M · Probability

AQA A-level Mathematics 7357, ส่วน M (ความน่าจะเป็น), เวอร์ชัน 1.3 (การประเมินครั้งแรก 2018). หมายเหตุการสอนดั้งเดิม

ความรู้พื้นฐาน: GCSE ต้นไม้ความน่าจะเป็นและแผนภาพเวนน์

นี่คือตัวอย่างการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่วัสดุอย่างเป็นทางการของ AQA

คำถาม

• ลูกปัดสองลูกออกจากถุงที่มี 3 สีแดงและ 2 สีน้ำเงิน สลับกันทีละลูก ความน่าจะเป็นในการสุ่มครั้งที่สองแตกต่างจากครั้งแรก — นั้นเป็นข้อผิดพลาดหรือเป็นประเด็น?
• ก่อนอ่านต่อ บอกว่า "โดยไม่มีการแทนที่" เปลี่ยนแปลงอะไร และต้นไม้แสดงมันอย่างไร

วิธีทำ

• คูณไปตามกิ่งของต้นไม้และบวกกิ่งที่ไม่ทับซ้อนกันสำหรับผลลัพธ์หนึ่ง ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข จำกัดพื้นที่ตัวอย่าง: P(A เมื่อ knowing B) = P(A ∩ B)/P(B) สำหรับ P(B) > 0. โดยไม่มีการแทนที่ องค์ประกอบจะเปลี่ยนสำหรับการสุมครั้งถัดไป
• แยกจากกัน หมายความว่าไม่มีการทับซ้อน; อิสระต่อกัน หมายความว่ารู้เหตุการณ์หนึ่งจะไม่ทำให้ความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่งเปลี่ยนแปลง สองเหตุการณ์ที่ไม่ทับซ้อนกันและความน่าจะเป็นที่เป็นบวกจะไม่มีวันเป็นอิสระต่อกัน: หาก A เกิดขึ้น P(B) จะลดลงเหลือ 0
• ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งในกลุ่มที่ถูกเลือกโดยข้อมูลที่มีให้; แยกจากกัน: เหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้; อิสระต่อกัน: เหตุการณ์ที่การรู้เหตุการณ์หนึ่งทำให้ความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่งไม่เปลี่ยน\u2019s

ตรวจสอบคำตอบของคุณ

• เติมแผนภาพเวนน์จากส่วนที่ซ้อนทับกันออก: เมื่อ 18 ปั่นจักรยาน 12 ว่ายน้ำ และ 7 ทำทั้งสองอย่าง พื้นที่ที่เหลือคือ 11 และ 5 ดังนั้นอย่างน้อยหนึ่งคนต้องเป็น 23 และไม่มีใครเป็น 7 ของ 30 การนำ 18 + 12 เข้ามาจะนับ 7 ซ้ำสองครั้ง
• A conditional probability uses the conditioned group's total as its denominator: P(swim given cycle) = 7/18, not 7/30. Reversing the condition usually changes the value.

กรณีฝึกทำ

• Known: 3 red and 2 blue, two draws without replacement. P(two red) = 3/5 × 2/4 = 3/10. P(one of each) = 3/5 × 2/4 + 2/5 × 3/4 = 3/10 + 3/10 = 6/10. The branches multiply and the disjoint routes add.

ตัวอย่าง:

Given P(A ∩ B) = 0.12 and P(B) = 0.3, find P(A given B) using the same sequence: identify the conditioned group → divide → interpret. (Answer: P(A given B) = 0.12/0.3 = 0.4. The denominator is B's probability, not the whole space.)

ขอบเขตกับกับดัก

• อิสระและไม่สัมพันธ์กันตอบคำถามต่างกัน: เหตุการณ์ที่ไม่ซ้อนทับกันและความน่าจะเป็นบวกต้องขึ้นอยู่กับกันเสมอ ค่าคาดหวัง (np) เป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ไม่ใช่การรับประกันสำหรับการทดลองครั้งเดียว

เตือน:

Mutually exclusive events with positive probabilities must be independent. This claim is false: if A and B cannot happen together, then P(B given A) = 0 ≠ P(B) — knowing A happened changes B's probability completely, the opposite of independence.

จุดสำคัญ:

Probability: multiply along branches, add disjoint routes; conditional probability divides by the conditioned group; without replacement the probabilities evolve; disjoint with positive probability means dependent, never independent.