Область применения и требования
На основе фреймворка Digital SAT. Эти задания на бумаге не являются адаптивными и не предсказывают скорректированный балл.
- Преобразовывать эквивалентные многочлены и рациональные выражения
- Решать нелинейные уравнения и системы
- Интерпретировать квадратичные и показательные функции
Предварительные требования: распределительное свойство; разность квадратов; действительные квадратные корни.
Объясните и выберите метод
Разложите квадратный трехчлен на множители, если это возможно. Правило нулевого произведения применяется к произведению, равному нулю.
Выделение полного квадрата выявляет вершину: x²−6x+5=(x−3)²−4.
Для рациональных выражений фиксируйте значения, исключающие знаменатель, перед сокращением множителей.
Экспоненциальная модель умножается на фиксированный коэффициент за каждый интервал. Увеличение на 20% означает умножение на 1.2, а не прибавление 0.2.
Эквивалентные выражения должны совпадать на указанной области определения. $E(x)=(x^2-25)/(x-5)=(x+5)$ только для $x\ne5$. Сокращение устраняет множитель, но оно не может восстановить исключённое значение входного аргумента. Также $\sqrt{x^2}=|x|$, поскольку арифметический квадратный корень не может быть отрицательным.
Пример решения. Решите уравнение x²−5x+6=0. Разложите на множители: (x−2)(x−3)=0. Следовательно, x=2 или 3. Если же (x²−5x+6)/(x−2)=0, то значение x=2 исключено; остаётся только 3.
Практический материал
Каждый тренировочный вопрос ниже содержит все необходимые данные.
Тренировка с рассуждениями
Данный обзор знакомит с навыками. Для каждого из них подготовлены раздаточный материал и лист для практики: 10, 11 и 12. Изучайте их в указанном порядке.
Практика 1
Упростите $F(x)=(x^2-4x)/(x^2-16)$. Укажите все исходные ограничения и объясните, почему $F$ не идентично $x/(x+4)$ на всей области определения последней формулы.
Обоснование. Разложим числитель на множители $x(x-4)$, а знаменатель на множители $(x-4)(x+4)$. Исходная область допустимых значений исключает $x=4,-4$. Сокращение даёт выражение $F(x)=x/(x+4)$ при $x\ne4,-4$. Последняя формула допускает значение $4$, где она принимает вид $1/2$, в то время как для значения $F(4)$ функция не определена.
Практика 2
Найдите коэффициент при $x$ в выражении $(3x-2)(x+5)$ и вычислите значение $\sqrt{(x-5)^2}$ при $x=1$.
Обоснование. Раскрытие скобок даёт $3x^2+15x-2x-10=3x^2+13x-10$, поэтому коэффициент равен 13. Корень находится в точке $|x-5|$; при подстановке значения $x=1$ результат составляет $|-4|=4$, а не $-4$ или 16.
Практика 3
Ученик проверяет $x=2$ и делает вывод, что $x^2$ и $2x$ равносильны. Опровергните этот вывод и найдите область, где они действительно совпадают.
Обоснование. При значении аргумента $x=3$ функции принимают значения 9 и 6, поэтому одного проверочного теста недостаточно для доказательства. Решите уравнение $x^2=2x$ как $x(x-2)=0$, чтобы получить единственное решение $x=0,2$.
Ограничения и дальнейшее применение
Возведение в квадрат может добавить посторонние корни. Подставляйте значение в исходное уравнение, а не только в преобразованное.
Это оригинальные практические задания, написанные специально для данного курса, а не официальные экзаменационные вопросы.