Область применения и требования
На основе фреймворка Digital SAT. Эти задания на бумаге не являются адаптивными и не предсказывают скорректированный балл.
- Решать линейные уравнения и неравенства с одной переменной
- Представлять и решать системы линейных уравнений с двумя переменными
- Интерпретировать линейные функции и параметры в контексте задачи
Предварительные требования: Приводить подобные слагаемые; подставлять упорядоченные пары; арифметику со знаками.
Объясните и выберите метод
Перед уравнением запишите определение переменной с указанием единиц измерения. Свободный член представляет начальное значение.
Линейный наклон равен изменению выходной величины, деленному на изменение входной величины. Сохраняйте правильный порядок величин.
Решайте системы методом подстановки или сложения. Решение должно удовлетворять обоим уравнениям.
Неравенство меняет знак при умножении или делении на отрицательное число. Проверьте итоговое решение, подставив тестовое значение.
Тождество выполняется для каждого допустимого входа. Начните с $ax+b=cx+d$. Сгруппируйте слагаемые: $(a-c)x=d-b$. Проверьте $a-c$ перед делением. Если выполняются условия $a=c$ и $b=d$, любое вещественное значение является решением. Если выполняется только условие $a=c$, решений нет. В противном случае $x=(d-b)/(a-c)$ дает одно решение.
Разбор примера. Пусть f — фиксированная плата, а r — стоимость за километр. f+3r=11 и f+7r=19. Вычтем уравнения: 4r=8, откуда r=2. Тогда f=11−3(2)=5. Оба маршрута подходят; фиксированная плата составляет 5.
Практический материал
Каждый тренировочный вопрос ниже содержит все необходимые данные.
Тренировка с рассуждениями
Этот обзор знакомит с навыками. Для каждого из них подготовлены отдельная раздаточная карточка и лист для практики: 9. Изучайте их в указанном порядке.
Практика 1
Классифицируйте решения $(p-1)x+3=2x+p$ для любого действительного значения $p$.
Обоснование. Приведите подобные слагаемые, чтобы получить $(p-3)x=p-3$. При $p=3$ уравнение принимает вид $0=0$, поэтому подходит любое действительное $x$. При $p\ne3$ разделите на $p-3$, чтобы получить $x=1$. Нет такого значения $p$, которое давало бы отсутствие решений. Подстановка $x=1$ дает $p+2$ в обеих частях.
Практика 2
Аренда стоит $C$ юаней и включает фиксированную плату $f$ юаней и тариф $r$ юаней в час. Три часа обходятся в 31 юаней; семь часов — в 59 юаней. Найдите $f,r$ и наибольшее целое количество часов, которое можно взять на сумму 80 юаней.
Обоснование. Используйте $C=f+rt$. Уравнения имеют вид $31=f+r(3\,\mathrm{h})$ и $59=f+r(7\,\mathrm{h})$. Вычитаем: $r=(59-31)\,\mathrm{yuan}/(7-3)\,\mathrm{h}=7\,\mathrm{yuan/h}$. Затем $f=31\,\mathrm{yuan}-(7\,\mathrm{yuan/h})(3\,\mathrm{h})=10\,\mathrm{yuan}$. Бюджет: $10+7t\le80$, значит, $t\le10$ часов. Десять полных часов доступны по цене; одиннадцать часов обойдутся в 87 юаней.
Практика 3
Опишите все точки, удовлетворяющие условиям $y>2x-1$ и $y\le-x+5$. Входит ли в множество точка $(2,3)$? Укажите возможные значения $x$.
Обоснование. Первая граница пунктирная, вторая сплошная. Общая область находится выше первой прямой и ниже или на второй. При значении $(2,3)$ первое условие принимает вид $3>3$, что неверно. Чтобы вертикальный интервал существовал, необходимо $2x-1<-x+5$, следовательно, $x<2$. Прямые пересекаются в точке $(2,3)$, но эта точка исключена.
Ограничения и дальнейшее применение
Пересечение (intercept) не всегда является фактическим начальным значением, если ноль находится за пределами заявленной области определения модели.
Это оригинальные практические задания, написанные специально для данного курса, а не официальные экзаменационные вопросы.