WO.3 · Fourier symmetry and wave superposition

Волновая форма может содержать много гармоник, но вообще не иметь синусоидальных членов. Симметрия отражения подсказывает, какие коэффициенты обращаются в нуль еще до интегрирования.

Необходимая подготовка: 3, 47.

• Используйте ортогональность для определения коэффициентов Фурье
• Эксплуатируйте четность и нечетность, не отбрасывая постоянный член
• Связывайте амплитуды составляющих с интерференцией и физическими волновыми формами

For a sufficiently regular real 2π-periodic function, write f(x)=a0/2+Σ[a_n cos(nx)+b_n sin(nx)]. The coefficients are a_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)cos(nx)dx and b_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)sin(nx)dx, with a0 using n=0. Cosines and sines are orthogonal on a full period. The mean is a0/2, not a0; retain the constant term even when all nonzero-frequency coefficients of one family vanish.

If f is even about the chosen origin, f(x)sin(nx) is odd and its symmetric integral is zero, so all b_n vanish. If f is odd, its mean and all a_n vanish. Symmetry depends on the origin: shifting the same physical signal can mix sine and cosine coefficients while leaving its harmonic frequencies unchanged. A nonnegative triangular waveform symmetric about x=0 can therefore have cosine harmonics and a nonzero mean without any sine harmonics.

For the 2π-periodic extension of f(x)=|x| on [−π,π], the mean is π/2. Integrating x cos(nx) by parts on [0,π] gives a_n=2[(-1)^n−1]/(πn²), so even-n cosine coefficients are zero and odd-n coefficients are −4/(πn²). All sine coefficients are zero. The 1/n² decay reflects a continuous function with a slope discontinuity. A jump discontinuity often gives slower coefficient decay and partial-sum overshoot; do not infer the same convergence behaviour for every waveform.

Сумма Фурье складывает амплитуды с их фазами. Для равных когерентных монохроматических амплитуд A, встречающихся с разностью фаз φ, квадрат результирующей амплитуды равен 2A²(1+cosφ), поэтому интенсивность составляет 2I0(1+cosφ). При синфазном совпадении она равна 4I0, а при φ=π обращается в ноль. Непроизвольное усреднение устраняет перекрёстный член, давая 2I0. Гармоники с различными частотами могут формировать форму во времени; их мгновенная сумма не является суммой индивидуальных интенсивностей. Определите, относится ли вопрос к волновой форме, средней мощности по времени или когерентной интерференции.

Для действительной периодической функции используйте $f=a_0/2+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$. Чётная симметрия обнуляет все синусоидальные коэффициенты, так как подынтегральная функция нечётна. Для $f(x)=|x|$ на интервале $[-\pi,\pi]$,

Интегрирование по частям даёт второе выражение. Среднее значение равно $a_0/2=\pi/2$; остаются только нечётные косинусоидальные гармоники. Спай не оправдывает отбрасывание постоянного члена.

Чётная симметрия устраняет коэффициенты при синусах, но не свободный член или все косинусные гармоники. Проверьте начало координат для симметрии и когерентность полей перед суммированием интенсивностей.

ортогональность: Нулевой интеграл от произведения различных базисных функций на заданном интервале.

коэффициент Фурье: Вес синусоидального, косинусоидального или постоянного базисного компонента в периодическом разложении.