RA.1 · Relativistic lifetime, energy and Doppler shift

Быстро движущаяся нестабильная частица может пройти в лабораторной системе отсчёта большее расстояние, чем предсказывает произведение её времени жизни в собственной системе отсчёта на скорость.

Предварительные требования: 6, 42.

• Связать собственное время жизни с лабораторным временем и расстоянием
• Использовать инвариантный энергия-импульс и релятивистскую кинетическую энергию
• Определить продольную скорость удаления из отношения длин волн

Для относительной скорости v определите β=v/c и γ=1/sqrt(1−β²). Собственное время измеряется вдоль мировой линии частицы часами, покоящимися относительно неё. Если среднее собственное время жизни равно τ0, то среднее лабораторное время жизни составляет γτ0, а средняя пройденная дистанция при постоянной скорости равна vγτ0. Распад носит статистический характер: среднее время жизни не гарантирует точное время распада для каждой отдельной частицы. При β=0.8, γ=5/3. Вычисляйте события пространства-времени последовательно в одной системе отсчёта; собственное время и координатное время — это разные величины.

Полная энергия равна E=γmc², импульс p=γmv, а инвариант E²−p²c²=m²c⁴. Когда E и pc выражены в одних единицах энергии, найдите mc²=sqrt(E²−(pc)²), а не E−pc. Требуется неотрицательный корень для положительной массы покоя. Для E=13 ГэВ и pc=12 ГэВ, энергия покоя составляет 5 ГэВ, а масса равна 5 ГэВ/c². Безмассовая частица имеет E=pc, но не обязательно нулевую энергию или импульс. Эти соотношения относятся к четырёхмерному импульсу изолированной частицы, а не к классическому mv при релятивистской скорости.

Работа по ускорению частицы из состояния покоя равна кинетической энергии K=E−mc²=(γ−1)mc². При β=0.6, γ=1.25 и K=0.25mc², тогда как классическая формула ½mv² даёт 0.18mc². Классическая кинетическая энергия является разложением при малых скоростях и становится неточной вблизи c. Конечная работа ускорения увеличивает γ, а не позволяет массивной частице достичь или превысить скорость света. Различайте полную энергию, энергию покоя и кинетическую энергию при интерпретации единиц ответа.

При чисто продольном относительном удалении в специальной теории относительности отношение длин волн r=λ_наблюдаемое/λ_излученное=sqrt((1+β)/(1−β)). Преобразование дает β=(r²−1)/(r²+1). Отношение r=2 дает β=3/5, а не c times r−1, полученное из приближения низких скоростей. Синее смещение соответствует r<1 и отрицательному параметру удаления в данной конвенции. Формула предполагает, что сдвиг полностью кинематический; космическое расширение или гравитационное красное смещение требуют иной модели. Укажите установленную модель вопроса перед интерпретацией спектрального отношения.

Полная энергия и импульс определяют инвариантную энергию покоя.

Для E = 17 ГэВ и pc = 15 ГэВ, Масса покоя составляет 8 ГэВ/c². Не вычитайте импульс непосредственно из энергии.

Не используйте собственное время жизни как время в лаборатории, не вычитайте pc из E для нахождения массы покоя и не применяйте классическое приближение Доплера для больших отношений длин волн.

собственное время: Время, записываемое часами, движущимися вместе с объектом вдоль его мировой линии.

энергия покоя: Энергия mc², связанная с массой покоя объекта.