Область применения и требования
На основе фреймворка Digital SAT. Эти задания на бумаге не являются адаптивными и не предсказывают скорректированный балл.
- Раскладывать на множители и раскрывать скобки без изменения значений выражений
- Упрощать рациональные и иррациональные выражения на исходной области определения
- Используйте структуру выражения для определения нулей и коэффициентов
Предварительные требования: распределительное свойство; разность квадратов; действительные квадратные корни.
Объясните и выберите метод
Раскрытие скобок распределяет каждый множитель по остальным; разложение на множители обратит этот процесс. x²-5x+6=(x-2)(x-3), поэтому произведение раскрывает нули, а раскрытая форма — коэффициенты. Выберите форму, подходящую для вопроса, не считая одно представление всегда более предпочтительным.
Сокращайте множители, а не слагаемые в сумме. (x²-4)/(x-2) превращается в x+2 только при x≠2, так как исходное выражение не определено при 2. Ограничение может сохраниться после исчезновения всех знаменателей из упрощённой формулы. Укажите его до сокращения, затем учитывайте при сравнениях или решении уравнений.
Правила степеней зависят от контекста: a^m a^n=a^(m+n) и (a^m)^n=a^(mn) в допустимой области действительных чисел. Отрицательные степени образуют обратные величины и требуют ненулевых оснований. С вещественными квадратными корнями √(x²)=|x|, потому что арифметический квадратный корень неотрицателен; это не x для каждого действительного числа.
Для проверки эквивалентности числовая подстановка может выявить ошибку, но совпадение одного значения не доказывает равенство двух выражений. Действительная алгебраическая тождество плюс совпадающая область определения достаточно. Когда требуется найти коэффициент, раскрывайте скобки лишь настолько, насколько необходимо, и учитывайте все вклады в эту степень.
Эквивалентные выражения должны совпадать на указанной области определения. $E(x)=(x^2-25)/(x-5)=(x+5)$ только для $x\ne5$. Сокращение устраняет множитель, но оно не может восстановить исключённое значение входного аргумента. Также $\sqrt{x^2}=|x|$, поскольку арифметический квадратный корень не может быть отрицательным.
Разбор примера. (x²-9)/(x-3)=(x-3)(x+3)/(x-3)=x+3 при x≠3. При x=3 исходное выражение не определено. Для x=-5, √(x²)=5=|x|. В произведении (2x+1)(x-4) коэффициент при x равен -8+1=-7, а полное выражение выглядит так: 2x²-7x-4.
Практический материал
Каждый тренировочный вопрос ниже содержит все необходимые данные.
Тренировка с рассуждениями
Практика 1
Упростите $F(x)=(x^2-4x)/(x^2-16)$. Укажите все исходные ограничения и объясните, почему $F$ не идентично $x/(x+4)$ на всей области определения последней формулы.
Обоснование. Разложим числитель на множители $x(x-4)$, а знаменатель на множители $(x-4)(x+4)$. Исходная область допустимых значений исключает $x=4,-4$. Сокращение даёт выражение $F(x)=x/(x+4)$ при $x\ne4,-4$. Последняя формула допускает значение $4$, где она принимает вид $1/2$, в то время как для значения $F(4)$ функция не определена.
Практика 2
Найдите коэффициент при $x$ в выражении $(3x-2)(x+5)$ и вычислите значение $\sqrt{(x-5)^2}$ при $x=1$.
Обоснование. Раскрытие скобок даёт $3x^2+15x-2x-10=3x^2+13x-10$, поэтому коэффициент равен 13. Корень находится в точке $|x-5|$; при подстановке значения $x=1$ результат составляет $|-4|=4$, а не $-4$ или 16.
Практика 3
Ученик проверяет $x=2$ и делает вывод, что $x^2$ и $2x$ равносильны. Опровергните этот вывод и найдите область, где они действительно совпадают.
Обоснование. При значении аргумента $x=3$ функции принимают значения 9 и 6, поэтому одного проверочного теста недостаточно для доказательства. Решите уравнение $x^2=2x$ как $x(x-2)=0$, чтобы получить единственное решение $x=0,2$.
Ограничения и дальнейшее применение
Упрощённая формула не всегда представляет собой эквивалентную функцию на большем множестве допустимых значений; сокращение слагаемых через знак «плюс» недопустимо.
Это оригинальные практические задания, написанные специально для данного курса, а не официальные экзаменационные вопросы.