CM.1 · Collisions, work and oscillator energy

Два тележки движутся навстречу друг другу. После того как они слипаются, их импульс может сохраняться, а кинетическая энергия уменьшается.

Предварительные требования: 1.

• Вычислить векторный импульс и потерю энергии при слипающихся столкновениях
• Сравнить пружины с постоянной силой и использовать условия работы и энергии
• Вывести периоды малых колебаний и энергию осциллятора

Выберите изолированную систему во время короткого столкновения. При пренебрежимо малом внешнем импульсе сохраняйте полный импульс независимо в каждом декартовом направлении. Если массы m1 и m2 слипаются, их общая скорость равна (m1 v1+m2 v2)/(m1+m2). Найдите модуль только после сложения векторов. Начальная кинетическая энергия — это сумма ½m|v|² для каждой тележки; конечная кинетическая энергия рассчитывается по общей массе и общей скорости. Их разность переходит во внутреннюю энергию или деформацию, а не является «потерянным» импульсом. Совершенно неупругое столкновение означает слипание, а не окончательную остановку.

Теорема о работе и энергии ΔK=∫F·dr использует результирующую силу вдоль перемещения. Для постоянной параллельной силы на пути s изменение кинетической энергии равно ΔK=Fs. Удвоение скорости увеличивает кинетическую энергию в четыре раза. Закон сохранения механической энергии — это отдельное утверждение, требующее отсутствия необучтённой неконсервативной работы. При смещении пружины x потенциальная энергия U=½kx². При той же приложенной силе F равновесное удлинение составляет F/k, а запасённая энергия равна F²/(2k): более жёсткая пружина растягивается меньше и накапливает меньше энергии. При том же удлинении она накапливает больше. Определите, какое условие остаётся постоянным.

Near a stable equilibrium x0, expand U≈U(x0)+½U″(x0)(x−x0)²; the effective stiffness is positive U″(x0). The motion obeys m xddot=−k_eff(x−x0), with ω=sqrt(k_eff/m) and period 2π/ω. A simple pendulum obeys θddot+(g/L)sinθ=0. For small angles sinθ≈θ, so T=2πsqrt(L/g). This approximation explains period–length scaling; a large amplitude requires a correction, and the mass cancels for an ideal pendulum.

Для незатухающего гармонического осциллятора полная энергия равна ½m v²+½kx²=½kA². В положении равновесия вся её энергия кинетическая; в точке поворота скорость равна нулю, и вся энергия является потенциальной. Угловая частота не совпадает с обычной частотой: ω=2πf. Если у того же осциллятора максимальная скорость в положении равновесия равна vmax, то амплитуда A=vmax/ω. Различайте момент измерения скорости и начальное смещение при отпускании, и используйте единицы СИ, если ответ требуется в миллиджоулях.

Две тележки слипаются при пренебрежимо малом внешнем импульсе. Сложите векторы импульсов, затем разделите на общую массу. Известно: m1 = 2 кг, v1 = (3,0) м/с; m2 = 1 кг, v2 = (0,3) м/с.

Не складывайте модули скоростей как импульсы и не сохраняйте кинетическую энергию при абсолютно неупругом ударе (сцеплении). Сравнения пружин с постоянной силой и с постоянным удлинением дают противоположные результаты.

внешний импульс: Временной интеграл результирующей силы, действующей извне по отношению к выбранной системе.

точка разворота: Экстремальное положение осциллятора, в котором его мгновенная скорость равна нулю.