A · Proof

AQA A-level Mathematics 7357, раздел A (Доказательства), версия 1.3 (первая проверка 2018). Оригинальные методические материалы.

Предварительные требования: алгебраические преобразования из GCSE.

Это оригинальные методические примеры, а не официальные материалы AQA.

Вопрос

• Формула n² + n + 41 дает простые числа для n = 0, 1, 2, вплоть до 39. Ученик делает вывод, что это всегда простое число. Как одно число может опровергнуть сорок подтверждений?
• Перед чтением скажите, какой вид доказательства мог бы подтвердить утверждение о КАЖДОМ случае, а какой — об ОДНОМ конкретном случае.

Метод

• Дедуктивное доказательство начинается с stated определений и следует логически: нечетные целые числа 2a+1 и 2b+1 в сумме дают 2(a+b+1), что является четным числом — доказано для каждой пары.
• Контрпример опровергает универсальное утверждение одним подходящим примером-исключением: при n = 41 значение равно 41 × 43 = 1763, что не является простым числом. Доказательство от противного предполагает отрицание и приводит к невозможности: если √2 = p/q в несократимой дроби, то p² = 2q² означает, что p четное, а запись p = 2r означает, что q также четное — противоречие несократимости, следовательно, √2 иррационален.
• дедукция: Доказательство утверждения путем логических шагов из принятых фактов; контрпример: Один подходящий случай, опровергающий универсальное утверждение; от противного: Предположение отрицания и вывод невозможности.

Проверка своей работы

• Проверка n = 0, 1, 2, …, 39 является сильным доказательством, но не полным доказательством: утверждение касается КАЖДОГО положительного целого числа. Доказательство должно охватить все случаи одновременно — с помощью общей алгебры, полного перебора конечного списка или метода от противного.
• Перед принятием доказательства проверьте его структуру: начинается ли оно из предпосылок, а не из заключения? Проводит ли противоречие атаку на stated предположение? Проверка примеров подтверждает вычисления, но не может заменить общий аргумент.

Разобранный случай

• Известно: контрпример кандидата n = 41. Подстановка: n² + n + 41 = 41² + 41 + 41 = 41(41 + 1 + 1) = 41 × 43 = 1763. Значение имеет множитель 41, поэтому оно не является простым — одного неудачного случая достаточно, чтобы опровергнуть универсальное утверждение (n = 40, дающее 1681 = 41², также не подходит).

Пример:

Проверьте, является ли сумма двух четных чисел всегда четной, используя дедукцию: представьте два числа как 2a и 2b и покажите структуру. (Ответ: 2a + 2b = 2(a + b), что является кратным 2, следовательно, четным для любой пары — примеры не нужны.)

Пределы и ловушки

• У каждого метода есть требуемая форма: дедукция требует общих переменных, полный перебор — поистине полного перечня случаев, а метод от противного — невозможности, вытекающей непосредственно из отрицания. Доказательство о целых числах не автоматически распространяется на действительные числа, а тождество, доказанное для всех значений, отличается от уравнения, верного только при конкретных решениях.

Предупреждение:

Проверка утверждения для первых ста целых чисел не доказывает его для каждого положительного целого числа. Это утверждение ложно: конечная выборка является свидетельством, но никогда не доказательством — n² + n + 41 выдерживает 40 проверок (n = 0 до 39) и дает сбой на 41-й (n = 40 дает 1681 = 41²), поэтому для установления универсального утверждения требуется общий аргумент или контрпример.

Ключевые моменты:

Доказательство: дедукция работает от определений с общими переменными; контрпример убивает утверждение «для всех значений» одним случаем; метод от противного предполагает отрицание и выводит невозможность. Примеры проверяют и опровергают — они никогда не доказывают универсальное утверждение.