Q.L-algebra · Algebra: domains, systems, inequalities and functions

Оригинальная практика в классе по рассмотренным типам заданий с коротким тестом. Это не моделирует адаптивный тест и не предсказывает скоррелированный балл или оценку за письмо.

• Решать уравнения, сохраняя ограничения знаменателя и радикала
• Анализировать неравенства и одновременные условия, не теряя концевые точки
• Вычислять значения функций и переводить вербальные зависимости в алгебраическую форму

область определения: Условие, определяющее допустимые входные значения, на которых исходное выражение определено.

совместное решение: Значения, удовлетворяющие каждому соотношению системы одновременно.

Записывать ограничения перед преобразованием уравнения. Знаменатель не должен быть равен нулю; вещественный корень четной степени требует неотрицательного подкоренного выражения. Сокращение множителей сохраняет выражение только на его исходной области определения. Возведение в квадрат может дать ложные кандидаты, так как квадрат теряет информацию о знаке; необходимо проверить каждого кандидата в исходном (не возведенном в квадрат) соотношении.

Решение системы требует, чтобы одна и та же упорядоченная пара удовлетворяла всем соотношениям. Метод подстановки или сложения может выявить одно, ни одного или бесконечно много линейных решений. Для неравенства умножение или деление на отрицательное число меняет знак неравенства. Для факторизованного квадратного неравенства упорядочьте корни и проверьте знаки на интервалах, включая концевые точки только если допустимо равенство.

Функция ставит в соответствие одному входному значению один выход. При вычислении композиции сначала применяйте внутреннюю функцию, соблюдая ограничения области определения. Наклон (slope) читается как изменение выхода на единицу входа, а пересечение (intercept) — как выход при нулевом входе, но только если этот вход имеет смысл. Вербальная модель должна называть переменные и сохранять величины в совместимых единицах измерения.

Для задания сравнения количественных величин сохраните все допустимые значения. Переменная, для которой x²=4, может быть равна −2 или 2, если нет ограничений. Один контрпример может опровергнуть универсальную зависимость; несколько благоприятных подстановок не могут доказать её для каждого действительного числа. Алгебраическая структура может установить зависимость без исчерпывающей числовой проверки.

Для √(x+2)=x, x≥0. Возведение в квадрат дает x²−x−2=0, кандидаты 2 и −1. Только 2 удовлетворяет исходному уравнению. Для (x−1)(x−4)≤0, парабола ветвями вверх неположительна на 1≤x≤4, включая корни. В системе x+y=10, x−y=2, сложение дает 2x=12; x=6 и y=4. Для f(t)=2t+1 и g(x)=x², f(g(3))=2·9+1=19, применяя g сначала.

Преобразованное уравнение дает кандидатов, а не автоматические исходные решения. Отрицательные множители неравенств и строгие границы требуют явной проверки.

Решите $(x^2-4)/(x-2)=5$ на его исходной вещественной области определения. Решите $(x+1)(x-3)\le0$ и найдите $f(g(2))$ для $f(t)=t^2$, $g(x)=x-3$.

Модель и рассуждение

Рациональное уравнение исключает x=2. Для допустимых x оно сводится к x+2=5, откуда x=3, что корректно подставляется. Квадратное выражение неположительно между своими корнями, включая их: $-1\le x\le3$. Композиция применяется по правилу g: $g(2)=-1$ и $f(g(2))=1$. Сокращение множителя не восстанавливает исключенные входные значения.

Для действительного a классифицируйте систему $x+y=4$, $2x+ay=8$ как имеющую одно, ни одного или бесконечно много решений. Сравните со вторым уравнением $2x+ay=9$. Приведите решения во всех согласованных случаях.

Проверка после выполнения

Вычтите удвоенное первое уравнение. В первой системе при $(a-2)y=0$: для a, не равного двум, y=0, x=4, решение единственное. При a=2 оба уравнения представляют одно и то же соотношение, давая каждую пару $(4-t,t)$. Невозможной ситуации в этой первой системе нет. При правой части девять, $(a-2)y=1$. Для a, не равного двум, $y=1/(a-2)$ и $x=4-1/(a-2)$, единственное решение. Для a=2 это требует 0=1, поэтому решений нет. Нулевая строка коэффициентов означает противоречие только тогда, когда правая часть отлична от нуля.