AH · Hamiltonian mechanics and astrophysical scaling

GRE Subject Test · GRE Physics · Тема 9

9.1

Гамильтонова механика и астрофизическое масштабирование

Методы энергии связывают пружинный осциллятор и орбиту, но их координаты и физические допущения различаются.

Предварительные требования: 26, 41.

Составить простой гамильтониан
Использовать канонические уравнения
Применить гравитационное и радиативное масштабирование

English	Русский
canonical momentum/kəˈnɒnɪkl məʊˈmentəm/	канонический импульс
luminosity/ˌluːmɪˈnɒsɪti/	светимость

9.2

Выбрать систему и модель

Канонический импульс p=∂L/∂qdot. Преобразование Лежандра H=p qdot−L дает гамильтониан, когда скорости можно выразить через координаты и импульсы.

9.3

Использовать управляющее соотношение

Уравнения Гамильтона имеют вид qdot=∂H/∂p и pdot=−∂H/∂q. Для обычного осциллятора H=p²/(2m)+kq²/2, эти уравнения воспроизводят уравнение Ньютона.

9.4

Применить условия

Для круговой гравитационной орбиты v²=GM/r и период²=4π²r³/(GM). Предположения включают преобладание центральной массы и приближение круговой орбиты; для эллиптических орбит в закене Кеплера используется большая полуось. Для спутника массой m модуль момента импульса равен mrv=m sqrt(GMr), поэтому одинаковые спутники имеют L, пропорциональное sqrt(r). Отношение радиусов 9 дает отношение моментов импульса 3, тогда как отношение периодов равно 27. Это различие следует из одного и того же соотношения центростремительной силы; не используйте масштабирование периода для момента импульса.

9.5

Проверьте вывод

Светимость и полученный поток подчиняются соотношению F=L/(4πd²) для изотропного излучения. Светимость чёрного тела равна L=4πR²σT⁴; его спектральный максимум смещается обратно пропорционально температуре. Различайте собственную светимость и наблюдаемую яркость.

9.6

Разобранный метод

Для регулярного лагранжиана $L=m\dot q^2/2-kq^2/2$ канонический импульс равен

$$p=\partial L/\partial\dot q=m\dot q,\qquad \dot q=p/m.$$

Подставьте скорость в преобразование Лежандра:

$$H=p\dot q-L=p^2/(2m)+kq^2/2.$$

$$\dot q=\partial H/\partial p=p/m,\qquad\dot p=-\partial H/\partial q=-kq.$$

Объединение этих выражений даёт $\ddot q=-(k/m)q$. Обратное преобразование импульса к скорости необходимо; оно не может быть принято по умолчанию для каждого ограниченного или вырожденного лагранжиана.

Left: blackbody spectra at 3000 K and 6000 K on one scale, with peaks near 0.97 μm and 0.48 μm. Right: energy levels of a one-electron Z = 2 ion, with the 3 → 2 photon at 7.56 eV — Doubling the temperature halves the peak wavelength; for a Z = 2 ion every level is Z² = 4 times the hydrogen value

9.7

Проверьте условия и терминологию

Гамильтониан равен полной механической энергии только при соблюдении соответствующих условий системы; не следует делать этот вывод универсально исключительно на основании названия.

канонический импульс: Производная лагранжиана по обобщённой скорости.

светимость: Полная излучаемая мощность, отличная от потока на приемнике наблюдателя.