้อมูลที่มีลักษณะใกล้เคียงสมมาตร; การแก้ไขความต่อเนื่องสำคัญเมื่อประมาณค่า discrete distribution ด้วย normal one

เตือน:

ทุกจำนวนของการสำเร็จมี distribution แบบ binomial ไม่ว่าจะมีความสัมพันธ์กันหรือไม่ ข้อความนี้ผิด: โมเดลต้องการการทดลองที่เป็นอิสระกับ p ที่คงที่ — การสุ่มโดยไม่แทนที่หรืออัตราการสำเร็จที่เปลี่ยนแปลงทำลายโมเดล, ดังนั้นสูตรจะรายงานความแม่นยำที่ผิดพลาด

จุดสำคัญ:

การแจกแจงความน่าจะเป็น: แบบทวินามสำหรับการนับจำนวนอิสระที่มีจำนวน n คงที่ (E = np, Var = np(1 − p)); แบบปกติสำหรับปริมาณต่อเนื่องผ่าน z = (x − μ)/σ; ความน่าจะเป็นเป็นพื้นที่สำหรับโมเดลต่อเนื่องและเป็นพจน์ที่แน่นอนสำหรับแบบไม่ต่อเนื่อง

สำรวจ

โมเดลแบบไบนอมียล, ปกติ และปอยซง

โมเดลแบบไบนอมยอลต้องการ n ที่คงที่, การทดลองที่เป็นอิสระต่อกัน, ผลลัพธ์สองชนิด และค่า p ที่คงที่

เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง

บทเรียนเชิงโต้ตอบสำหรับหัวข้อนี้

ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที

1 โมเดลแบบไบนอมียล, ปกติ และปอยซง

หัวข้อเพิ่มเติมใน AQA · A-Level · Mathematics