SN.2 · Bragg diffraction and electron-gas heat capacity

Вращение кристалла в рентгеновском пучке отображает его атомные плоскости, поскольку конструктивная интерференция происходит только под дискретными углами.

Предварительные требования: 8, 36.

• Применить условие Брэгга для нахождения межплоскостных расстояний или углов дифракции
• Оценить энергию Ферми и температуру Ферми для свободных электронов
• Различать вклады электронной и решёточной теплоёмкостей

Bragg reflection from parallel planes spaced d interferes constructively when 2d sinθ=nλ, with θ measured from the plane surface (the glancing angle), not from the normal. First order n=1 gives the smallest angle. For λ=0.154 nm and a peak at θ=20°, d=0.154/(2 sin20°)≈0.225 nm. If 2d<λ no order exists; the sine must stay at or below 1.

In a cubic crystal the (hkl) plane spacing is d=a/sqrt(h²+k²+l²) with lattice constant a; the (110) planes give a/√2. A measured Bragg angle therefore measures the lattice constant. Systematic absences from the basis (for example body-centred lattices missing h+k+l odd) carry structure information beyond the spacing formula.

The free-electron model packs N conduction electrons into states up to the Fermi wavevector k_F=(3π²n)^(1/3) for number density n, giving E_F=$\hbar$²k_F²/(2m). For n=8.5×10²⁸ /m³, k_F≈1.36×10¹⁰ /m, E_F≈7.05 eV and T_F=E_F/k_B≈8.2×10⁴ K. Since T_F far exceeds room temperature, only a fraction of order T/T_F of the electrons are thermally excited.

Metals therefore have two low-temperature heat-capacity terms: an electronic term γT linear in T and a lattice (Debye) term βT³. Plotting C/T against T² gives intercept γ and slope β. Near room temperature the lattice part nears the Dulong–Petit value and dominates; at low T the γT electronic term beats the collapsing βT³ lattice term.

Дифракция Брэгга использует угол θ относительно плоскости кристалла, а не его нормали.

Теплоемкость металлов при низких температурах состоит из отдельных электронных и решеточных вкладов: График зависимости C/T от T² имеет пересечение γ и наклон β. Прямая линия указывает на режим этой модели.

Измерение угла θ относительно нормали к плоскости, а не самой плоскости, или приписывание всей теплоемкости при низких температурах электронам. Условия синуса и двухчленное разложение являются местами, где эти вычисления могут дать неверные результаты.

Условие Брэгга: Конструктивное отражение от плоскостей решетки при 2d sinθ=nλ, где θ измеряется от плоскости.

Энергия Ферми: Максимальная энергия занятых электронов при нулевой температуре в модели свободного электрона.