EM.5 · RC and RL transients, impedance and resonance

Напряжение на конденсаторе и ток через катушку индуктивности не могут измениться мгновенно под действием конечных обычных цепей управления, но их поведение в установившемся режиме различно.

Необходимые предпосылки: 14.

• Решить зарядку и разрядку конденсатора с заданными начальными условиями
• Решить отклик тока в RL-цепи и учесть запасённую энергию
• Использовать комплексное сопротивление, фазу и резонанс в синусоидальных цепях

Для резистора R последовательно с конденсатором C и источником постоянного тока V_s закон Кирхгофа для напряжений имеет вид R dq/dt+q/C=V_s. Обозначим V_C=q/C и τ=RC. После переключения на источник постоянной ЭДС напряжение на конденсаторе равно V_C(t)=V_s+(V_C(0)−V_s)exp(−t/τ). Если начально незаряженный конденсатор, то V_C=V_s(1−exp(−t/τ)), а ток заряда I=(V_s/R)exp(−t/τ). При отключении источника и подключении резистора к зажимам конденсатора V_C=V_C(0)exp(−t/τ). Напряжение на конденсаторе непрерывно при коммутации, если нет импульсного тока; ток через резистор может измениться мгновенно.

In a series RL circuit, Kirchhoff’s law gives L dI/dt+RI=V_s and τ=L/R. The current after a constant drive is I(t)=V_s/R+(I(0)−V_s/R)exp(−t/τ). Inductor current is continuous for a finite voltage; its voltage may change abruptly as switching changes dI/dt. At late times an ideal inductor in a DC circuit acts as a zero-voltage connection, while an ideal capacitor has zero DC current. Stored energies are LI²/2 and CV_C²/2. During decay into a resistor, the initially stored energy becomes resistor heat rather than disappearing when the source is disconnected.

Используйте объявленную конвенцию фазоров exp(iωt). Резистор имеет сопротивление R, индуктор — iωL, а конденсатор 1/(iωC) = −i/(ωC). Последовательная RLC-цепь имеет полное сопротивление Z = R + iX, где X = ωL − 1/(ωC). Разделив фазор напряжения источника на Z, получаем фазор тока. Его модуль равен V_rms/sqrt(R² + X²) при использовании действующих значений. Фаза полного сопротивления φ удовлетворяет условию tanφ = X/R; ток отстает от напряжения при X > 0 и опережает его при X < 0. Сложение скалярных величин R, ωL и 1/(ωC) приводит к потере векторной фазовой информации.

Series resonance occurs at ω₀=1/sqrt(LC) when X=0. Current is maximal for a fixed voltage in this ideal series model, and the voltage/current phase difference is zero. Mean real power is V_rms I_rms cosφ=I_rms²R; ideal L and C exchange energy but dissipate no average power. This differs from transient natural frequency: a damped series circuit can oscillate at sqrt(1/(LC)−(R/(2L))²) when underdamped. Large resistance removes such free oscillation but does not change the condition X=0 of the ideal driven series impedance. State whether a question asks for a step response, free decay or sinusoidal steady state.

RC-цепь переключается на фиксированное напряжение источника Vs. Закон сохранения заряда и закон Кирхгофа дают

For R = 2 kilohms, C = 1 millifarad, Vs = 12 V and initial voltage zero, Постоянная времени определяет оставшуюся разницу с установившимся состоянием.

В RC-цепи τ=RC, а в RL-цепи τ=L/R. Не путайте амплитуду тока с действующим (rms) током или резонанс вынужденного импеданса с частотой затухающих свободных колебаний.

постоянная времени: Масштаб экспоненциального отклика, RC для RC-цепи и L/R для RL-цепи.

импеданс: Комплексное отношение фазоров напряжения к току в синусоидальном установившемся режиме.