LM.1 · Counting statistics, uncertainty and dimensional models

Детектор с эффективностью 10 процентов не регистрирует ровно десять фотонов из каждых ста. Количество регистрации колеблется даже при стабильной эффективности.

Предварительные требования: 47.

• Использовать средние значения и флуктуации биномиального и пуассоновского распределений
• Распространять малые неопределённости с указанными предположениями о корреляции
• Решать размерные ограничения степеней и проверять размерность модели

Для N независимых падающих частиц, каждая из которых регистрируется с вероятностью p, случайная величина X имеет биномиальное распределение: среднее значение Np и дисперсия Np(1−p). Среднеквадратичное отклонение равно sqrt[Np(1−p)], а не самой дисперсии. При большом N и малом p приближение Пуассона даёт среднее λ=Np и дисперсию λ, следовательно, отклонение sqrt(λ). Для N=200 и p=0.05 точное среднее составляет 10, а отклонение sqrt(9.5)≈3.08; приближение Пуассона даёт sqrt(10)≈3.16. Ни одна из моделей не гарантирует фиксированного числа событий. Коррелированные детектирования или мёртвое время могут нарушить условие независимости.

Для гладкой измеряемой функции y(x1,…), линейно аппроксимировать изменения с помощью её частных производных. Независимые малые стандартные неопределённости суммируются в квадратуре: σ_y²≈Σ(∂y/∂xi)²σ_i². Коррелированные входные величины требуют ковариационных перекрёстных членов. Для y=x^a относительная стандартная неопределённость приблизительно равна |a|σ_x/|x|. Таким образом, кинетическая энергия K=½mv² при пренебрежимо малой неопределённости массы имеет относительную неопределённость вдвое большую, чем у скорости. При независимой неопределённости массы объединить (σ_m/m)²+(2σ_v/v)². Эти приближения требуют малых ошибок и подходящей локальной линейной модели.

Случайный разброс характеризует прецизионность; типичная калибровочная систематическая погрешность влияет на точность и не исчезает при усреднении повторных измерений. Для независимых повторных показаний стандартная неопределённость среднего убывает как 1/sqrt(n), но общая систематическая ошибка нет. Неопределённость физического разброса и неопределённость его оценённого среднего — это разные величины. Укажите, является ли приведённый процент стандартной неопределённостью, доверительным интервалом или границей наихудшего случая. Суммирование абсолютных вкладов представляет собой консервативную оценку, а не правило квадратуры независимых стандартных ошибок.

Размерный анализ уравнивает степени массы, длины и времени, а не числовые значения. Для выражения длины Планка G^a $\hbar$^b c^d размерности: [G]=L³/(MT²), [$\hbar$]=ML²/T и [c]=L/T. Условие получения длины дает −a+b=0, 3a+2b+d=1 и −2a−b−d=0. Отсюда a=b=1/2 и d=−3/2, следовательно длина равна sqrt(G$\hbar$/c³). Размерный анализ не может определить произвольный безразмерный коэффициент или доказать физическую достаточность выбранных констант. Отклоняйте формулу с неверными размерностями до подстановки чисел.

Для независимых малых стандартных неопределенностей в $K=mv^2/2$ сначала дифференцируйте.

При относительных неопределённостях 3% для массы и 2% для скорости, Граница наихудшего случая требовала бы суммы, а не этой квадратуры. Корреляции требуют ковариационных членов.

Не путайте среднее значение с гарантированным количеством, дисперсию со стандартным отклонением или случайную стандартную ошибку с систематической погрешностью калибровки. Размерная согласованность необходима, но недостаточна.

стандартная неопределённость: Неопределённость, выраженная через стандартное отклонение в рамках указанной модели измерений.

приближение Пуассона: Модель редких независимых событий с дисперсией, равной среднему значению.