Эквивалентные выражения и ограничения области определения
Введено| English | Значение |
|---|---|
| factor/ˈfæktə/ | множитель |
| domain restriction/dəˈmeɪn rɪˈstrɪkʃn/ | ограничение области определения |
Решение перед ответом
- Сокращение x-2 из рационального выражения упрощает его формулу, но не позволяет знаменателю исходного выражения быть равным нулю.
- Ваша цель: разлагать на множители и раскрывать скобки, не изменяя значений выражений.
Прочитайте соотношение
- Раскрытие скобок распределяет каждый множитель по остальным; разложение на множители обратен этому процессу. x²-5x+6=(x-2)(x-3), поэтому произведение показывает корни, а раскрытая форма — коэффициенты. Выбирайте форму, подходящую для задачи, а не считайте одно представление всегда предпочтительнее другого.
- Упрощайте рациональные и иррациональные выражения в их исходной области определения.
Simplify (x²-16)/(x-4), with x≠4.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Difference of squares gives (x-4)(x+4).
Используйте определяющее правило
- Сокращайте множители, никогда — слагаемые в сумме. (x²-4)/(x-2) становится x+2 только при x≠2, так как исходное выражение не определено при 2. Ограничение может сохраниться даже после того, как все знаменатели исчезают из упрощённой формулы. Укажите ограничение перед сокращением и учитывайте его при сравнении или решении уравнений.
- Используйте структуру выражения для определения корней и коэффициентов.
For x=-6, √(x²) equals:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The principal root is |x|.
Проверьте условия
- Правила степеней зависят от контекста: a^m a^n=a^(m+n) и (a^m)^n=a^(mn) в допустимой области действительных чисел. Отрицательные степени образуют обратные величины и требуют ненулевых оснований. При работе с квадратными корнями √(x²)=|x|, поскольку главный квадратный корень неотрицателен; это не равно x для каждого действительного x.
- Используйте структуру выражения для определения корней и коэффициентов.
(x²-9)/(x-3)=(x-3)(x+3)/(x-3)=x+3 для x≠3. При x=3 исходное выражение не определено. При x=-5, √(x²)=5=|x|. В (2x+1)(x-4) коэффициент при x равен -8+1=-7, а полное выражение имеет вид 2x²-7x-4.
In (x+2)(x+5), the x coefficient is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The two x terms contribute 5x+2x.
Применяйте формат задания
- Для проверки эквивалентности числовая подстановка может выявить ошибку, но совпадение одного значения не доказывает равенство двух выражений. Верное алгебраическое тождество плюс совпадающая область определения доказывают это. Когда требуется найти коэффициент, раскрывайте скобки лишь настолько, насколько необходимо, и учитывайте все вклады в эту степень.
- Используйте структуру выражения для определения корней и коэффициентов.
Упрощённая формула не всегда представляет собой эквивалентную функцию на большем множестве допустимых значений; сокращение слагаемых через знак «плюс» недопустимо.
Какой ответ подходит к данному случаю?
Раскладывать на множители и раскрывать скобки в выражениях без изменения их значений
Matching at x=1 proves two expressions equivalent for all x.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Different expressions can share one value.
Сохраняйте различия
- множитель — выражение, умножаемое на другое для получения произведения.
- ограничение области определения — условие, исключающее значения, при которых исходное выражение не определено.
- Разкладывайте на множители и раскрывайте скобки, не изменяя значений выражений.
- Упрощайте рациональные и иррациональные выражения в их исходной области определения.
- Используйте структуру выражения для определения корней и коэффициентов.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.