Q · Kinematics

AQA A-level Mathematics 7357, раздел Q (Кинематика), версия 1.3 (первая проверка знаний 2018). Оригинальные методические материалы.

Предварительные требования: производные и площади на графиках из GCSE, а также величины и единицы раздела P.

Это оригинальные методические примеры, а не официальные материалы AQA.

Вопрос

• Два автомобиля проходят одинаковый путь 24 метров за одно и то же время 4 секунд, однако их графики зависимости скорости от времени выглядят совершенно по-разному: один — наклонная линия, другой — горизонтальная. Как оба пути могут составлять 24 м?
• Перед тем как читать далее, определите, что измеряют наклон (градиент) и площадь графика зависимости скорости от времени, и почему горизонтальный и наклонный графики могут ограничивать одну и ту же площадь.

Метод

• Кинематика описывает движение без изучения причин, его вызывающих. Перемещение s — это изменение положения в метрах; скорость v — скорость изменения перемещения; ускорение a — скорость изменения скорости, выражается в м/с².
• На графике зависимости скорости от времени наклон равен ускорению, а площадь под графиком — перемещению. При постоянном ускорении пять величин s, u, v, a, t связаны уравнениями суват, каждое из которых не содержит одной величины: v = u + at, s = ut + at²/2, s = (u + v)t/2, v² = u² + 2as, s = vt − at²/2.
• кинематика: описание движения через перемещение, скорость, ускорение и время без указания причин; перемещение: изменение положения в указанном направлении, в метрах; ускорение: скорость изменения скорости, в м/с².

Проверка своей работы

• Выбирайте уравнение суват по отсутствующей величине, а не по имеющимся данным: перечислите четыре величины, участвующие в задаче, найдите, какая из пяти отсутствует, и выберите уравнение, которое её не содержит.
• Вертикальное движение под действием силы тяжести описывается той же моделью при a = −g ≈ −9.8 м/с², если направление «вверх» считается положительным: мяч, брошенный вверх, сохраняет постоянное ускорение вниз как при подъёме, так и на вершине траектории, и при спуске.

Разобранный случай

• Дано: велосипедист начинает движение со скоростью u = 2 м/с и разгоняется с ускорением a = 2 м/с² в течение t = 4 с. Конечная скорость v = u + at = 2 + 2 × 4 = 10 м/с. Перемещение s = (u + v)t/2 = (2 + 10) × 4/2 = 24 м — это площадь трапеции под графиком, совпадающая с движением автомобиля по горизонтальному графику со скоростью 6 м/с в течение 4 с.

Пример:

Камень падает из состояния покоя и находится в свободном падении 3 с. Используя g = 9.8 м/с², найдите его скорость и пройденное расстояние, применяя ту же последовательность: дано → v = u + at → s = ut + at²/2. (Ответ: v = 0 + 9.8 × 3 = 29.4 м/с; s = 0 + 9.8 × 9/2 = 44.1 м.)

Пределы и ловушки

• Проверьте ответ по графику: численное значение перемещения должно совпадать с площадью, а знак ускорения должен соответствовать наклону. Отрицательное перемещение означает, что объект оказался позади начальной точки, а не то, что он «двигался назад во времени».

Предупреждение:

Уравнения suvat применимы к любому движению. Это утверждение неверно: они предполагают ПОСТОЯННОЕ ускорение. На изогнутом графике зависимости скорости от времени наклон и площадь всё ещё дают ускорение и перемещение, но v = u + at и его аналоги неприменимы; реальные падающие тела в итоге достигают terminal velocity (конечной скорости), когда ускорение равно нулю.

Ключевые моменты:

Кинематика: на графике зависимости скорости от времени наклон равен ускорению, а площадь — перемещению; для постоянного ускорения выбирайте уравнение suvat, которое не включает отсутствующую величину; вертикальное движение описывается той же моделью с a = −g.