RA.2 · Simultaneity, length measurement and velocity transformation

GRE Subject Test · GRE Physics · Тема 42

42.1

Одновременность, измерение длины и преобразование скорости

Два наблюдателя могут по-разному определить, какое из двух событий произошло раньше, и оба могут быть правы.

Предварительные требования: 22.

Преобразовать разделения событий и отличить собственную длину от показаний одновременных концов
Применить релятивистское сложение скоростей и проверить инвариант четырехвектора
Определить знак интервала для упорядочивания событий и исключить причинную связь

English	Русский
spacetime interval/ˈspeɪstaɪm ˈɪntəvl/	пространственно-временной интервал
proper length/ˈprɒpə leŋθ/	собственная длина

42.2

Преобразование разделений

Используйте преобразование Лоренца с заданным движением системы: если система S′ движется со скоростью +v вдоль оси x относительно S, то x′=γ(x−vt) и t′=γ(t−vx/c²), где γ=1/sqrt(1−v²/c²). Применяйте его к разделениям событий Δx и Δt, а не только к отдельным координатам. Два события, одновременные в системе S (Δt=0), но происходящие в разных точках пространства, имеют Δt′=−γvΔx/c²: событие, расположенное дальше в направлении +x, происходит раньше в системе S′. Одновременность зависит от системы отсчета, а не является ошибкой учета.

42.3

Измерение длины в одной системе отсчета

Движущаяся длина стержня должна измеряться по положениям его концов в одно и то же время в лабораторной системе (Δt=0). Тогда Δx′=γΔx дает L=L0/γ, где L0 — собственная (собственная в системе покоя) длина. Измерение концов одновременно в системе стержня не дает лабораторной длины; эти два условия измерения отвечают на разные вопросы. Перед приведением любой длины укажите систему отсчета и условие измерения.

42.4

Классификация интервала

Интервал s²=c²Δt²−Δx² (преимущественно минус конвенция, объявлена один раз) инвариантен. s²>0 — временоподобный: существует система отсчета, в которой события совпадают по положению, и Δτ=s/c — собственное время между ними. s²<0 is spacelike: a frame exists with the events simultaneous, and sqrt(−s²) is the proper distance. s²=0 is lightlike. Timelike order is the same in every frame; spacelike order can swap, and no signal can join the events because |Δx/Δt|>c.

42.5

Сложение скоростей и проверка инвариантов

Коллинеарные скорости складываются как u=(u′+v)/(1+u′v/c²); знаменатель удерживает u<c для любых u′,v<c, а при u′=c получаем точно u=c. Энергия и импульс образуют четырёхвектор с инвариантом E²−p²c²=m²c⁴: вычислите его в удобной системе отсчёта. Проверьте каждый результат в нерелятивистском пределе, где правило сложения сводится к u=u′+v, а инвариант — к энергии покоя.

42.6

Разобранный метод

Два лабораторных события имеют Δx = 900 м и Δt = 2 микросекунд. Их пространственно-временной интервал является пространственным, так как cΔt = 600 м меньше Δx. Система отсчета, в которой они одновременны, удовлетворяет

$$\Delta t'=\gamma(\Delta t-v\Delta x/c^2)=0,\quad v=c^2\Delta t/\Delta x=2c/3.$$

Их разделение в этой системе составляет $\sqrt{\Delta x^2-c^2\Delta t^2}=670.8$ м. Ни одна система отсчета не может поместить эти пространственные события в одну точку.

Слева: скорость в лабораторной системе против скорости зонда для корабля со скоростью 0.5c, релятивистский и классический случаи. Справа: стержень длиной 2 м, измеренный как 1.6 м при скорости 0.6c — Сложение скоростей удерживает u ниже c (при 0.5c и 0.5c получается 0.8c); длина сокращается в 1/γ раз

42.7

Проверьте условия и терминологию

Цитирование L=L0/γ без условия одновременного измерения концов или сложение скоростей по формуле u=u′+v при релятивистских скоростях. Разница во времени одновременности является физической величиной, а не ошибкой.

интервал пространства-времени: инвариантная комбинация c²Δt²−Δx² при объявленной системе знаков, знак которой классифицирует разделение событий.

собственная длина: расстояние между концами объекта, измеренное в его системе отсчёта покоя; в любой другой системе отсчёта оба конца должны быть зарегистрированы одновременно по времени данной системы.