CM.4 · Constraints, variational equations and cyclic coordinates

Натяжение маятника изменяется в течение всего качания, однако его угловое уравнение можно вывести без решения относительно натяжения.

Предварительные требования: 1, 47.

• Выведите движение Эйлера–Лагранжа после наложения голономного ограничения
• Используйте циклическую координату для определения сохранения канонического импульса
• Линейризуйте устойчивое равновесие и проверьте полученную частоту

Ограничение устраняет одну независимую координату до составления кинетической энергии. Для маятника с фиксированной длиной выберите θ от вертикали вниз: x=l sinθ и y=−l cosθ. Дифференцирование обеих координат даёт v²=l²θdot², а не l² sin²θ θdot². Таким образом, T=ml²θdot²/2 и V=mgl(1−cosθ), где нулевой потенциал находится внизу. Фиксированная длина является голономным ограничением: это соотношение между координатами и, возможно, временем. Ограничение скорости качения требует отдельного анализа; не следует автоматически рассматривать каждое ограничение как подстановку координат.

Для идеальных ограничений и обычной консервативной системы уравнение стационарного действия имеет вид d/dt(∂L/∂qdot)−∂L/∂q=0, где L=T−V. Вариации обращаются в ноль на обоих временных концах. Для маятника ∂L/∂θdot=ml²θdot и ∂L/∂θ=−mgl sinθ, поэтому ml²θddot+mgl sinθ=0. Производная по импульсу действует на каждый зависящий от времени множитель: для меняющегося радиуса d(mr²θdot)/dt содержит 2mr rdot θdot. Вариационный метод не означает сохранение механической энергии в системе с зависимостью от времени.

Для плоского центрального движения L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r). Угол θ является циклическим, поскольку L не содержит явной зависимости от θ, хотя зависит от θdot. Его канонический импульс pθ=mr²θdot постоянен. Радиальное уравнение имеет вид m rddot=mrθdot²−dV/dr. Первый член является частью координатного ускорения, а не новой реальной outward силы в инерциальной системе отсчета. Сохранение pθ приводит к увеличению угловой скорости при уменьшении r; постоянная угловая скорость — это другая, управляемая извне ситуация.

Вблизи устойчивого равновесия q0 разложите V до второго порядка, используя постоянный локальный инерционный коэффициент M: V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2. Тогда частота малых колебаний равна sqrt(V″/M). Для маятника sinθ≈θ в радианах, поэтому ω=sqrt(g/l); это приближение требует малого угла отклонения. Отрицательное V″ даёт неустойчивость, а не осцилляции с мнимой измеримой частотой. Сначала проверьте полное нелинейное уравнение, затем укажите приближение и сравните размерности: V″/M должно иметь размерность обратного времени в квадрате.

Для маятника фиксированной длины l используйте угол θ от вертикали вниз: x = l sin θ, y = -l cos θ. Обе декартовы скорости дают $T=ml^2\dot\theta^2/2$ и $V=mgl(1-\cos\theta)$. Уравнение Эйлера–Лагранжа имеет вид

Разделите на $ml^2$ перед линеаризацией: Приближение использует радианы. Вариации на границах исчезают в выводе условия стационарного действия.

Циклическая координата отсутствует в самом L; ее скорость может быть присутствующей. Не отбрасывайте производную по времени от меняющегося множителя r².

гономное ограничение: Ограничение, записанное как соотношение между координатами и временем.

циклическая координата: Отсутствует в самой L, поэтому её канонический импульс сохраняется.