Область применения и требования
На основе фреймворка Digital SAT. Эти задания на бумаге не являются адаптивными и не предсказывают скорректированный балл.
- Решать и классифицировать линейные уравнения с одной переменной и параметрами
- Интерпретировать линейные уравнения с двумя переменными как множества упорядоченных пар
- Интерпретировать наклон и пересечение линейной функции в контексте задачи
- Классифицировать системы из двух линейных уравнений и проверять точки их пересечения
- Представлять строгие и нестрогие неравенства с одной или двумя переменными
Предварительные требования: Приводить подобные слагаемые; подставлять упорядоченные пары; арифметику со знаками.
Объясните и выберите метод
Соберите члены с переменной и свободные члены отдельно. Уравнение ax+b=cx+d преобразуется в (a-c)x=d-b. Если a-c отличен от нуля, решение одно; если обе части обращаются в ноль, решений бесконечно много; если коэффициент при переменной равен нулю, а свободный член нет, решений нет. Никогда не делите на параметр до проверки, может ли он быть равен нулю.
Уравнение двух переменных задаёт множество упорядоченных пар. В уравнении y=mx+b величина m представляет собой изменение y на единицу x, а b — значение y при x=0. Для контекстной модели присоедините единицы измерения к обоим параметрам: тариф такси C=3t+5 включает стартовый сбор в размере 5 единиц и тариф 3 единиц за единицу времени. Пересечение осей может находиться за пределами практической области определения, даже если оно существует алгебраически.
Для системы сравните коэффициенты и свободные члены. Умножение одного уравнения целиком на ненулевое число даёт ту же прямую; совпадение коэффициентов при переменных при разных свободных членах означает параллельные различные прямые. В противном случае точка пересечения обеспечивает пару, удовлетворяющую обоим уравнениям. Подставьте найденную пару в оба исходных уравнения для проверки.
Умножение или деление неравенства на отрицательное число меняет знак неравенства. Строгое неравенство исключает границу, тогда как ≤ или ≥ включает её. Для двух переменных проведите соответствующую прямую и проверьте точку вне её, чтобы определить допустимую полуплоскость. Диаграмма представляет множество всех решений, а не одну предпочтительную точку.
Тождество выполняется для каждого допустимого входа. Начните с $ax+b=cx+d$. Сгруппируйте слагаемые: $(a-c)x=d-b$. Проверьте $a-c$ перед делением. Если выполняются условия $a=c$ и $b=d$, любое вещественное значение является решением. Если выполняется только условие $a=c$, решений нет. В противном случае $x=(d-b)/(a-c)$ дает одно решение.
*Рабочие шаги: (a-c)x = d-b → a-c = 0: проверьте d-b → a-c ≠ 0: выполните деление safely
Разбор примера. Для уравнения kx+6=2x+6, при k=2 получаем 0=0, что даёт бесконечно много решений; при k≠2 решение x=0. Для -2x+3<11, subtract 3 and divide by -2 to get x>-4. Для неравенства y≤2x+1, точка (0,0) является решением, и сплошная граница включена. Система 2x+4y=10 и x+2y=6 не имеет решений, так как удвоение второго уравнения даёт ту же левую часть, равную 12, а не 10.
Практический материал
Каждый тренировочный вопрос ниже содержит все необходимые данные.
Тренировка с рассуждениями
Практика 1
Классифицируйте решения $(p-1)x+3=2x+p$ для любого действительного значения $p$.
Обоснование. Приведите подобные слагаемые, чтобы получить $(p-3)x=p-3$. При $p=3$ уравнение принимает вид $0=0$, поэтому подходит любое действительное $x$. При $p\ne3$ разделите на $p-3$, чтобы получить $x=1$. Нет такого значения $p$, которое давало бы отсутствие решений. Подстановка $x=1$ дает $p+2$ в обеих частях.
Практика 2
Аренда стоит $C$ юаней и включает фиксированную плату $f$ юаней и тариф $r$ юаней в час. Три часа обходятся в 31 юаней; семь часов — в 59 юаней. Найдите $f,r$ и наибольшее целое количество часов, которое можно взять на сумму 80 юаней.
Обоснование. Используйте $C=f+rt$. Уравнения имеют вид $31=f+r(3\,\mathrm{h})$ и $59=f+r(7\,\mathrm{h})$. Вычитаем: $r=(59-31)\,\mathrm{yuan}/(7-3)\,\mathrm{h}=7\,\mathrm{yuan/h}$. Затем $f=31\,\mathrm{yuan}-(7\,\mathrm{yuan/h})(3\,\mathrm{h})=10\,\mathrm{yuan}$. Бюджет: $10+7t\le80$, значит, $t\le10$ часов. Десять полных часов доступны по цене; одиннадцать часов обойдутся в 87 юаней.
Практика 3
Опишите все точки, удовлетворяющие условиям $y>2x-1$ и $y\le-x+5$. Входит ли в множество точка $(2,3)$? Укажите возможные значения $x$.
Обоснование. Первая граница пунктирная, вторая сплошная. Общая область находится выше первой прямой и ниже или на второй. При значении $(2,3)$ первое условие принимает вид $3>3$, что неверно. Чтобы вертикальный интервал существовал, необходимо $2x-1<-x+5$, следовательно, $x<2$. Прямые пересекаются в точке $(2,3)$, но эта точка исключена.
Ограничения и дальнейшее применение
Не путайте x=0 с исчезнувшим коэффициентом переменной, меняйте знак неравенства только при умножении/делении на отрицательное число, и не закрашивайте полуплоскость, опираясь исключительно на угловой коэффициент прямой.
Это оригинальные практические задания, написанные специально для данного курса, а не официальные экзаменационные вопросы.