J · Vectors

AQA A-level Mathematics 7357, раздел J (Векторы), версия 1.3 (первая оценка 2018). Оригинальные учебные материалы.

Предварительные требования: координатная геометрия из раздела C и теорема Пифагора.

Это оригинальные методические примеры, а не официальные материалы AQA.

Вопрос

• Дрон летит от A(1, 2) до B(5, 5), но программное обеспечение миссии требует также указать обратный путь. Какое единое выражение дает как начальный вектор перемещения, так и его точную противоположность?
• Перед тем как читать дальше, скажите, что нужно вектору перемещения помимо расстояния, и чем отличается обратный путь.

Метод

• Вектор имеет величину и направление. Радиус-векторы определяют положение точек относительно начала координат; перемещение из точки A в точку B равно AB = b − a, а BA = −AB меняет его направление на противоположное. Складывайте и вычитайте компоненты; умножение на скаляр сохраняет вектор параллельным исходному.
• Скалярное произведение a·b = a₁b₁ + a₂b₂ = |a||b| cos θ характеризует угол: перпендикулярные векторы имеют a·b = 0, а a·a = |a|². Величина находится по теореме Пифагора: |(4, 3)| = 5.
• вектор: величина с размером и направлением; перемещение: вектор от одной точки к другой, b − a; скалярное произведение: сумма произведений компонент, равная |a||b| cos θ.

Проверка своей работы

• Сохраняйте порядок вычитания: BA = −AB, поэтому замена концов меняет знак каждой компоненты. Утверждение о параллельности требует наличия скалярного множителя между векторами; одного наброска недостаточно для доказательства.
• Для коллинеарности трех точек необходимо показать, что два вектора перемещения параллельны И имеют общую точку; параллельные векторы в разных положениях ничего не доказывают о принадлежности одной прямой.

Разобранный случай

• Дано: a = (4, 1) и b = (1, 3). Скалярное произведение равно a·b = 4 × 1 + 1 × 3 = 7. Величины векторов |a| = √17 и |b| = √10, следовательно cos θ = 7/(√17 × √10) ≈ 0.537, откуда θ ≈ 57.5°. Так как a·b ≠ 0, векторы не перпендикулярны.

Пример:

При A(1, 2) и B(5, 5) найдите перемещение AB, его модуль и обратное перемещение, используя ту же последовательность. (Ответ: AB = (5, 5) − (1, 2) = (4, 3); |AB| = √(4² + 3²) = 5; BA = (−4, −3), тот же модуль в противоположном направлении.)

Пределы и ловушки

• Вектор отвечает на вопрос «насколько далеко И куда»; расстояние — это лишь скаляр. Скалярное произведение учитывает направление: оно максимально при совпадении направлений, равно нулю при перпендикулярности и отрицательно при противоположных направлениях.

Предупреждение:

AB и BA имеют одинаковые компоненты. Это утверждение ложно: BA = −AB обращает знак каждой компоненты — от B обратно к A это (−4, −3), а не (4, 3). Совпадают только их величины.

Ключевые моменты:

Векторы: перемещение = конец − начало, обратный путь обращает знак; компоненты складываются; скалярное кратное сохраняет параллельность; скалярное произведение определяет угол, при перпендикулярности a·b = 0.