CM.3 · Coupled acceleration and relative motion

Груз, сброшенный с самолета, сохраняет горизонтальную скорость самолета. Относительно самолета его начальное движение поэтому может быть исключительно вертикальным вниз.

Prerequisites: 1, 11.

• Решать уравнения для связанных тел, используя одно ограничение на ускорение
• Преобразовывать скорости между инерциальными системами отсчета
• Проверять пределы сил и энергии для движения с ограничениями

For a mass m1 on a frictionless horizontal table connected over an ideal massless pulley to a hanging mass m2, choose table motion and downward hanging motion as positive. A taut inextensible string gives one acceleration magnitude. Write T=m1a and m2g−T=m2a. Adding eliminates the internal tension, so a=m2g/(m1+m2) and T=m1m2g/(m1+m2). Thus T<m2g when both masses are positive. Setting tension equal to hanging weight silently assumes zero acceleration.

Предположение о одинаковом натяжении требует идеальной невесомой нити и блока с пренебрежимо малым трением и инерцией. Блок с моментом инерции может иметь разное натяжение, при этом (T2−T1)R=Iα и a=Rα, если нить не проскальзывает. Изобразите каждое тело отдельно: сила, внутренняя для объединенной системы, остается внешней силой для выбранного тела. Ограничивающие силы могут сокращаться в уравнении системы, оставаясь необходимыми для движения отдельных тел.

For two inertial frames with constant relative velocity V, Galilean velocity transformation is v_relative=v_ground−V. A payload released by a level aircraft initially has the aircraft’s horizontal speed. With negligible air resistance, horizontal ground velocity remains constant and vertical velocity becomes −gt if upward is positive. Relative to that aircraft, horizontal velocity is zero and downward speed is gt. Position is a different question: vertical displacement is −½gt². Do not confuse ground speed with relative speed.

Проверьте предельные случаи после решения. При m1, стремящемся к нулю, ускорение идеальной связанной системы приближается к g, а натяжение — к нулю; при очень большом m1 ускорение стремится к нулю, а натяжение снизу приближается к m2g. Энергетический вывод дает m2gs = ½(m1+m2)v² для начала движения из состояния покоя и идеального блока, что согласуется с v²=2as. Это согласие подтверждает уравнения; однако оно не допускает сохранения энергии при наличии трения или другой неучтенной работы.

Масса стола m1 и подвешенная масса m2 имеют общее ускорение через натяхнутую идеальную нить. Выберите движение стола вправо и движение подвешенного груза вниз как положительные.

Идеальный невесомый блок приравнивает натяжение, а не натяжение и вес. Вычитайте компоненты скоростей кадров друг из друга перед вычислением модуля скорости.

ограничение: Условие, связывающее допустимые положения или движения соединенных тел.

относительная скорость: Скорость одного тела, измеренная в системе отсчёта другого движущегося тела.