AQA A-level Mathematics 7357, раздел R (Силы и законы Ньютона), версия 1.3 (первая аттестация 2018). Оригинальные учебные материалы.
Предварительные требования: векторы из раздела J и кинематика из раздела Q.
Это оригинальные методические примеры, а не официальные материалы AQA.
18.2
Силы и законы Ньютона
Вопрос
Пассажир лифта чувствует себя тяжелее, когда лифт набирает скорость вверх, и легче, когда он замедляется, хотя масса пассажира никогда не меняется. Что именно изменяется?
Перед тем как читать далее, назовите силы, действующие на пассажира, и укажите, какую силу на самом деле измеряет весы пола.
Метод
Сила — это толчок или тяга, изменяющие движение, измеряется в ньютонах. Первый закон Ньютона: при отсутствии равнодействующей силы скорость остаётся постоянной — покой или прямая линия с постоянной скоростью. Второй закон Ньютона: равнодействующая сила равна массе, умноженной на ускорение, F = ma, поэтому силы должны складываться как векторы ДО применения этого уравнения.
Третий закон Ньютона: пары сил равны по модулю и противоположны по направлению, но действуют на РАЗНЫЕ тела, поэтому они никогда не компенсируют друг друга на одной диаграмме свободного тела. На наклонной плоскости вес mg раскладывается на составляющую mg sin θ вдоль плоскости и mg cos θ, перпендикулярную ей; реакция опоры балансирует только перпендикулярную составляющую, а трение препятствует скольжению до предела μR.
сила: толчок или тяга, изменяющие движение, в ньютонах; равнодействующая сила: единственная векторная сумма всех сил, действующих на тело, равная ma; трение: контактная сила, противодействующая относительному скольжению, не превышающая μR.
На склоне: R = mg cos θ, а равнодействующая вдоль склона равна mg sin θ − F = ma
Проверка своей работы
Нарисуйте диаграмму свободных тел перед любой алгеброй: одна стрелка на каждую силу, касательная тела, ничего лишнего. Если стрелку нельзя назвать (вес, реакция, натяжение, трение, тяга), она там не нужна.
Весы показывают реакцию R, а не вес: при ускорении вверх R − mg = ma дает R = m(g + a) > mg — ощущение «тяжести» вызвано большей реакцией, что соответствует наблюдению.
Разобранный случай
Known: a 3 kg block sits on a 30° slope held by friction, g = 9.8 m/s². Along the plane: mg sin θ = F, so F = 3 × 9.8 × 0.5 = 14.7 N. Perpendicular: R = mg cos θ = 3 × 9.8 × (√3/2) ≈ 25.5 N. The block needs a friction coefficient of at least F/R = tan 30° ≈ 0.577 to stay put.
Пример:
A 60 kg passenger stands in a lift accelerating upwards at 1.2 m/s². Find the scale reading, using the same sequence: free-body diagram → R − mg = ma → substitute. (Answer: R = 60 × (9.8 + 1.2) = 660 N.)
Пределы и ловушки
Каждая запись F = ma должна указывать направление и быть согласованной со знаками на диаграмме; если равнодействующая направлена неверно, это меняет направление ускорения. Проверяйте величины: реакция меньше нуля означает, что тело покинуло поверхность — сломалась модель, а не арифметика.
Предупреждение:
Нормальная реакция всегда равна весу. Это утверждение ложно: на склоне R = mg cos θ < mg, а в ускоряющемся лифте R = m(g + a). Реакция равна весу только на горизонтальной поверхности без вертикального ускорения — предположение о повсеместном равенстве ошибочно для каждого склона и лифта.
Ключевые моменты:
Силы и законы Ньютона: сначала рисуйте диаграмму свободных тел; равнодействующая всех сил равна ma; пары реакций действуют на разные тела; на склоне раскладывайте вес на mg sin θ и mg cos θ, а реакция НЕ всегда равна весу.
Исследовать
Кинематика и законы Ньютона
Выберите положительное направление и постройте диаграмму сил
Сравните модель с разобраным примером и объясните одно изменение.
