ศักย์ไฟฟ้า

AP Physics C: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก · หัวข้อ 9

ดูสไลด์ ฝึกฝน

9.1

พลังงานศักย์ไฟฟ้า

หลักสูตร

จุดประสงค์การเรียนรู้ 9.1.A: อธิบายพลังงานศักย์ไฟฟ้าของระบบ

9.1.A.1 พลังงานศักย์ไฟฟ้าของระบบประจุจุดสองตัวเท่ากับปริมาณงานที่ต้องใช้โดยแรงภายนอกในการนำประจุจุดทั้งสองมาอยู่ในตำแหน่งปัจจุบันจากระยะห่าง vôกาศ
9.1.A.2 รูปแบบทั่วไปของพลังงานศักย์ไฟฟ้าระหว่างวัตถุที่มีประจุสองตัวให้โดยสมการ
- สมการ: $U_E = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q_1 q_2}{r} = k\dfrac{q_1 q_2}{r}$.
9.1.A.3 พลังงานศักย์ไฟฟ้ารวมของระบบสามารถหาได้จากการหาค่าผลบวกของพลังงานศักย์ไฟฟ้าของแต่ละ happened ของวัตถุที่มีประจุในระบบ

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

เมื่อคุณดันประจุชนิดเดียวกันเข้าหากัน คุณกำลัง ทำงาน ต้านทานแรงไฟฟ้า งานนั้นจะถูกเก็บโดยคู่ประจุในรูปของ พลังงานศักย์ไฟฟ้า:

$$U_E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r}=k\frac{q_1 q_2}{r}.$$

$U_E$ นิยามว่าเป็นงานที่แรงภายนอกต้องทำในการ_select_ประจุจากห่าง vô นัยมาไว้ห่างกัน $r$. เครื่องหมายบ่งบอกถึงฟิสิกส์:

ประจุชนิดเดียวกัน: $U_E>0$. ต้องมีแรงผลักจากภายนอกเพื่อ_select_เข้าหากัน. ถ้าปล่อย, พวกมันจะพุ่งหนี, และพลังงานที่เก็บไว้จะกลายเป็น พลังงานจลน์.
ประจุตรงข้าม: $U_E<0$. คู่นี้ถูกผูกมัด คุณต้องจ่าย $|U_E|$ ของงานเพื่อดึงพวกมันออกไปจนถึงอนันต์

แรงไฟฟ้าเป็น แรงอนุรักษ์: งานที่ทำขึ้นอยู่กับตำแหน่งเริ่มต้นและสิ้นสุดเท่านั้น ไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทาง และมีค่าเท่ากับ $-\Delta U_E$

สำหรับ ระบบ ของประจุหลายตัว, รวมพลังงานศักย์ของแต่ละคู่ที่แตกต่างกัน:

$$U_{\text{total}}=k\!\left(\frac{q_1q_2}{r_{12}}+\frac{q_1q_3}{r_{13}}+\frac{q_2q_3}{r_{23}}\right).$$

**ตัวอย่างแสดงวิธีทำ.**有三 $+2.0\ \mu\text{C}$ ประจุอยู่ที่มุมของสามเหลี่ยมด้านเท่าด้านยาว $0.30\ \text{m}$. แต่ละคู่เก็บ $U=\dfrac{kq^2}{r}=\dfrac{(9.0\times10^{9})(2.0\times10^{-6})^2}{0.30}=0.12\ \text{J}$. มีสามคู่, ดังนั้น $U_{\text{total}}=3\times0.12\ \text{J}=0.36\ \text{J}$. นี่คืองานที่ต้องใช้ในการประกอบสามเหลี่ยมจาก vô นัย – และพลังงานจลน์ที่ประจุจะแบ่งปันกันถ้าปล่อยทั้งสามออก

9.2

ศักย์ไฟฟ้า

หลักสูตร

จุดประสงค์การเรียนรู้ 9.2.A: อธิบายศักย์ไฟฟ้าที่เกิดจากการจัดวางวัตถุที่มีประจุ

9.2.A.1 ศักย์ไฟฟ้าอธิบายถึงพลังงานศักย์ไฟฟ้าต่อหน่วยประจุ ณ จุดหนึ่งในอวกาศ
9.2.A.2 นิพจน์สำหรับศักย์ไฟฟ้าของการกระจายประจุสามารถหาได้โดยใช้การอินทิเกรตและหลักการซ้อนทับ
- สมการ: $V = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\int \dfrac{dq}{r}$
- 9.2.A.2.i ศักย์ไฟฟ้าสำหรับประจุจุดเดี่ยวคือ
  - สมการ: $V = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$
- 9.2.A.2.ii ศักย์ไฟฟ้าจากประจุจุดหลายตัวสามารถหาได้ตามหลักการซ้อนทับสเกลาร์ของศักย์ไฟฟ้าจากแต่ละประจุจุด
  - สมการ: $V = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\sum_i \dfrac{q_i}{r_i}$
9.2.A.3 ความต่างศักย์ไฟฟ้าระหว่างสองจุดคือการเปลี่ยนแปลงของพลังงานศักย์ไฟฟ้าต่อหน่วยประจุเมื่อเคลื่อนย้ายประจุทดสอบระหว่างสองจุดนั้น
- สมการ: $\Delta V = \dfrac{\Delta U_E}{q}$
9.2.A.4 ความต่างศักย์ไฟฟ้าอาจเกิดจากกระบวนการทางเคมีที่ทำให้ประจุบวกและประจุลบแยกออกจากกัน เช่น ในแบตเตอรี่

คำจำกัดขอบเขต: AP Physics C: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก expects students to use calculus to find the electric potential resulting from the following charge distributions and locations: an infinitely long, uniformly charged wire or cylinder at a distance from its central axis, a thin ring of charge at a location along the axis of the ring, a semicircular arc or part of a semicircular arc at its center, and a finite wire or line charge at a point collinear with the line charge or at a location along its perpendicular bisector.

จุดประสงค์การเรียนรู้ 9.2.B: อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างศักย์ไฟฟ้ากับสนามไฟฟ้า

9.2.B.1 ค่าขององค์ประกอบสนามไฟฟ้าในทิศทางใด ๆ ณ ตำแหน่งที่กำหนดมีค่าเท่ากับค่าลบของอัตราการเปลี่ยนแปลงเชิงพื้นที่ของศักย์ไฟฟ้า ณ ตำแหน่งนั้น
- สมการ: $E_x = -\dfrac{dV}{dx}$
9.2.B.2 การเปลี่ยนแปลงของศักย์ไฟฟ้าระหว่างสองจุดสามารถหาได้โดยการอินทิเกรตผลคูณจุดของสนามไฟฟ้าและการกระจัดตามเส้นทางที่เชื่อมสองจุดนั้น
- สมการ: $\Delta V = V_b - V_a = -\displaystyle\int_a^b \vec{E}\cdot d\vec{r}$
9.2.B.3 แผนที่เวกเตอร์สนามไฟฟ้าและเส้น equipotential เป็นเครื่องมือเพื่ออธิบายสนามที่เกิดจากประจุหรือการจัดวางของประจุ และสามารถใช้ทำนายการเคลื่อนที่ของวัตถุที่มีประจุในสนามได้
- 9.2.B.3.i เส้น equipotential แทนเส้นที่มีศักย์ไฟฟ้าเท่ากัน เส้นเหล่านี้ยังเรียกว่า isolines ของศักย์ไฟฟ้า
- 9.2.B.3.ii Isolines ตั้งฉากกับเวกเตอร์สนามไฟฟ้า แผนภาพ isolines ของศักย์ไฟฟ้าสามารถสร้างได้จากแผนที่เวกเตอร์สนามไฟฟ้า และแผนที่สนามไฟฟ้าสามารถสร้างได้จากแผนภาพ isolines
- 9.2.B.3.iii เวกเตอร์สนามไฟฟ้าชี้ไปในทิศที่ศักย์ลดลง
- 9.2.B.3.iv ไม่มีองค์ประกอบของสนามไฟฟ้าตามแนว isoline

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

ศักย์ไฟฟ้า คือพลังงานศักย์ไฟฟ้าต่อหน่วยประจุ ณ จุดหนึ่งบนพื้นที่ วัดเป็นโวลต์ ($1\ \text{V}=1\ \text{J/C}$):

$$V=\frac{U_E}{q},\qquad V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}\ \text{(point charge)}.$$

ศักย์เป็น สเกลาร์: มีเครื่องหมายแต่ไม่มีทิศทาง สิ่งนี้ทำให้ $V$ ใช้งานง่ายกว่าสนาม $\vec{E}$ มาก. สำหรับประจุจุดหลายตัว, ใช้การ叠加แบบสเกลาร์ – รวมศักย์พร้อมเครื่องหมาย:

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_i \frac{q_i}{r_i}.$$

ตัวอย่างแสดงวิธีทำ. ศักย์ $0.10\ \text{m}$ จากประจุจุด $+3.0\ \text{nC}$ คือ $V=\dfrac{kq}{r}=\dfrac{9.0\times10^{9}(3.0\times10^{-9})}{0.10}=270\ \text{V}$. ตอนนี้เพิ่มประจุ $-3.0\ \text{nC}$ $0.30\ \text{m}$ จากจุดเดิม: มันให้ $\dfrac{9.0\times10^{9}(-3.0\times10^{-9})}{0.30}=-90\ \text{V}$, ดังนั้นผลรวมคือ $270-90=180\ \text{V}$. เพียงแค่ผลรวมที่มีเครื่องหมาย – ไม่ต้องแยกเวกเตอร์องค์ประกอบ

การกระจายประจุต่อเนื่อง

สำหรับการกระจายประจุต่อเนื่อง, ตัดออกเป็นชิ้นเล็ก ๆ $dq$, ถือแต่ละชิ้นเป็นประจุจุด, และ อินทิเกรต:

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{r}.$$

นี่คืออินทิกรัลสเกลาร์, ดังนั้นจึงมักง่ายกว่าอินทิกรัลของสนามมาก. AP คาดหวังให้คุณจัดการกับสี่รูปร่างด้วยการ calculus: วงแหวนบาง (ณ จุดบนแกน), ส่วนโค้ง (ณ ศูนย์กลาง), เส้นตรงหรือสายจำกัด (แนวเดียวกัน หรือบนเส้นตั้งฉาก平分), และสายหรือทรงกระบอกยาว vô นัย (ณ ระยะห่างจากแกน)

วงแหวนประจุ: ทุกองค์ประกอบ dq อยู่ห่างจากจุดบนแกนเท่ากัน

ตัวอย่างแสดงวิธีทำ (วงแหวนประจุ). วงแหวนบางรัศมี $R$ มียอดประจุ $Q$. สำหรับจุด $P$ บนแกนที่ห่างจากศูนย์กลาง $z$, ทุกองค์ประกอบ $dq$ อยู่ที่ระยะ $r=\sqrt{R^2+z^2}$ เดียวกันจาก $P$. ระยะทางมีค่าคงที่, ดังนั้นจึงดึงออกมาจากอินทิกรัล:

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{\sqrt{R^2+z^2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{\sqrt{R^2+z^2}}.$$

ใน FRQ, บอก ว่า $r$ เท่ากันสำหรับทุกองค์ประกอบ – ประโยคนั้นเป็นขั้นตอนที่ตรวจ grading. แนวคิดเดียวกันนี้ให้ $V=kQ/R$ ที่ศูนย์กลางของส่วนโค้งใด ๆ ไม่ว่าจะมีมุมเท่าไหร่

จากศักย์ไปสู่สนาม

ศักย์และสนามมีข้อมูลเหมือนกัน เชื่อมโยงกันด้วยอนุพันธ์ในแต่ละทิศทางและด้วยอินทิกรัลตามเส้นทาง:

$$E_x=-\frac{dV}{dx},\qquad \Delta V=V_b-V_a=-\int_a^b \vec{E}\cdot d\vec{r}.$$

สนามคือ gradient ลบของศักย์: $\vec{E}$ ชี้จากศักย์สูงไปต่ำ "ลงเขา". ที่ใด $V$ เปลี่ยนแปลงรวดเร็ว สนามจะแข็งแรง

ตัวอย่างทำข้อ. ตามแกน $x$, $V(x)=3x^{2}-2x$ (โวลต์, โดย $x$ เป็นเมตร) จากนั้น $E_x=-\dfrac{dV}{dx}=2-6x\ \text{V/m}$. ที่ $x=0.50\ \text{m}$, $E_x=-1.0\ \text{V/m}$: ทิศทางของสนามที่จุดนั้นชี้ไปทาง $-x$.

ในสนามสม่ำเสมอ ศักย์ลดลงอย่างต่อเนื่องตามระยะทาง

ผลต่างศักย์ ระหว่างสองจุดคือการเปลี่ยนแปลงพลังงานศักย์ต่อหน่วยประจุที่ถูกเคลื่อนย้ายระหว่าง них: $\Delta V=\Delta U_E/q$. แบตเตอรี่สร้างผลต่างศักย์ด้วยเคมี: ปฏิกิริยาภายในแยกประจุบวกออกจากประจุลบและรักษาขั้วให้ห่างกัน $\Delta V$

แผนที่ศักย์เท่า

เส้นศักย์เท่า (หรือเรียกว่า isoline) เชื่อมจุดที่มีศักย์เท่ากัน กฎสี่อย่างช่วยให้คุณสามารถอ่านแผนที่ใดๆ ได้

เส้นandidates (isolines) ตั้งฉากกับเส้นสนามทุกจุดที่ตัดกัน
$\vec{E}$ ชี้จากค่าสูง $V$ ไปยังค่าต่ำ $V$ – ไม่เคยตามแนวเส้นandidates การเคลื่อนย้ายประจุตามเส้นandidates ไม่มีการทำ功
เส้นandidatesที่หนาแน่นบ่งบอกถึงสนามที่แรง: $E\approx-\Delta V/\Delta x$
คุณสามารถวาดแผนภาพสนามจากแผนที่เส้นandidates และวาดแผนที่เส้นandidatesจากแผนภาพสนามได้

เส้นandidatesรอบไดโพลตัดกับเส้นสนามเป็นมุมฉาก

ทักษะสอบ. จากแผนที่ที่มีเส้นเท่าค่าทุก $10\ \text{V}$ ระยะห่างประมาณ $2\ \text{cm}$, ประมาณค่า $E\approx\dfrac{10}{0.02}=500\ \text{V/m}$ ชี้จากเส้นค่าสูงไปยังเส้นค่าต่ำ การทำงานของตัวภายนอกในการเคลื่อนโหลด $q$ ช้าๆ จาก $A$ ไปยัง $B$ คือ $W=q(V_B-V_A)$ – เส้นทางที่ใช้ไม่สำคัญ

สายส่งไฟฟ้าแรงสูง: พลังงานศักย์ไฟฟ้าถูกแปลงและส่งผ่านเป็นกระแสไฟด้วยแรงดันสูง

สำรวจ

เส้นสนามและศักย์ไฟฟ้ารอบๆ ประจุ

ศักย์ไฟฟ้า คือพลังงานต่อหน่วยประจุ มันลดลงตามระยะห่างจากประจุบวก; เส้นสนามชี้จากศักย์สูงไปต่ำ

คำศัพท์ ฝึกฝน

English	ไทย
work/wɜːk/	งาน
electric potential energy/ɪˈlektrɪk pəˈtenʃl ˈenədʒi/	พลังงานศักย์ไฟฟ้า
kinetic energy/kɪˈnetɪk ˈenədʒi/	พลังงานจลน์
conservative force/kənˈsɜːvətɪv fɔːs/	แรงอนุรักษ์
system/ˈsɪstəm/	ระบบ
Electric potential/ɪˈlektrɪk pəˈtenʃl/	ศักย์ไฟฟ้า
scalar/ˈskeɪlə/	สเกลาร์
point charges/pɔɪnt ˈtʃɑːdʒɪz/	ประจุจุด
superposition/ˌsuːpəpəˈzɪʃn/	การ叠加 (email: superposition)
continuous charge distribution/kənˈtɪnjuːəs tʃɑːdʒ ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/	การกระจายประจุต่อเนื่อง
integrate/ˈɪntɪɡreɪt/	อินทิเกรต
gradient/ˈɡreɪdɪənt/	ความชัน
potential difference/pəˈtenʃl ˈdɪfrəns/	ต่างศักย์
equipotential/ˌiːkwɪpəˈtenʃl/	equipotential
isoline/ˈaɪsəliːn/	เส้น iso potential isoline
perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/	ตั้งฉาก
field lines/fiːld laɪnz/	เส้นสนาม

9.3

การอนุรักษ์พลังงานไฟฟ้า

หลักสูตร

จุดประสงค์การเรียนรู้ 9.3.A: อธิบายการเปลี่ยนแปลงของระบบเนื่องจากความแตกต่างของศักย์ไฟฟ้าระหว่างสองตำแหน่ง

9.3.A.1 เมื่อวัตถุที่มีประจุเคลื่อนที่ระหว่างสองตำแหน่งที่มีศักย์ไฟฟ้าต่างกัน การเปลี่ยนแปลงของพลังงานศักย์ไฟฟ้าของระบบวัตถุ-สนามที่ได้จะถูกกำหนดโดยสมการต่อไปนี้
- สมการ: $\Delta U_E = q\Delta V$
9.3.A.2 การเคลื่อนที่ของวัตถุที่มีประจุระหว่างสองจุดที่มีศักย์ไฟฟ้าต่างกันส่งผลให้เกิดการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์ของวัตถุสอดคล้องกับการอนุรักษ์พลังงาน

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

เมื่อประจุ $q$ เคลื่อนที่ระหว่างสองจุดที่แตกต่างกันด้วยพลังงานศักย์ $\Delta V$, พลังงานศักย์ของระบบประจุ-สนามจะเปลี่ยนไปจำนวน

$$\Delta U_E=q\,\Delta V.$$

หากมีเพียงแรงไฟฟ้ากระทำ พลังงานรวมจะคงที่ ดังนั้นพลังงานจลน์จะเปลี่ยนในปริมาณที่ตรงข้าม:

$$\Delta K=-\Delta U_E=-q\,\Delta V.$$

สังเกตเครื่องหมายทั้งสองพร้อมกัน: ประจุบวกจะเร่งความเร็วเมื่อเคลื่อนที่ไปยัง ศักย์ ที่ต่ำกว่า ในขณะที่ประจุลบจะเร่งความเร็วเมื่อเคลื่อนที่ไปยัง ศักย์ ที่สูงกว่า ทั้งสองกรณีเป็นการแลกเปลี่ยนพลังงานศักย์เป็นพลังงานจลน์ของระบบ นี่คือวิธีการที่เครื่องเร่งอนุภาคให้พลังงานแก่อนุภาคที่มีประจุ และเป็นพื้นฐานของการวิเคราะห์พลังงานในวงจรไฟฟ้า

ตัวอย่างฝึกหัด. โปรตอน ($q=1.6\times10^{-19}\ \text{C}$, $m=1.67\times10^{-27}\ \text{kg}$) เริ่มจากหยุดนิ่งและถูกเร่งผ่านความต่างศักย์ลดลง $500\ \text{V}$ (มันเคลื่อนที่ไปยังศักย์ที่ต่ำกว่า ดังนั้น $\Delta V=-500\ \text{V}$ และ $\Delta K=-q\,\Delta V=+8.0\times10^{-17}\ \text{J}$) ตั้งค่า $\Delta K=\tfrac12 mv^2$:

$$v=\sqrt{\frac{2(8.0\times10^{-17})}{1.67\times10^{-27}}}=3.1\times10^{5}\ \text{m/s}.$$

ทักษะการสอบ. เลือกใช้วิธีพลังงานแทนการเคลื่อนที่ whenever สนามไม่สม่ำเสมอหรือเส้นทางโค้ง: เพียงค่าศักย์ที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดที่สำคัญ链条 FRQ แบบทั่วไปคือ $q\,\Delta V \to \Delta K \to v$, พร้อมบรรทัดหนึ่งแห่งการอธิบาย: "แรงไฟฟ้าเป็นแรงอนุรักษ์ พลังงานจึงคงที่"

9.3

ข้อแนะนำสำหรับการสอบ

เชื่อมโยงสนามและศักย์ด้วย $V=-\int \vec E\cdot d\vec l$ และ $\vec E=-\nabla V$ (ใน 1-D, $E_x=-\tfrac{dV}{dx}$)
ศักย์เป็น สเกลาร์ – บวกผล contribution ด้วยเครื่องหมาย ไม่ต้องใช้องค์ประกอบเวกเตอร์
พลังงานศักย์ของคู่ประจุคือ $U=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\tfrac{q_1 q_2}{r}$; ใช้กฎการอนุรักษ์พลังงานเพื่อหาความเร็วของประจุ
รู้ว่าไม่มี功ที่ทำเมื่อเคลื่อนที่ตาม equipotential ซึ่งตั้งฉากกับ $\vec E$
เลือกศูนย์ของศักย์ (มักเป็นอนันต์) และระบุไว้