Область применения и требования
На основе фреймворка Digital SAT. Эти задания на бумаге не являются адаптивными и не предсказывают скорректированный балл.
- Интерпретировать нули, вершины и параметры из удобных форм функций
- Различать аддитивное линейное изменение и мультипликативное экспоненциальное изменение
- Преобразовывать график, отслеживая его входные и выходные значения
Необходимые знания: обозначения функций; квадраты; множители роста.
Объясните и выберите метод
Вершинная форма a(x-h)²+k определяет вершину (h,k) и направление ветвей; факторизованная форма определяет нули. Одна и та же функция может иметь обе формы. В контексте определите, какие характеристики являются значимыми: максимальная высота достигается в вершине параболы, направленной вниз, а нуль может соответствовать возвращению на уровень земли.
Для y=A b^t значение A соответствует t=0, а b — множителю за единицу времени. Скорость роста r дает b=1+r; скорость убывания дает b=1-r. Равные разности указывают на линейную модель, а равные отношения — на экспоненциальную модель при равных шагах аргумента. Ни одна из моделей не должна экстраполироваться за пределы обоснованной области без контекстного объяснения.
Сдвиг выхода f(x)+k перемещает каждую точку вертикально на k. Сдвиг входа f(x-h) сдвигает график вправо на h: то же старое значение входа достигается, когда новое значение x больше. Множитель снаружи масштабирует выход; отрицательный множитель снаружи отражает график относительно оси x. Определяйте преобразование алгебраически, а не запоминайте направление без проверки точки.
Для экспоненциального множителя, заданного за несколько временных единиц, различайте этот интервал с одной единицей. Удвоение каждые три часа означает 2^(t/3), а не 2^t. Для квадратичной функции используйте запрошенное представление, чтобы определить экстремум или решить относительно входного значения. Сохраняйте начальные значения, множители роста и проценты роста отдельно.
Вершинная форма $a(x-h)^2+k$ выявляет точку поворота $(h,k)$. Для $H(t)=-2(t-4)^2+32$ максимум равен 32, когда $t=4$. Приравнивание $H(t)=0$ дает $(t-4)^2=16$, следовательно, $t=0,8$. Ограничьте время физическим интервалом, когда задача представляет полет.
Разобранный пример. Функция h(t)=-4(t-3)²+36 имеет максимум 36 при t=3, с нулями t=0 и 6. Функция N(t)=80(1.25)^t начинается со значения 80 и растет на 25% за единицу; N(2)=125. Величина, удваивающаяся каждые три часа, описывается как 80·2^(t/3), поэтому через шесть часов она составляет 320. Если f(x)=x², то f(x-2)+5 имеет вершину (2,5).
Практический материал
Каждый тренировочный вопрос ниже содержит все необходимые данные.
Тренировка с рассуждениями
Практика 1
Модельная высота составляет $H(t)=-3(t-2)^2+12$ метров, а время от запуска до возвращения на землю равно $t$ секундам. Найдите область определения, наибольшую высоту и временной интервал, когда высота составляет не менее 9 метров.
Обоснование. «Земля» означает $H=0$, откуда следует $(t-2)^2=4$ и $t=0,4$. Область определения — $0\le t\le4\,\mathrm{s}$. Отрицательный коэффициент при квадрате дает максимум $H(2)=12\,\mathrm{m}$. Для условия $H\ge9\,\mathrm{m}$ получаем $(t-2)^2\le1$, следовательно, $1\le t\le3\,\mathrm{s}$.
Практика 2
Модель культуры начинается с 120 клеток и увеличивается в 1.5 раза каждые два часа. Запишите формулу $N(t)$ для времени $t$ часов, найдите значение $N(4)$ и различайте множитель роста и процентный рост.
Обоснование. $N(t)=120(1.5)^{t/2}$ клеток. $N(4)=120(1.5)^2=270$ клеток. Рост составляет 50% каждые два часа, а не 150%; четырехчасовой множитель равен 2.25. Часовой множитель составил бы $\sqrt{1.5}$.
Практика 3
Если дано $f(x)=(x+1)^2$, найдите вершину функции $g(x)=-2f(x-3)+5$ и ее максимум или минимум.
Обоснование. Подставьте входное значение перед интерпретацией знаков. Функция $g(x)=-2(x-2)^2+5$ имеет вершину $(2,5)$ и максимум 5. Старая вершина, находившаяся в точке $-1$, сместилась на три единицы вправо до точки 2.
Ограничения и дальнейшее применение
Множитель growth factor (1.25) означает рост на 25%, а не на 125%; сдвиг f(x-2) перемещает график вправо, а повторение процента применяется к обновлённой величине.
Это оригинальные практические задания, написанные специально для данного курса, а не официальные экзаменационные вопросы.