Нелинейные функции, преобразования и рост
Введено| English | Значение |
|---|---|
| vertex form/ˈvɜːteks fɔːm/ | вершинная форма |
| growth factor/ɡrəʊθ ˈfæktə/ | коэффициент роста |
Решение перед ответом
- Популяция, увеличивающаяся на двадцать процентов каждый час, добавляет разное количество единиц каждый час, поскольку база постоянно меняется.
- Ваша цель: Интерпретировать нули, вершины и параметры из удобных форм записи функции.
Прочитайте соотношение
- Вершинная форма a(x-h)²+k определяет вершину (h,k) и направление ветвей; разложенная форма определяет нули. Одна и та же функция может иметь обе формы. В контексте определите, какие характеристики имеют смысл: максимальная высота достигается в вершине параболы, направленной вниз, а нуль может означать возвращение на уровень земли.
- Различайте аддитивное линейное изменение и мультипликативное экспоненциальное изменение.
In 200(0.8)^t, the decay rate per unit is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
1-0.8=0.2.
Используйте определяющее правило
- Для y=A b^t значение A при t=0, а b — множитель за единицу времени. Коэффициент роста r дает b=1+r; коэффициент убывания дает b=1-r. Равные разности указывают на линейную модель, а равные отношения — на экспоненциальную модель для равных шагов входных данных. Ни одна из моделей не должна экстраполироваться за пределы обоснованной области без контекстной причины.
- Преобразуйте график, отслеживая его входные и выходные данные.
The vertex of (x+3)²-7 is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
x+3=x-(-3), so h=-3 and k=-7.
Проверьте условия
- Сдвиг выхода f(x)+k смещает каждую точку вертикально на k. Сдвиг входа f(x-h) смещает график вправо на h: тот же старый вход достигается, когда новое x больше. Множитель снаружи масштабирует выход; отрицательный множительOutside отражает график относительно оси x. Определяйте преобразование алгебраически, а не просто запоминайте направление без проверки точки.
- Преобразуйте график, отслеживая его входные и выходные данные.
h(t)=-4(t-3)²+36 имеет максимум 36 при t=3, с нулями t=0 и 6. N(t)=80(1.25)^t начинается со значения 80 и растёт на 25% за единицу; N(2)=125. Величина, удваивающаяся каждые три часа, равна 80·2^(t/3), поэтому через шесть часов она составит 320. Если f(x)=x², то f(x-2)+5 имеет вершину в точке (2,5).
100 grows by 10% twice. The result is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
100·1.1²=121.
Применяйте формат задания
- Для экспоненциального множителя, заданного за несколько временных единиц, отличайте этот интервал от одной единицы. Удвоение каждые три часа означает 2^(t/3), а не 2^t. Для квадратичной функции используйте запрошенное представление, чтобы прочитать экстремум или решить относительно входного значения. Сохраняйте начальные значения, множители роста и проценты роста отдельно.
- Преобразуйте график, отслеживая его входные и выходные данные.
Множитель growth factor (1.25) означает рост на 25%, а не на 125%; сдвиг f(x-2) перемещает график вправо, а повторение процента применяется к обновлённой величине.
Какой ответ подходит к данному случаю?
Интерпретировать нули, вершины и параметры по полезным формам функций
Equal additive differences prove exponential growth.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Constant differences indicate a linear relationship; equal ratios support exponential growth.
Сохраняйте различия
- growth factor — Множитель, применяемый за один указанный интервал.
- vertex form — Представление квадратичной функции a(x-h)²+k, выделяющее её вершину.
- Интерпретируйте нули, вершины и параметры из удобных форм функций.
- Различайте аддитивное линейное изменение и мультипликативное экспоненциальное изменение.
- Преобразуйте график, отслеживая его входные и выходные данные.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.