สนามไฟฟ้า

สนามไฟฟ้า คือพื้นที่ที่ประจุไฟฟ้า experiencing a แรง จากประจุอื่น ๆ ความเข้มสนามไฟฟ้า $E$ ที่จุดหนึ่งคือ แรงต่อหน่วยประจุบวก作用于 small positive test charge ที่วางไว้ที่จุดนั้น:

หน่วย: $\text{N C}^{-1}$ (เช่นเดียวกับ $\text{V m}^{-1}$ ตามที่จะเห็นในภายหลัง) $E$ เป็น เวกเตอร์ ชี้ไปในทิศทางที่แรงกระทำต่อ ประจุบวก แรงที่กระทำต่อประจุ $q$ คือ

ตรงข้ามกับสนามหาก $q$ เป็นลบ

นิยามสำหรับ 2 คะแนน ความเข้มสนามไฟฟ้าที่จุดหนึ่งคือแรงต่อหน่วยประจุบวกที่กระทำต่อประจุเล็ก (ประจุทดสอบ) ที่วางไว้ที่จุดนั้น คำสามคำที่นำคะแนนมาคือ: แรงต่อหน่วยประจุ (ไม่ใช่ "แรงกระทำต่อประจุ"), บวก (ซึ่งกำหนดทิศทาง), และ เล็ก หรือ ทดสอบ (เพื่อให้ประจุไม่รบกวนสนามที่กำลังวัดอยู่) ตัวเลือกแบบเลือกตอบเสนอ "แรงต่อหน่วยประจุที่กระทำต่อมวลเล็ก" และ "แรงต่อหน่วยมวล" เป็นตัวเลือกหลอก: สนามถูกนิยามโดย ประจุ ไม่เคย由 มวล

ตัวอย่างวิธีทำ. โปรตอนเร่งความเร็วที่ $2.00\ \text{m s}^{-2}$ ในสนามไฟฟ้า โดยไม่มีแรงอื่นกระทำ จงหาความเข้มของสนาม ($m_{\text{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$, $e = 1.60 \times 10^{-19}\ \text{C}$.)

$qE = ma$, ดังนั้น

การจัดรูปสมการในทางกลับกันนี้ให้ค่าความเร่งของอิเล็กตรอนในสนาม $1500\ \text{V m}^{-1}$: $a = eE/m_{\text{e}} = (1.60 \times 10^{-19})(1500)/(9.11 \times 10^{-31}) = 2.6 \times 10^{14}\ \text{m s}^{-2}$, มีค่ามหาศาลเนื่องจากมวลของอิเล็กตรอนมีน้อยมาก แรงโน้มถ่วง ($9.81\ \text{m s}^{-2}$) มีค่าน้อยเมื่อเทียบกับมัน นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมคำถามข้อสอบเกี่ยวกับอิเล็กตรอนระหว่างแผ่นโลหะจึงไม่คำนึงถึงน้ำหนัก

เส้นสนาม

• เส้นสนาม บ่งบอกทิศทางของแรงที่กระทำต่อประจุทดสอบบวก

• เส้นเริ่มจาก ประจุบวก และสิ้นสุดที่ ประจุลบ (หรือ Goes ไปที่อนันต์)

• เส้นnever ตัดกัน; เส้นที่ใกล้กันหมายถึงสนามที่แรงขึ้น

• ทุกเส้นมี ลูกศร; เส้นตัดกับพื้นผิวของตัวนำในมุมฉาก

สิ่งที่เส้นสนามแทน. เมื่อถามว่า "ระบุสิ่งที่เส้นสนามไฟฟ้าแทน" ให้ตอบทั้งสองส่วน: ทิศทาง ของมันแสดงทิศทางของแรงที่กระทำต่อ ประจุบวก ที่วางไว้ที่จุดนั้น, และ ระยะห่าง ระหว่างเส้นแสดงความเข้มของสนาม (เส้นใกล้กัน, สนามแรงขึ้น) การวาดภาพจะให้คะแนนตามจุดเหล่านี้เท่านั้น: วาดลูกศร, เส้นไม่ตัดกัน, ระยะห่างเท่ากันเมื่อสนามสม่ำเสมอ, และเส้นรัศมีสำหรับประจุจุดหรือทรงกลม

ตัวอย่าง: ประจุจุด บวกมีเส้นรัศมีชี้ออก; แบบลบมีเส้นชี้เข้า; สองประจุตรงข้าม (ไดโพล) มีเส้นโค้งจาก + ไป −; สองแผ่นขนานที่มีประจุให้ สนามสม่ำเสมอ ของเส้นขนานที่ห่างเท่ากัน

ทรงกลมตัวนำที่มีประจุ

ประจุบน ตัวนำ ที่ แยก ออก มาอยู่ที่ ผิวภายนอก ของมัน กระจายอย่างสม่ำเสมอเมื่อทรงกลมอยู่ลำพัง ด้านนอกของทรงกลม เส้นสนามจะเป็น รัศมี, ห่างเท่ากัน และชี้ออกไป (สำหรับประจุบวก), เป็นรูปแบบเดียวกับประจุจุดที่ศูนย์กลาง ภายใน ตัวนำกลวง (หรือทึบ) สนามจะเป็น ศูนย์: สนามของประจุผิวทั้งหมดหักล้างกันทุกจุดภายใน ดังนั้นไม่มีเส้นสนามเข้าไปสองกราฟถัดมา และทั้งสองเป็นตัวเลือกที่นิยมในข้อสอบ ความเข้มของสนาม $E$ เป็นศูนย์จนถึงรัศมี $R$, กระโดด ไปที่ค่าผิว $E_0$ แล้วลดลงตาม $1/r^{2}$; ศักย์ไฟฟ้า $V$ เป็น คงที่ ภายใน (สนามศูนย์หมายถึงเกรเดียนต์ศักย์ศูนย์) แล้วลดลงตาม $1/r$.

อ่านกราฟ. ให้กราฟ $E$–$x$ สำหรับทรงกลมที่มีประจุ รัศมี คือระยะที่ $E$ กระโดดจากศูนย์, และ ประจุ มาจากจุดใดก็ได้บนcurve: $Q = 4\pi\varepsilon_{0} r^{2} E$. ให้ "$E_0$ ที่ผิว", ค่าที่ $2R$ คือ $E_0/4$ และที่ $3R$ คือ $E_0/9$: วาด curve ผ่านจุดเหล่านั้น, เริ่มที่ $E_0$ บนเส้นผิว, ไม่เริ่มจากจุดกำเนิด

ระหว่างแผ่นขนานสองแผ่นห่างกัน $d$ และมี ผลต่างศักย์ $V$ ระหว่างกัน, สนามจะเป็นสม่ำเสมอ (ยกเว้นผลกระทบขอบ) ด้วยขนาด

มันชี้จากแผ่นที่มีศักย์สูงกว่าไปยังแผ่นที่มีศักย์ต่ำกว่า หน่วย $\text{V m}^{-1}$ มาโดยตรงจากสิ่งนี้และเท่ากับ $\text{N C}^{-1}$.

ตัวอย่างวิธีทำ. แผ่นขนานสองแผ่น $5.0\ \text{mm}$之间有 p.d. $200\ \text{V}$. จงหาความเข้มของสนาม, และแรงที่กระทำต่อยอิเล็กตรอนในช่องว่าง ($e = 1.6 \times 10^{-19}\ \text{C}$.)

อะไรเปลี่ยนสนาม? มีเพียงสองอย่าง: $E = V/d$ จะเพิ่มขึ้นหาก p.d. เพิ่มขึ้น หรือแผ่นถูกย้าย เข้าหากัน. เรซิสเตอร์ที่ต่ออนุกรมกับแหล่งจ่ายไฟไม่เปลี่ยนแปลงอะไร: ไม่มีกระแสไหลเมื่อแผ่นชาร์จแล้ว, ดังนั้นไม่มี p.d. Across เรซิสเตอร์ และแผ่นอยู่ที่แรงดันแหล่งจ่ายเต็ม Between Plates at $+800\ \text{V}$ และ $+1300\ \text{V}$, สนามชี้จาก ศักย์สูง ไปยังต่ำ; สองศักย์บวกไม่เปลี่ยนกฎทิศทาง

อนุภาคที่มีประจุในสนามสม่ำเสมอ

ประจุ $q$ ในสนามสม่ำเสมอรับ แรงคงที่ $F = qE$, ดังนั้น ความเร่งคงที่ $a = qE/m$ — เหมือนกับมวลในสนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอ

• ปล่อย จากสถานะหยุดนิ่ง, มันเร่งความเร็วไปตามสนาม (ประจุบวก) หรือสวนทาง (ประจุลบ), ได้รับ พลังงานจลน์
• เข้า ในมุมฉาก กับสนาม, มันเดินตาม พาราโบลา Path — เหมือนกับ โปรเจกไทล์ ในแรงโน้มถ่วง นี่คือวิธีที่ หลอดรังสีแคโทด ใช้บังคับลำแสง

สองแรง ไม่ใช่หนึ่ง. หยดน้ำมัน "ที่ยืนนิ่ง" ระหว่างแผ่นราบคือ สมดุล ที่ข้อสอบชอบที่สุด: มีทั้ง แรงไฟฟ้าและน้ำหนักกระทำต่อมัน (ตัวเลือกลวงในข้อเลือกคือ "มีเพียงแรงไฟฟ้า") และทั้งสองมีขนาดเท่ากันและทิศทางตรงข้าม สำหรับ หยดที่มีประจุลบ แรงไฟฟ้าจะตรงข้ามกับสนาม ดังนั้นแผ่นบนต้องเป็น บวก เพื่อพยุงมันไว้

ตัวอย่างฝึกหัด. หยดน้ำมันมวล $2.6 \times 10^{-15}\ \text{kg}$ มีประจุ $-4.8 \times 10^{-19}\ \text{C}$ และยืนนิ่งในสุญญากาศระหว่างแผ่นราบ $2.0\ \text{cm}$ แยกกัน จงหาความต่างศักย์ระหว่างแผ่น และระบุว่าแผ่นใดเป็นบวก

หยดมีประจุลบ ดังนั้นแรงที่กระทำ对它是对着场; เพื่อให้แรงชี้ขึ้น สนามต้องชี้ ลง ดังนั้น บน แผ่นเป็นบวก ระวังว่าประจุนี้ $3e$ คืออิเล็กตรอนเกินสามตัว นี่คือวิธีที่มิลลิคานพิสูจน์ว่าประจุมีค่าเป็นพหุคูณของ $e$

ตัวอย่างฝึกหัด. แผ่นขนานสองแผ่นในสุญญากาศ $0.041\ \text{m}$ แยกกัน มีความต่างศักย์ $250\ \text{V}$ ระหว่างกัน อิเล็กตรอนปล่อยจากจุดหยุดนิ่งที่แผ่นลบ จงหา (ก) ความเข้มสนาม, (ข) แรงต่ออิเล็กตรอนและความเร่ง, (ค) เวลาที่ใช้才能达到แผ่นบวก, (ง) พลังงานจลน์เมื่อถึง ($m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$.)

(a) $E = V/d = 250/0.041 = 6.1 \times 10^{3}\ \text{V m}^{-1}$. (ข) $F = eE = (1.60 \times 10^{-19})(6.1 \times 10^{3}) = 9.8 \times 10^{-16}\ \text{N}$; $a = F/m_{\text{e}} = 1.07 \times 10^{15}\ \text{m s}^{-2}$, ไปทางแผ่นบวก (ค) จากจุดหยุดนิ่งด้วยความเร่งคงที่ $d = \tfrac{1}{2} a t^{2}$ ดังนั้น $t = \sqrt{2d/a} = \sqrt{2 \times 0.041 / (1.07 \times 10^{15})} = 8.8 \times 10^{-9}\ \text{s}$ (ง) วิธีพลังงาน ไม่ต้องใช้สมการจลนศาสตร์: $E_{\text{k}} = qV = (1.60 \times 10^{-19})(250) = 4.0 \times 10^{-17}\ \text{J}$ ดังนั้น $v = \sqrt{2E_{\text{k}}/m_{\text{e}}} = 9.4 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$. (ตรวจสอบ: $v = at = (1.07 \times 10^{15})(8.8 \times 10^{-9}) = 9.4 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$.)

ตัวอย่างวิธีทำ (การเบี่ยงเบน). อิเล็กตรอนเคลื่อนที่แนวนอนที่ $2.0 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$ เข้าสู่อุณหภูมิตระหว่างแผ่นนำสองแผ่นวางขนานกัน $18\ \text{mm}$ มีต่างศักย์ $400\ \text{V}$ แผ่นนำยาว $30\ \text{mm}$ จงหา การเบี่ยงเบน (deflection) ของอิเล็กตรอนเมื่อออกจากสนาม

การเคลื่อนที่ในแนวราบไม่ถูกกระทบ: เวลาในสนาม $t = 0.030/(2.0 \times 10^{7}) = 1.5 \times 10^{-9}\ \text{s}$. ในแนวตั้ง, $a = eE/m_{\text{e}} = eV/(m_{\text{e}} d) = (1.60 \times 10^{-19})(400)/[(9.11 \times 10^{-31})(0.018)] = 3.9 \times 10^{15}\ \text{m s}^{-2}$, ดังนั้นการเบี่ยงเบนคือ $y = \tfrac{1}{2} a t^{2} = \tfrac{1}{2}(3.9 \times 10^{15})(1.5 \times 10^{-9})^{2} = 4.4 \times 10^{-3}\ \text{m}$, น้อยกว่าครึ่งช่องว่าง $9\ \text{mm}$, ดังนั้นอิเล็กตรอนออกจากระบบได้ ความเร็วในแนวตั้งตอนออกคือ $at = 5.9 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$, ดังนั้นออกที่มุม $\tan\theta = 5.9/20$, ประมาณ $16°$; เส้นทางเป็นพาราโบลา, และ หลัง จากแผ่น (ไม่มีสนาม) มันเคลื่อนที่ตามเส้นตรงในทิศทางตอนออก

สำหรับประจุจุดสองตัว $Q_{1}$ และ $Q_{2}$ ระยะห่าง $r$ ในอวกาศว่าง แต่ละตัวรู้สึกถึงแรงขนาด

นี่คือ กฎของคูลอมบ์. ที่นี่ $\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12}\ \text{F m}^{-1}$ คือ ค่าสัมประสิทธิ์การยอมผ่านของอวกาศว่าง, และ $1/(4\pi\varepsilon_{0}) \approx 9.0 \times 10^{9}\ \text{N m}^{2}\ \text{C}^{-2}$. แรงอยู่ในแนวเชื่อมประจุ: ผลัก สำหรับประจุชนิดเดียวกัน, ดูด สำหรับประจุต่างชนิด

การกล่าวกฎเป็นคำพูด. "จงกล่าวกฎของคูลอมบ์" ต้องการประโยค ไม่ใช่สูตร: แรง (ไฟฟ้า) ระหว่างประจุจุดสองตัวแปรผันตรงกับผลคูณของประจุและแปรผกผันกับกำลังสองของระยะห่าง. การแปรผันทั้งสองจำเป็น และประจุต้องเป็น ประจุจุด (หรือทรงกลมที่พิจารณาเป็นประจุจุดที่ศูนย์กลาง) ในสุญญากาศ

*ประจุชนิดเดียวกันผลักกัน; ต่างชนิดดูดกัน — แรงอยู่ในแนวเชื่อม将它们

ตัวอย่างฝึกหัด. จงหาแรงสถิตระหว่างประจุจุด $+2.0\ \text{nC}$ และ $+3.0\ \text{nC}$ วางกัน $4.0\ \text{cm}$. ($1/(4\pi\varepsilon_{0}) = 9.0 \times 10^{9}\ \text{N m}^{2}\ \text{C}^{-2}$.)

ตัวอย่างฝึกหัด. ในอะตอมไฮโดรเจนโปรตอนและอิเล็กตรอนสามารถพิจารณาเป็นประจุจุด $120\ \text{pm}$ แยกกัน จงหาแรงไฟฟ้าระหว่าง它们 และเปรียบเทียบกับแรงโน้มถ่วง把它们之间 ($m_{\text{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$, $m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$, $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$.)

แรงโน้มถ่วง: $F_{\text{G}} = G m_{\text{p}} m_{\text{e}}/r^{2} = (6.67 \times 10^{-11})(1.67 \times 10^{-27})(9.11 \times 10^{-31})/(1.20 \times 10^{-10})^{2} = 7.0 \times 10^{-48}\ \text{N}$, น้อยกว่าประมาณ $10^{39}$ เท่า. ภายในอะตอม, แรงโน้มถ่วงไม่สำคัญ

ตัวอย่างฝึกหัด. หยดน้ำมันสองหยดเหมือนกันในสุญญากาศมีศูนย์กลาง $3.8 \times 10^{-6}\ \text{m}$ แยกกัน แต่ละหยดมีประจุเท่ากัน และผลักกันด้วยแรง $1.0 \times 10^{-15}\ \text{N}$ จงหาประจุของแต่ละหยด และจำนวนอิเล็กตรอนเกิน它有

นั่นคือ $1.3 \times 10^{-18}/1.60 \times 10^{-19} \approx 8$ อิเล็กตรอน วัตถุที่มีประจุชนิดเดียวกันจะ ผลักกันเสมอ; อย่าเขียน "ดึงดูด" สำหรับทิศทาง

ตัวอย่างฝึกหัด. ทรงกลม X ที่มีประจุยึดติดกับแท่นฉนวน ทรงกลม Y มวล $2.0\ \text{g}$ แขวนข้างมันด้วยด้ายฉนวน และ/settle ในสมดุลด้วยด้ายทำมุม $12°$ กับแนวตั้ง, ศูนย์กลาง它的 $5.0\ \text{cm}$ จากศูนย์กลาง X ในระดับแนวนอนเดียวกัน จงหาแรงไฟฟ้าต่อ Y และถ้าทรงกลมมีประจุเท่ากัน จงหาประจุแต่ละตัว

สามแรงกระทำต่อ Y: น้ำหนัก $mg$ (ลง), แรงตึง $T$ (ตามด้าย) และแรงไฟฟ้า $F$ (แนวนอน, ห่างจาก X เพราะประจุชนิดเดียวกันผลัก). การแยกองค์ประกอบ, $T\cos\theta = mg$ และ $T\sin\theta = F$, ดังนั้น

จากนั้น $F = Q^{2}/(4\pi\varepsilon_{0} r^{2})$ ให้ $Q = \sqrt{4\pi\varepsilon_{0} F r^{2}} = \sqrt{(4.2 \times 10^{-3})(0.050)^{2}/(8.99 \times 10^{9})} = 3.4 \times 10^{-8}\ \text{C}$. สามเหลี่ยมเวกเตอร์ปิดของแรงสามตัวเป็นวิธีที่ดีพอ; ข้อสอบยอมรับทั้งสอง แต่ต้องแสดงแรง สาม ตัวทั้งหมด

ตัวอย่างฝึกหัด (ฮีเลียม). อะตอมฮีเลียมอาจจำลองเป็นนิวเคลียสประจุ $+2e$ denganสองอิเล็กตรอนในวงโคจรวงกลมตรงข้ามกันรัศมี $170\ \text{pm}$. จงหา แรงลัพธ์作用于 one electron, และดังนั้นความเร็ววงโคจร

มีแรงสองกระทำต่ออิเล็กตรอน: แรงดึงดูด toward นิวเคลียส ที่ระยะ $r$ และแรงผลัก from อิเล็กตรอนอื่น ที่ระยะ $2r$ ฝั่งตรงข้าม:

ไปทางนิวเคลียส ผลรวมของแรงนี้คือแรงเข้าศูนย์กลาง, $F = m_{\text{e}} v^{2}/r$, ดังนั้น $v = \sqrt{F r/m_{\text{e}}} = \sqrt{(1.4 \times 10^{-8})(1.70 \times 10^{-10})/(9.11 \times 10^{-31})} = 1.6 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$. กับดักคือการลืมอิเล็กตรอนตัวที่สอง หรือตั้งไว้ที่ระยะ $r$ แทนที่จะเป็น $2r$.

สpheres จัดเป็นประจุจุด

ตัวนำทรงกลมที่มีประจุทั้งหมด $Q$ จะให้สนามไฟฟ้าที่จุดใดๆ ภายนอก เหมือนกับประจุจุด $Q$ ที่ศูนย์กลาง (วัด $r$ จากศูนย์กลาง) ภายใน ตัวนำว่างที่มีประจุ สนามไฟฟ้าจะเป็นศูนย์ ดังนั้นตัวนำจึงเป็น equipotential

กฎของคูลอมบ์ให้แรงระหว่าง สอง ประจุ หารด้วยประจุทดสอบ ($E = F/q$) แล้วจะเหลือเพียงสนามของประจุแหล่ง $Q$ เพียงอย่างเดียว. สนามที่ระยะ $r$ จากประจุจุด $Q$ คือ

ชี้ออกจากประจุบวก $Q$ เข้าหาประจุลบ $Q$ และลดลงตาม $1/r^{2}$ — เหมือนกับ ความเข้มสนามโน้มถ่วง除 gravity เป็นแรงดึงดูดเสมอ สำหรับหลายประจุ ให้บวกสนามไฟฟ้าในรูปของ ผลบวกเวกเตอร์

ตัวอย่างวิธีทำ. ดินสามารถจัดเป็นทรงกลมตัวนำสม่ำเสมอรัศมี $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$ ที่มีประจุทั้งหมด $-4.80 \times 10^{5}\ \text{C}$ กระจายอยู่บนพื้นผิว หาความเข้มสนามไฟฟ้าที่พื้นผิว และเปรียบเทียบกับความเข้มสนามโน้มถ่วงที่นี่ ($M_{\text{E}} = 5.98 \times 10^{24}\ \text{kg}$.)

ชี้เข้าหา ศูนย์กลาง (เพราะประจุเป็นลบ) โน้ตถ่วง: $g = GM/R^{2} = 9.83\ \text{N kg}^{-1}$, ดังนั้น $E/g \approx 11$; ในสัญลักษณ์ $E/g = Q/(4\pi\varepsilon_{0} G M)$, ซึ่งแสดงว่าอัตราส่วนขึ้นอยู่กับอัตราส่วนประจุต่อมวลของทรงกลมเท่านั้น ทรงกลมที่มีประจุ มวล $m$ และประจุ $q$ จะต้องใช้ $qE = mg$ เพื่อลอยอยู่ในสนามนี้: $q/m = g/E = 0.093\ \text{C kg}^{-1}$.

ตัวอย่างวิธีทำ. ประจุจุดขนาด $+4.0\ \text{nC}$ และ $+1.0\ \text{nC}$ อยู่ห่างกัน $30\ \text{cm}$ จุดใดบนเส้นที่เชื่อม将它们จะมี resultant field เป็นศูนย์?

ระหว่างประจุทั้งสอง สนามชี้ไปในทิศทางตรงกันข้าม ให้เรียก ระยะจากประจุ $4.0\ \text{nC}$ ว่า $x$. การได้ resultant เป็นศูนย์ต้องการขนาดเท่ากัน:

ไกลจากประจุมากกว่าสองเท่า สำหรับ ประจุต่างชนิด สนามระหว่างพวกมันชี้ไปในทิศทางเดียวกันและไม่เคยหักล้างกัน: จุดที่เป็นศูนย์อยู่ ภายนอก, หลังประจุที่มีขนาดเล็กกว่า

potensial ไฟฟ้า $V$ ที่จุดหนึ่งคือ งานที่ทำต่อหน่วยประจุบวก ในการนำประจุทดสอบบวกเล็กน้อยจาก ** vô cùng** มาที่จุดนั้น:

หน่วย: $\text{V}$. PotENTIAL เป็น ศูนย์ที่ vô cùng. สำหรับประจุแหล่งบวก $V > 0$ ทุกที่ภายนอก; สำหรับประจุแหล่งลบ $V < 0$.

นิยามคะแนนสอง. Electric potential at a point is the work done per unit positive charge in bringing a small test charge from infinity to the point. คะแนนอยู่ที่ work done per unit (positive) charge และ from infinity to the point. PotENTIAL ของประจุบวกเป็นบวกเพราะต้อง ทำงานบน ประจุทดสอบบวกเพื่อดันเข้าไปต้านแรงผลัก; ใกล้ประจุลบ สนามทำงานแทน ดังนั้น potential จึงเป็นลบ. "Explain why the potential near an isolated proton is positive" ตอบได้ด้วยคำเหล่านี้เป๊ะๆ

Potential จากประจุจุด

สังเกต $1/r$ ที่นี่ (เมื่อเทียบกับ $1/r^{2}$ สำหรับ field). $V$ เป็น scalar; สำหรับหลายประจุ ให้บวก potentials (พร้อมเครื่องหมาย)

ตัวอย่างวิธีทำ. หา electric potential $4.0\ \text{cm}$ จากประจุจุด $+3.0\ \text{nC}$. ($1/(4\pi\varepsilon_{0}) = 9.0 \times 10^{9}\ \text{N m}^{2}\ \text{C}^{-2}$.)

เพราะ potential เป็น scalar, potential จากหลายประจุคือผลบวกของแต่ละตัว (แต่ละตัวมีเครื่องหมายของตัวเอง) — ไม่ต้องแยก components ทิศทาง

Two charged spheres on a line

ข้อสอบชอบคำถามโครงสร้างที่วางทรงกลม X และ Y ห่างกันบางระยะแล้ววาดกราฟ potential $V$ ตามเส้นที่เชื่อมศูนย์กลาง (หรือถามให้คุณวิเคราะห์จากกราฟ) ทุกอย่างมาจากสองข้อเท็จจริง: potential เป็น scalar ที่บวกกันด้วยเครื่องหมาย, และ field คือ negative gradient ของกราฟ

• เครื่องหมายของประจุ. ถ้า $V$ เป็นบวกตลอดทั้งเส้น ทั้งสองประจุเป็นบวก; ถ้า $V$ เปลี่ยนเครื่องหมาย, ประจุต่างชนิด (บวกใกล้ทรงกลมบวก)
• ที่ where field เป็นศูนย์. ที่ where curve มี minimum (gradient ศูนย์). สำหรับประจุชนิดเดียวกัน它就 lies ระหว่าง them, ใกล้ประจุที่มีขนาดเล็กกว่า: $Q_{\text{X}}/x^{2} = Q_{\text{Y}}/(d - x)^{2}$. สำหรับประจุต่างชนิดไม่มี point แบบนั้นระหว่าง them: curve ตัดผ่านศูนย์ที่นั่น, แต่ gradient ไม่ใช่ศูนย์, ดังนั้น field ก็ไม่ใช่.
• อัตราส่วนของประจุ. ที่ where $V = 0$ ระหว่างประจุต่างชนิด, $Q_{\text{X}}/x = Q_{\text{Y}}/(d - x)$: ระยะทางให้ ratio โดยตรง. สำหรับประจุชนิดเดียวกันใช้ minimum แทน (รากที่สองของเงื่อนไข field).
• แรง作用于ประจุที่วางที่ P. อ่าน gradient ที่ P โดยวาด tangent; แล้ว $E$ เป็นลบของ gradient, และ $F = qE$.

ตัวอย่างวิธีทำ. Two isolated charged metal spheres X and Y มีศูนย์กลางห่างกัน $1.2\ \text{m}$ ในสุญญากาศ. Potential ตามเส้นระหว่าง them เป็นบวกทุกที่ และมี minimum ที่ $x = 0.50\ \text{m}$ จากศูนย์กลางของ X. ระบุสามข้อสรุป, แล้วหาแรง作用于โปรตอนที่ถูกยึดไว้ที่ $x = 0.60\ \text{m}$, ที่ where gradient of the graph is $+180\ \text{V m}^{-1}$.

สรุปผล: (1) ทั้งสองสpheres มีประจุ บวก เนื่องจากศักย์ไฟฟ้าเป็นบวกทุกจุด; (2) สนามไฟฟ้ามีค่า ศูนย์ ที่ $x = 0.50\ \text{m}$ ซึ่งมีความชันเป็นศูนย์; (3) ประจุของ Y มีมากกว่า X เนื่องจากจุดที่สนามไฟฟ้าเป็นศูนย์อยู่ใกล้ X มากกว่า ในความเป็นจริงคือ $Q_{\text{Y}}/Q_{\text{X}} = (0.70/0.50)^{2} = 2.0$. ที่ $x = 0.60\ \text{m}$: $E = -180\ \text{V m}^{-1}$ (ชี้เข้าหา X เนื่องจาก $V$ เพิ่มขึ้นเมื่อเข้าใกล้ Y), ดังนั้น $F = eE = (1.60 \times 10^{-19})(180) = 2.9 \times 10^{-17}\ \text{N}$ ชี้เข้าหา X. เมื่อปล่อยออก โปรตอนจะเร่งความเร็วเข้าหา X โดยความเร่งจะ เพิ่มขึ้น เมื่อความชันเพิ่มขึ้น; ต้องใช้แรงภายนอกมาพยุงให้มันหยุดนิ่ง

อธิบายการเคลื่อนที่. "อนุภาคที่มีประจุบวกวางอยู่ที่ P และปล่อยให้อิสระ อธิบายและอธิบายการเคลื่อนที่ของมัน" ผู้สอบต้องการคำตอบ: ทิศทาง (ไปหาจุดที่มีศักย์ ต่ำกว่า ตามลาดชันของกราฟ $V$); ว่าแรงและความเร่ง ไม่คงที่ (ตามความชันซึ่งเปลี่ยนแปลงไปตามเส้นตรง); และว่าอนุภาคจะ เร็วขึ้น ตลอดเวลา เนื่องจากแรงยังคงอยู่ในทิศทางการเคลื่อนที่ หาก P เป็นจุดที่สนามไฟฟ้าเป็นศูนย์ อนุภาคจะหยุดนิ่ง处于ในสมดุลที่ไม่เสถียร: การผลักเล็กน้อยไปทางใดทางหนึ่งจะทำให้มันเคลื่อนที่ออกไป

ความสัมพันธ์ระหว่างสนามกับศักย์

สนามไฟฟ้าเท่ากับ ลบของความชันของศักย์ไฟฟ้า:

ระหว่างแผ่นขนาน $V$ เปลี่ยนแปลงสม่ำเสมอตามตำแหน่ง ทำให้ได้ $E = V/d$ เหมือนเดิมเครื่องหมายลบหมายถึงสนามชี้ hacia ศักย์ต่ำลง. สำหรับประจุจุด, $-\dfrac{dV}{dr} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}} = E$.

ความสัมพันธ์แบบบรรทัดเดียว. "ระบุความสัมพันธ์ระหว่างสนามไฟฟ้ากับศักย์ไฟฟ้า": ความเข้มของสนามไฟฟ้าเท่ากับลบของความชันของศักย์ไฟฟ้า, $E = -\Delta V/\Delta x$. บนกราฟ $V$–$x$ $E$ คือลบของ ความชัน ของเส้นสัมผัส; บนกราฟ $V$–$r$ สำหรับประจุจุด ความชันจะชันที่สุดใกล้ประจุ ซึ่งเป็นจุดที่สนามไฟฟ้าแรงที่สุด, และเครื่องหมายของ $E$ ถูกกำหนดโดย "สนามชี้ hacia ศักย์ต่ำลง". รูปแบบสนามสม่ำเสมอ $E = V/d$ ก็เป็นการบอกสิ่งเดียวกันด้วยความชันคงที่

** equipotentials (equipotential surfaces).** ** equipotential surface** เชื่อมต่อจุดที่มีศักย์เท่ากัน; ไม่มีการทำงานเมื่อเคลื่อนประจุตาม equipotential ดังนั้นสนามจึงตั้งฉากกับ equipotential เสมอ รอบๆ ประจุจุด equipotentials เป็นทรงกลมซ้อนกัน expanding far apart as $V$ falls; ระหว่างแผ่นขนาน它们是平行于 plates igh.พื้นผิวของตัวนำเป็น equipotential, นี่คือเหตุผลที่ว่าทำไมเส้นสนามจึงตัดพื้นผิวนั้นด้วยมุมฉาก

พลังงานศักย์ไฟฟ้า

ประจุ $q$ ที่จุดที่มีศักย์ $V$ จะมี พลังงานศักย์ไฟฟ้า $E_{\text{P}} = qV$. สำหรับประจุจุดสองตัว $Q$ และ $q$ ที่ห่างกัน $r$:

• ประจุชนิดเดียวกัน: $E_{\text{P}} > 0$ — พลังงานที่เก็บไว้ซึ่งจะถูกปลดปล่อยหากพวกมันบินออกจากกัน
• ประจุต่างชนิด: $E_{\text{P}} < 0$ — ระบบที่ถูก ยึดเกาะ; ต้องมีพลังงานเข้ามาเพื่อแยกพวกมันออก

ในทั้งสองกรณี $E_{\text{P}} \to 0$ เมื่อ $r \to \infty$

ตัวอย่างคำนวณ. โปรตอนและอิเล็กตรอนในอะตอมไฮโดรเจนอยู่ห่างกัน $5.3 \times 10^{-11}\ \text{m}$. หาพลังงานศักย์ไฟฟ้าของคู่นี้

เครื่องหมาย ลบ เป็นส่วนหนึ่งของคำตอบ: ประจุเป็นต่างชนิดกัน ดังนั้นพลังงาน ($4.3 \times 10^{-18}\ \text{J}$) ต้องถูก จ่ายเข้ามา เพื่อดึงพวกมันออกจากกันไปยังอนันต์. (อิเล็กตรอนยังมีพลังงานจลน์ครึ่งหนึ่งของค่านี้นั้น ดังนั้นพลังงานที่ต้องใช้เพื่อ ไอออไนซ์ อะตอมคือ $13.6\ \text{eV}$; "รูปแบบตัวอย่างคำนวณ" ด้านล่างแสดงให้เห็นเหตุผล)

ประจุผ่าน p.d. ประจุ $q$ เคลื่อนที่ผ่านความต่างศักย์ $V$ จะเปลี่ยนพลังงานศักย์由其 $qV$, นั่นคือเหตุผลว่าทำไมอิเล็กตรอนที่ถูกเร่งจากสถานะหยุดนิ่งผ่าน $250\ \text{V}$ จะมาถึงพร้อมกับ $250\ \text{eV}$ ของพลังงานจลน regardless of the field shape. สำหรับ MCQ เกี่ยวกับ "การเคลื่อนย้าย P ระยะ $x$ ตามเส้นสนาม", งานที่ทำคือ $qEx$, และพลังงานศักย์ของ它会 ลดลง ถ้ามันเคลื่อนที่ไปในทิศที่แรงดัน

รูปแบบตัวอย่างคำนวณ

อิเล็กตรอน โคจรรอบ นิวเคลียส ที่มีประจุ $+Ze$ ที่ระยะ $r$. แรงดึงดูดของคูลอมบ์ให้ แรงสู่ศูนย์กลาง:

พลังงานรวมคือพลังงานจลนบวกศักย์:

ซึ่งเป็นลบ (สถานะถูกยึดเกาะ)

เปรียบเทียบแรงโน้มถ่วงกับไฟฟ้า

ทฤษฎีสนามทั้งสองดูคล้ายกัน:

เครื่องหมายลบใน ศักย์ไฟฟ้า บ่งชี้ว่าแรงโน้มถ่วงเป็นแรงดึงดูดเสมอ; ส่วนศักย์ไฟฟ้าจะมีเครื่องหมายตามประจุของแหล่งกำเนิด

ความคล้ายคลึงและความแตกต่าง (ข้อสอบมาตรฐาน 2 คะแนน) ทั้งสองศักย์แปรผันตรงกับ $1/r$, ทั้งสองมีค่าเป็นศูนย์ที่อนันต์ และทั้งสองเป็นสเกลาร์; แต่ศักย์โน้มถ่วงจะเป็น ลบเสมอ (เนื่องจากแรงเป็นแรงดึงดูดเสมอ) ในขณะที่ศักย์ไฟฟ้าจะมี เครื่องหมายตามประจุ และสามารถเป็นบวกได้ สำหรับสนาม: ทั้งสองปฏิบัติตามกฎกำลังสองผกผันและ BOTH แสดงด้วยเส้นรัศมีรอบจุดกำเนิด แต่เส้นสนามโน้มถ่วงจะชี้เข้าหาจุดกำเนิดเท่านั้น (การดึงดูด) ในขณะที่เส้นสนามไฟฟ้าจะชี้ออกจากประจุบวกและชี้เข้าหาประจุลบ

คำถามคำนิยามจะให้คะแนนตามข้อความที่กำหนดไว้你必须 exact. เรียนรู้ให้ถูกต้องและตอบเพียงคำตอบเดียวเท่านั้น

• สมการสี่สมการ, สองสมการใช้ $r^{2}$ และสองสมการใช้ $r$: $F = Q_1 Q_2 / 4\pi\varepsilon_0 r^{2}$ และ $E = Q/4\pi\varepsilon_0 r^{2}$ (กำลังสองผกผัน), $V = Q/4\pi\varepsilon_0 r$ และ $E_{\text{P}} = Qq/4\pi\varepsilon_0 r$. ตัดสินใจก่อนเขียนคำตอบ
• แยกแยะระหว่าง สนามสม่ำเสมอ ($E = V/d$, ระหว่างแผ่น) กับ สนามรัศมี ($E = Q/4\pi\varepsilon_0 r^{2}$, ข้างนอกประจุจุดหรือทรงกลม); การวัด $r$ สำหรับทรงกลมจะวัดจาก ศูนย์กลาง ไม่ใช่จากพื้นผิว
• ทิศทางของสนามชี้จากศักย์สูงไปต่ำ และ $E$ คือค่าลบของเกรเดียนต์ศักย์: วาดเส้นสัมผัสบนกราฟ $V$–$x$ เพื่อหาค่าได้
• สนามเป็นเวกเตอร์ (บวกองค์ประกอบ, ลบส่วนที่ตรงข้าม); ศักย์เป็นสเกลาร์ (บวกโดยพิจารณาเครื่องหมาย) ระหว่างประจุชนิดเดียวกันจะมีจุดที่สนามเป็นศูนย์; ระหว่างประจุต่างชนิดจะมีจุดที่ศักย์เป็นศูนย์
• อนุภาคที่มีประจุในสนามสม่ำเสมอ: $F = qE$, $a = qE/m$, $E_{\text{k}} = qV$; ตามแนวสนามจะเป็นครึ่งหนึ่งของ运动和กระสุน (projectile motion) ในแนวตั้ง และการเคลื่อนที่ในแนวตั้งฉากกับสนามจะไม่ถูกกระทบ
• ใบข้อมูลให้ทั้ง $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\ \text{F m}^{-1}$ และ $1/(4\pi\varepsilon_0) = 8.99 \times 10^{9}\ \text{m F}^{-1}$; ใช้ตัวใดก็ได้ อย่าสับสน将它们

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

• การนิยามความเข้มสนามว่าเป็น "แรงที่กระทำต่อประจุ" หรือ "แรงต่อหน่วยมวล". มันคือแรงต่อหน่วย ประจุบวก ที่กระทำต่อบนประจุบวกขนาดเล็ก
• ลืมยก $r$ เป็นกำลังสองในกฎของคูลอมบ์และในสนาม, หรือการยกกำลังสองมันในศักย์ ($V \propto 1/r$).
• การใช้เส้นผ่านศูนย์กลาง, หรือระยะจาก พื้นผิว ของทรงกลม, แทนที่จะเป็นระยะจากศูนย์กลางถึงศูนย์กลาง
• วาดกราฟ $E$ สำหรับทรงกลมจากจุดเริ่มต้น. มีค่าเป็นศูนย์ภายในและเริ่มที่ $E_0$ บนพื้นผิว; $V$ มีค่าคงที่ภายใน, ไม่เป็นศูนย์
• เส้นสนามไม่มีลูกศร, ตัดกัน, หรือเว้นระยะไม่เท่ากันในสนามสม่ำเสมอ; เส้นไม่ตั้งฉากกับตัวนำ
• การทิ้งเครื่องหมายลบบนพลังงานศักย์ของประจุต่างชนิด, หรือการกำหนดทิศทางของ $E$ จากเครื่องหมายของ $V$ แทนที่จะมาจากเกรเดียนต์ของมัน
• ลืมอิเล็กตรอนตัวที่สองในอะตอมฮีเลียม, หรือวางมันที่ระยะ $r$ แทนที่จะเป็น $2r$.
• การใช้ $E = V/d$ สำหรับประจุจุด, หรือ $E = Q/4\pi\varepsilon_0 r^{2}$ ระหว่างแผ่น
• การให้น้ำหนักกับอิเล็กตรอน, หรือการใช้มวลของโปรตอนสำหรับอิเล็กตรอน; ในโจทย์เรื่องอิเล็กตรอนระหว่างแผ่น น้ำหนักมีค่าน้อยมากจนละเลยได้
• การทิ้งน้ำหนักในโจทย์ "หยดน้ำมันลอยนิ่งอยู่", หรือการกำหนดขั้วของแผ่นด้านบนผิด方向