Область применения и требования
На основе фреймворка Digital SAT. Эти задания на бумаге не являются адаптивными и не предсказывают скорректированный балл.
- Используйте площадь, объем и подобие
- Применяйте отношения прямоугольного треугольника и теорему Пифагора
- Используйте уравнения окружностей, дуги и угловые зависимости
Прerequisites: сумма углов треугольника; теорема Пифагора; единицы длины/площади/объема.
Объясните и выберите метод
Подобие сохраняет соответствующие углы и отношения длин. Площади масштабируются как k², объемы — как k³.
Для прямоугольного треугольника синус равен противолежащему к гипотенузе, косинус — прилежащему к гипотенузе, тангенс — противолежащему к прилежащему.
Окружность с центром (h,k) и радиусом r имеет уравнение (x−h)²+(y−k)²=r².
Полный оборот составляет 360° или 2π радиан. Длина дуги равна rθ только если θ выражен в радианах.
Коэффициент подобия $k$ изменяет каждую соответствующую длину. $A_2=k^2A_1$ и $V_2=k^3V_1$ для подобных фигур. Если $k=3/2$ и $A_1=24\,\mathrm{cm^2}$, то $A_2=(3/2)^2(24\,\mathrm{cm^2})=54\,\mathrm{cm^2}$. Изменение только одного измерения не оправдывает данные правила подобия.
*sin θ = противолежащий катет гипотенуза = 6/10
Пример решения. Прямоугольный треугольник имеет катеты 6 и 8. По теореме Пифагора c²=6²+8²=100, откуда c=10. Для угла, лежащего напротив стороны 6, sin θ=6/10=0.6. Подобный треугольник, увеличенный в коэффициенте 3, имеет площадь, в девять раз превышающую исходную.
Практический материал
Каждый тренировочный вопрос ниже содержит все необходимые данные.
Тренировка с рассуждениями
Данный обзор знакомит с навыками. Для каждого из них подготовлены раздаточный материал и лист для практики: 18 и 19. Изучайте их в указанном порядке.
Практика 1
Подобные контейнеры имеют площади поверхностей 96 и 216 квадратных сантиметров. Объём меньшего контейнера составляет 160 кубических сантиметров. Найдите объём большего контейнера.
Обоснование. $k=\sqrt{A_2/A_1}=\sqrt{216/96}=3/2$. Объём вычисляется через куб: $V_2=k^3V_1=(3/2)^3(160\,\mathrm{cm^3})=540\,\mathrm{cm^3}$. Прямое использование отношения площадей даст неверный объём.
Практика 2
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13 см, а один катет — 5 см. Найдите второй катет, площадь треугольника и синус угла, противолежащего катету 5 см.
Обоснование. $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(13\,\mathrm{cm})^2-(5\,\mathrm{cm})^2}=12\,\mathrm{cm}$. $A=ab/2=(5\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/2=30\,\mathrm{cm^2}$. $\sin\theta=a/c=(5\,\mathrm{cm})/(13\,\mathrm{cm})=5/13$.
Практика 3
Два внутренних угла треугольника равны 42° и 73°. Найдите третий угол и прилежащий к нему внешний угол. Позволят ли только эти углы определить все длины сторон?
Обоснование. Третий угол равен $180-42-73=65$ градусам. Прилежащий к нему внешний угол равен $180-65=115$ градусам, что также равно $42+73$. Углы определяют форму, но не масштаб; подобные треугольники могут иметь разные длины сторон.
Тренировка 4
Две параллельные прямые пересечены секущей. Один соответственный угол равен 68°. Найдите ему соответствующий угол и смежный угол на второй прямой. Объясните, какое из данных условий оправдывает каждый шаг.
Reasoning. Parallelism gives the matching corresponding angle 68°. The adjacent pair forms a straight angle, so the other is 180°−68°=112°. Equal corresponding angles require the stated parallel lines; the straight-angle sum uses adjacency on one line. A similar-looking sketch without parallelism would not justify the first equality.
Ограничения и дальнейшее применение
Радиус и диаметр отличаются в два раза. Использование диаметра вместо радиуса в формуле πr² приводит к тому, что площадь получается в четыре раза больше верной.
Это оригинальные практические задания, написанные специально для данного курса, а не официальные экзаменационные вопросы.