O · Statistical hypothesis testing

AQA A-level Mathematics 7357, ส่วน O (การทดสอบสมมติฐานทางสถิติ), เวอร์ชัน 1.3 (การประเมินผลครั้งแรก 2018). หมายเหตุการสอนต้นฉบับ

ความรู้พื้นฐาน: โมเดลแบบทวินามและแบบปกติจากส่วน N

นี่คือตัวอย่างการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่วัสดุอย่างเป็นทางการของ AQA

คำถาม

• โรงงานอ้างว่ามีอัตราผลิตภัณฑ์เสีย 10% และตัวอย่างขนาด 10 มี 3 ชิ้นเสีย นักเรียนบอกว่า "3 ชิ้นเสียพิสูจน์ว่าอัตราสูงกว่า 10%" วิธีทดสอบคำอ้างนี้ที่ถูกต้องคืออะไร?
• ก่อนอ่านต่อ ให้ระบุคำอ้างเริ่มต้น สมมติฐานทางเลือก และความน่าจะเป็นใดที่จะใช้เป็นเกณฑ์ตัดสินหลักฐาน

วิธีทำ

• กำหนด สมมติฐานศูนย์ H₀ และ สมมติฐานทางเลือก H₁ ในพารามิเตอร์ประชากรก่อนตรวจสอบผลลัพธ์ คำนวณความน่าจะเป็นภายใต้ H₀ ของผลลัพธ์ที่รุนแรงเท่าหรือมากกว่าที่สังเกตได้ — ซึ่งเรียกว่าความน่าหาง
• เปรียบเทียบกับ ระดับนัยสำคัญ ที่เลือก (เช่น 5%) หากความน่าหางต่ำกว่าระดับนั้น ให้ปฏิเสธ H₀; ในกรณีอื่นให้ระบุว่าหลักฐานมีไม่เพียงพอ ห้ามพูดว่า H₀ เป็นจริง ความมีนัยสำคัญทางสถิติบอกถึงขนาดของผลกระทบในทางปฏิบัติไม่ได้
• สมมติฐานศูนย์: คำอ้างเริ่มต้นเกี่ยวกับพารามิเตอร์ประชากรซึ่งถูกทดสอบด้วยหลักฐาน; สมมติฐานทางเลือก: คำอ้างที่ยอมรับหากหลักฐานต่อต้าน H₀ รุนแรงพอ; ระดับนัยสำคัญ: ค่าขีดจำกัดความน่าจะเป็นที่เลือกไว้สำหรับการปฏิเสธสมมติฐานศูนย์

ตรวจสอบคำตอบของคุณ

• เลือกความน่าหางจาก H₁ ไม่ใช่จากด้านที่ให้ค่าเล็กรวมทั้งกัน: H₁: p > 0.1 ต้องใช้ P(X ≥ ค่าที่สังเกตได้) ซึ่งเป็นความน่าหางบน การทดสอบสองด้านจะคูณความน่าหางด้วยสองเมื่อคำอ้างคือ "แตกต่าง" ไม่ใช่ "มากกว่า"
• The hypotheses are about the PARAMETER (the true defect rate), not the sample; and they are fixed before the data are seen, otherwise the test is rigged.

กรณีฝึกทำ

• Known: H₀: p = 0.1, H₁: p > 0.1, n = 10, and 3 defects observed. Under H₀, X ~ binomial(10, 0.1): P(X ≥ 3) = 1 − (0.9¹⁰ + 10 × 0.1 × 0.9⁹ + 45 × 0.01 × 0.9⁸) ≈ 1 − 0.9298 = 0.0702. At the 5% level, 0.0702 > 0.05: insufficient evidence that the defect rate exceeds 10%.

ตัวอย่าง:

ค่า p-value แบบด้านเดียวที่ถูกต้องคือ 0.03 ที่ระดับ 5% ระบุสรุปโดยใช้ลำดับเดียวกัน: เปรียบเทียบกับระดับ → สรุปในบริบท (คำตอบ: 0.03 < 0.05, ดังนั้นปฏิเสธ H₀: หลักฐานสนับสนุนคำอ้างทางเลือกที่ระดับ 5%)

ขอบเขตกับกับดัก

• การไม่ปฏิเสธ H₀ ไม่พิสูจน์ว่ามันจริง — ตัวอย่างอาจเล็กเกินไปที่จะตรวจจับความแตกต่างจริง ระดับ 5% หมายความว่า 1 จาก 20 คำอ้างที่บริสุทธิ์จะถูก "ปฏิเสธ" โดยบังเอิญในการทดสอบหลายครั้ง; ความมีนัยสำคัญไม่ได้วัดความสำคัญ

เตือน:

การไม่ปฏิเสธสมมติฐานศูนย์พิสูจน์ว่ามันจริง ข้ออ้างนี้ผิด: การทดสอบวัดเพียงว่าหลักฐานต่อต้าน H₀ ผ่านเกณฑ์หรือไม่ หลักฐานอ่อนทำให้ H₀ ไม่เป็นจริง ไม่ใช่พิสูจน์ว่า "มีหลักฐานไม่เพียงพอ" และ "พิสูจน์แล้วว่าจริง" เป็นสรุปที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง

จุดสำคัญ:

การทดสอบสมมติฐานทางสถิติ: ระบุ H₀ และ H₁ ด้วยพารามิเตอร์ก่อน คำนวณความน่าจะเป็นของส่วนท้ายภายใต้ H₀ เปรียบเทียบกับระดับนัยสำคัญที่กำหนดไว้ล่วงหน้า แล้วสรุปในบริบท — ห้ามอ้างว่าสมมติฐานศูนย์ถูกพิสูจน์เมื่อมันยังคงอยู่