AT.3 · Thermal spectra and one-electron scaling

Спектральный пик, полный поток излучения и энергия атомного перехода — это три различных наблюдаемых величины.

Предварительные требования: 7, 9, 34.

• Различать пик спектральной длины волны, интегрированное излучение и энергию фотона
• Вывести радиус Бора и масштабирование энергии при предположении об одном электроне
• Рассчитывать кулоновские переходы ионов, пределы серий и пороги ионизации

Для идеального теплового равновесного излучения спектральная радиантность Планка по длине волны B_λ=2hc²/{λ⁵[exp(hc/(λk_B T))−1]}. B_λ отнесена к интервалу длин волн и единичному телесному углу, а не к полной мощности. Спектральный поток черной поверхности в полупространстве M_λ=πB_λ; интегрирование по всем длинам волн дает σ_SB T⁴. Все температуры — абсолютные кельвины. Пик длины волны подчиняется закону λ_max T≈2.898×10⁻³ м·К. Спектр по частоте имеет другой пик, поскольку B_ν dν и B_λ dλ содержат якобиан; c/λ_max не является пиковой частотой B_ν. При увеличении T пик смещается в сторону меньших длин волн, а интегрированный поток возрастает пропорционально T⁴, а не только за счет соотношения положений пиков.

For an original uniform grey surface of area A and wavelength-independent emissivity ε, net radiative power to a large uniform environment is εσ_SB A(T⁴−T_env⁴) under the stated view-factor assumptions. Use σ_SB≈5.670×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴. Spectrally varying emissivity or incomplete surroundings requires a more detailed model. A photon at a specified wavelength has E=hc/λ, conveniently about 1240 eV·nm/λ_nm. A thermal spectrum contains many photon energies; a photon at the wavelength peak is not the mean energy of every photon. For T=3000 K, λ_max≈966 nm; its photon energy is about 1.284 eV. A surface with A=2×10⁻⁴ m² and ε=0.5 emits 459.27 W to a negligibly cold environment.

В исторической модели Бора для одноэлектронного атома с тяжелым ядром заряда Ze кулонова сила m_e v²/r=Ze²/(4πε₀r²) и момент импульса m_e vr=n$\hbar$ приводят к r_n=a₀n²/Z, v_n=Zαc/n и E_n≈−13.6Z²/n² эВ. Радиус масштабируется как n²/Z, а энергия связи — как Z²/n²; не используйте одну и ту же степень заряда в обоих случаях. Эти предположения о круговых орбитах являются исторической моделью масштабирования. Волновая механика для момента импульса дает √[l(l+1)]$\hbar$ при l=0,…,n−1, поэтому 1s-орбиталь имеет нулевой орбитальный момент импульса, а не значение n$\hbar$ по Бору. Поправки на приведенную массу заменяют m_e на μ: кулоновский радиус масштабируется как 1/μ, а энергия — как μ. Многоэлектронное экранирование, релятивистские поправки для больших Z и тонкая структура выходят за рамки простой модели.

For an emission ni→nf with ni>nf, E_γ≈13.6Z²(1/nf²−1/ni²) eV. Convert this positive difference to λ≈1240/E_γ nm. Ionisation from n requires energy 13.6Z²/n² eV to reach the continuum zero. Absorption reverses the level ordering and needs the corresponding positive incoming photon energy. For a series ending at fixed nf, the largest bound-bound photon energy occurs as ni→∞, giving E_limit=13.6Z²/nf² and the shortest series wavelength. For one-electron helium Z=2, n=3→2 gives 7.5556 eV and λ≈164.12 nm. Its Bohr n=3 radius is 4.5a₀; this radius describes the historical orbit, not a universal radial mode for every l at n=3.

Закон Вина относится к пик densities плотности длин волн спектра черного тела.

Фотон с этой длиной волны имеет энергию Источник излучает распределение энергий фотонов. Его интегральный поверхностный поток составляет $\sigma T^4$, а пик плотности частот не получается простым делением c на этот пик длины волны.

Объявите плотность длины волны или частоты, используйте Кельвин для степеней четвертой степени и различайте переходы и ионизацию. Радиус Бора и момент импульса не являются радиусом и L каждой волновой орбитали.

спектральная радиантность: Интенсивность излучения на единицу проективной площади, телесного угла и указанного спектрального интервала.

предел серии: Предельная энергия или длина волны связанно-связанного фотона, когда начальный уровень приближается к континууму для фиксированного конечного уровня.