Ограничения, вариационные уравнения и циклические координаты
Введено| English | Значение |
|---|---|
| holonomic constraint/ˌhɒləˈnɒmɪk kənˈstreɪnt/ | голономное ограничение |
| cyclic coordinate/ˈsaɪklɪk kəʊˈɔːdɪnət/ | циклическая координата |
Решение перед ответом
- Натяжение маятника меняется в ходе качания, но его угловое уравнение можно вывести без решения для натяжения.
- Ваша цель: Вывести движение Эйлера–Лагранжа после наложения голономного ограничения.
Выберите независимые координаты
- Ограничение убирает одну независимую координату до того, как вы сформируете кинетическую энергию. Для маятника с фиксированной длиной выберите θ от вертикали вниз: x=l sinθ и y=−l cosθ. Дифференцирование обеих координат дает v²=l²θdot², а не l² sin²θ θdot².
- Таким образом, T=ml²θdot²/2 и V=mgl(1−cosθ), при этом нулевой потенциальной энергией считается положение внизу. Фиксированная длина является голономным ограничением: это соотношение между координатами и, возможно, временем. Ограничение на скорость качения требует отдельного анализа; не следует автоматически рассматривать каждое ограничение как замену координат.
For a pendulum angle θ measured from downward vertical, which kinetic energy uses both Cartesian velocity components?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Adding xdot² and ydot² gives l²θdot².
Выведите уравнение
- Для идеальных ограничений и обычного консервативного системы уравнение стационарного действия имеет вид d/dt(∂L/∂qdot)−∂L/∂q=0, где L=T−V. Вариации обращаются в ноль на двух временных границах. Для маятника ∂L/∂θdot=ml²θdot и ∂L/θ=−mgl sinθ, поэтому ml²θddot+mgl sinθ=0.
- Производная по времени от импульса действует на каждый зависящий от времени множитель: для изменяющегося радиуса производная d(mr²θdot)/dt содержит 2mr rdot θdot. Метод вариаций не означает сохранения механической энергии в системе с явно зависящей от времени зависимостью.
In L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r), which statement follows from the cyclic angle?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
∂L/∂θ=0 gives d(mr²θdot)/dt=0; radius and angular speed may change.
Найдите циклический импульс
- Для плоского центрального движения L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r). Угол θ является циклическим, поскольку L не зависит явно от θ, хотя L зависит от θdot. Канонический импульс pθ=mr²θdot постоянен. Радиальное уравнение: m rddot=mrθdot²−dV/dr.
- Первый член является частью координатного ускорения, а не новой реальной outward-силы в инерциальной системе отсчета. Сохранение pθ приводит к увеличению угловой скорости при уменьшении r; постоянная угловая скорость — это иной случай, требующий внешнего воздействия.
При l=2 м и g=10 м/с², θddot=−5 sinθ. При θ=0.10 рад точное ускорение равно −0.4992 рад/с², что близко к значению −0.500, полученному методом линейного приближения. Период малых колебаний составляет 2π/sqrt(5)=2.810 с. Для орбиты под действием центральной силы уменьшение r от 3 м до 1.5 м при сохранении pθ увеличивает угловую скорость θdot в 4 раз, а не в 2 раз.
For V=9q²/2 and local inertia M=1, small-oscillation angular frequency is ____ rad/s.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
V″=9 and sqrt(9/1)=3.
Линейное приближение с условиями
- Вблизи устойчивого равновесия q0 разложите V до второго порядка и используйте постоянный локальный инерционный масс M: V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2. Тогда частота малых смещений равна sqrt(V″/M). Для маятника sinθ≈θ в радианах, поэтому ω=sqrt(g/l); приближение требует малой амплитуды.
- Отрицательное значение V″ дает неустойчивость, а не колебания с мнимой измеримой частотой. Сначала проверьте полное нелинейное уравнение, затем укажите приближение и сравните размерности: V″/M должно иметь размерность обратной величины времени в квадрате.
Циклическая координата отсутствует в самом L; ее скорость может быть присутствующей. Не отбрасывайте производную по времени от меняющегося множителя r².
Какой ответ подходит к данному случаю?
Вывести уравнения движения Эйлера–Лагранжа после введения голономного ограничения
The small-angle pendulum approximation is unchanged if the angle is inserted numerically in degrees.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
sinθ≈θ requires radians; a degree value needs conversion.
Сохраняйте различия
- голономное ограничение — Ограничение, которое можно выразить как соотношение между координатами и, возможно, временем.
- циклическая координата — Координата, отсутствующая явно в лагранжиане, с сохраняющимся каноническим импульсом согласно уравнению Эйлера–Лагранжа.
- Выведите движение по уравнениям Эйлера–Лагранжа после введения голономного ограничения.
- Используйте циклическую координату для определения сохраняющегося канонического импульса.
- Линеаризуйте устойчивое равновесие и проверьте полученную частоту.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.