Область применения и требования
На основе фреймворка Digital SAT. Эти задания на бумаге не являются адаптивными и не предсказывают скорректированный балл.
- Отклоните корни-кандидаты, нарушающие исходное уравнение или область определения
- Найдите пересечения прямой и нелинейной кривой
- Найти точки пересечения прямой и нелинейной кривой
Необходимые знания: Разложение на множители; подстановка; ограничения области определения.
Объясните и выберите метод
Используйте структуру выражения до раскрытия скобок. Разложенный квадратный трехчлен равен нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Уравнение с модулем |u|=a не имеет действительных решений для a<0, one condition u=0 when a=0 and two conditions u=±a when a>0. Учитывайте все допустимые случаи, а не только положительную ветвь.
Чтобы решить систему прямой и параболы, подставьте выражение прямой в квадратное уравнение. Действительные корни дают значения x; используйте прямую для восстановления каждого y. Отсутствие действительных корней означает отсутствие действительных точек пересечения. Повторный корень квадратного уравнения даёт касание, а два различных действительных корня — два пересечения.
График или калькулятор могут помочь найти кандидатов и проверить масштаб, но округлённые точки пересечения не являются точным доказательством, если вопрос требует точного значения или количества решений. Связывайте графическое поведение с алгебраическим уравнением. Двойной корень не следует считать дважды как две различные упорядоченные пары.
График или калькулятор могут помочь найти кандидаты и проверить масштаб, но округлённые точки пересечения не являются точным доказательством, если требуется найти точное значение или количество решений. Сопоставьте графическое поведение с алгебраическим уравнением. Двойной корень не следует считать дважды как две различные упорядоченные пары.
Кандидат в корни должен удовлетворять исходному уравнению. В $\sqrt{x+6}=x$ правая часть должна быть неотрицательной. Возведение в квадрат даёт $x^2-x-6=0$, поэтому кандидаты — $3,-2$. Только $3$ проходит проверку исходного уравнения: $\sqrt9=3$.
*Прямая может пересечь параболу в двух точках; обе упорядоченные пары удовлетворяют обоим соотношениям
Разбор примера. Уравнение √(x+2)=x требует выполнения условия x≥0. Возведение в квадрат даёт x²-x-2=0, откуда x=2 или -1; в исходном уравнении подходит только 2. Для систем y=x+2 и y=x² решаем x²-x-2=0: получаем x=2, -1, что даёт точки (2,4) и (-1,1). Для уравнения |2x-1|=5 решаем 2x-1=5 или -5, получая x=3 или -2.
Практический материал
Каждый тренировочный вопрос ниже содержит все необходимые данные.
Тренировка с рассуждениями
Практика 1
Решите $\sqrt{2x+3}=x$ в множестве действительных чисел, объяснив, почему каждый кандидат отклоняется.
Обоснование. Требуется выполнение условия $x\ge0$. Возведение в квадрат даёт $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0$. Кандидатами являются 3 и -1. Исходное уравнение принимает значение $\sqrt9=3$ при x=3, но значение $\sqrt1=1\ne-1$ при x=-1. Подходит только $x=3$.
Практика 2
Решите одновременно $y=x+2$ и $y=(x-1)^2$. Дайте точные упорядоченные пары и проверьте количество точек пересечения.
Обоснование. Приравняйте значения, чтобы получить $x+2=x^2-2x+1$ или $x^2-3x-1=0$. Таким образом, $x=(3\pm\sqrt{13})/2$ и $y=(7\pm\sqrt{13})/2$ имеют одинаковые знаки. Дискриминант 13 положителен, поэтому существуют две различные действительные точки пересечения; оба выражения для $y$ согласуются с выведенным уравнением.
Практика 3
Решите $|3x+2|=7$ и $(x^2-9)/(x-3)=6$. Объясните, почему эти уравнения имеют разное количество решений.
Обоснование. Модуль дает $3x+2=7$ или $-7$, следовательно, $x=5/3$ или $-3$. Рациональное уравнение требует выполнения условия $x\ne3$ и упрощается до $x+3=6$, единственной потенциальной точкой которого является 3, но она не подходит. Решений нет.
Ограничения и дальнейшее применение
Не сообщайте каждый корень преобразованного уравнения до проверки ограничений исходного уравнения и ветвей.
Это оригинальные практические задания, написанные специально для данного курса, а не официальные экзаменационные вопросы.