Look at these numbers. A small battery says one point five volts. A car battery says twelve. A high-voltage transmission line carries four hundred thousand. A…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
9.1
Electric Potential Energy · Электрический потенциальная энергия
Syllabus · Программа
English
Learning Objective 9.1.A: Describe the electric potential energy of a system.
9.1.A.1 The electric potential energy of a system of two point charges equals the amount of work required for an external force to bring the point charges to their current positions from infinitely far away.
9.1.A.2 The general form for the electric potential energy between two charged objects is given by the equation
9.1.A.3 The total electric potential energy of a system can be determined by finding the sum of the electric potential energies of the individual interactions between each pair of charged objects in the system.
Русский
Цель обучения 9.1.A: Описать электростатический потенциал системы.
9.1.A.1 Электростатический потенциал системы двух точечных зарядов равен работе внешней силы, необходимой для перемещения этих точечных зарядов из бесконечно удаленного расстояния в их текущие положения.
9.1.A.2 Общий вид выражения для электростатического потенциала между двумя заряженными объектами задается уравнением
9.1.A.3 Полный электростатический потенциал системы может быть определен как сумма электростатических потенциалов отдельных взаимодействий между каждой парой заряженных объектов в системе.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
English
When you push two like charges together, you do work 功 against the electric force. That work is stored by the pair as electric potential energy 电势能:
$U_E$ is defined as the work an external force must do to bring the charges from infinitely far away to a distance $r$ apart. The signs carry the physics:
Like charges:$U_E>0$. An outside push was needed to bring them together. If released, they fly apart, and the stored energy becomes kinetic energy 动能.
Opposite charges:$U_E<0$. The pair is bound. You must supply $|U_E|$ of work to pull them apart to infinity.
The electric force is a conservative force 保守力: the work it does depends only on the start and end points, not the path, and equals $-\Delta U_E$.
For a system 系统 of several charges, add the potential energy of every distinct pair:
Worked example. Three $+2.0\ \mu\text{C}$ charges sit at the corners of an equilateral triangle with sides $0.30\ \text{m}$. Each pair stores $U=\dfrac{kq^2}{r}=\dfrac{(9.0\times10^{9})(2.0\times10^{-6})^2}{0.30}=0.12\ \text{J}$. There are three pairs, so $U_{\text{total}}=3\times0.12\ \text{J}=0.36\ \text{J}$. This is the work needed to assemble the triangle from infinity – and the kinetic energy the charges would share if all three were released.
Русский
Когда вы сближаете два одноименных заряда, вы совершаете работу против электрической силы. Эта работа накапливается парой в виде электрического потенциальной энергии:
$U_E$ определяется как работа внешней силы, которую необходимо совершить для перемещения зарядов из бесконечно удаленного места на расстояние $r$ друг от друга. Знаки имеют физический смысл:
Одноименные заряды:$U_E>0$. Для их сближения потребовалось внешнее давление. Если их отпустить, они разлетятся, и накопленная энергия превратится в кинетическую энергию.
Разноименные заряды:$U_E<0$. Пара связана. Вы должны совершить работу $|U_E|$, чтобы разъединить их на бесконечность.
Электрическая сила является консервативной силой: совершаемая ею работа зависит только от начальной и конечной точек, а не от траектории, и равна $-\Delta U_E$.
Для системы нескольких зарядов сложите потенциальную энергию каждой отдельной пары:
Разобранное решение. Три заряда $+2.0\ \mu\text{C}$ расположены в вершинах равностороннего треугольника со сторонами $0.30\ \text{m}$. Каждая пара хранит энергию $U=\dfrac{kq^2}{r}=\dfrac{(9.0\times10^{9})(2.0\times10^{-6})^2}{0.30}=0.12\ \text{J}$. Таких пар три, поэтому $U_{\text{total}}=3\times0.12\ \text{J}=0.36\ \text{J}$. Это работа, необходимая для сборки треугольника из бесконечности — и кинетическая энергия, которую заряды получили бы, если бы все три были отпущены.
9.2
Electric Potential · Электрический потенциал
Syllabus · Программа
English
Learning Objective 9.2.A: Describe the electric potential due to a configuration of charged objects.
9.2.A.1 Electric potential describes the electric potential energy per unit charge at a point in space.
9.2.A.2 Expressions for the electric potential of charge distributions can be found using integration and the principle of superposition.
9.2.A.2.i The electric potential for single point charge is
Equation:$V = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$.
9.2.A.2.ii The electric potential due to multiple point charges can be determined by the principle of scalar superposition of the electric potential due to each of the point charges.
9.2.A.3 The electric potential difference between two points is the change in electric potential energy per unit charge when a test charge is moved between the two points.
Equation:$\Delta V = \dfrac{\Delta U_E}{q}$
9.2.A.4 Electric potential difference may also result from chemical processes that cause positive and negative charges to separate, such as in a battery.
Boundary statement: AP Physics C: Electricity & Magnetism only expects students to use calculus to find the electric potential resulting from the following charge distributions and locations: an infinitely long, uniformly charged wire or cylinder at a distance from its central axis, a thin ring of charge at a location along the axis of the ring, a semicircular arc or part of a semicircular arc at its center, and a finite wire or line charge at a point collinear with the line charge or at a location along its perpendicular bisector.
Learning Objective 9.2.B: Describe the relationship between electric potential and electric field.
9.2.B.1 The value of an electric field component in any direction at a given location is equal to the negative of the spatial rate of change in electric potential at that location.
Equation:$E_x = -\dfrac{dV}{dx}$
9.2.B.2 The change in electric potential between two points can be determined by integrating the dot product of the electric field and the displacement along the path connecting the points.
Equation:$\Delta V = V_b - V_a = -\displaystyle\int_a^b \vec{E}\cdot d\vec{r}$
9.2.B.3 Electric field vector maps and equipotential lines are tools to describe the field produced by a charge or configuration of charges and can be used to predict the motion of charged objects in the field.
9.2.B.3.i Equipotential lines represent lines of equal electric potential. These lines are also referred to as isolines of electric potential.
9.2.B.3.ii Isolines are perpendicular to electric field vectors. An isoline map of electric potential can be constructed from an electric field vector map, and an electric field map may be constructed from an isoline map.
9.2.B.3.iii An electric field vector points in the direction of decreasing potential.
9.2.B.3.iv There is no component of an electric field along an isoline.
Русский
Цель обучения 9.2.A: Описать электрический потенциал, создаваемый конфигурацией заряженных объектов.
9.2.A.1 Электрический потенциал характеризует энергию электрического поля на единицу заряда в данной точке пространства.
9.2.A.2 Выражения для электрического потенциала распределений зарядов могут быть получены с помощью интегрирования и принципа суперпозиции.
9.2.A.2.i Электрический потенциал для одиночного точечного заряда равен
Уравнение:$V = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$.
9.2.A.2.ii Электрический потенциал, создаваемый несколькими точечными зарядами, определяется по принципу скалярной суперпозиции потенциалов каждого из точечных зарядов.
9.2.A.3 Разность электрических потенциалов между двумя точками равна изменению электрической потенциальной энергии на единицу заряда при перемещении проб Charge между этими точками.
Уравнение:$\Delta V = \dfrac{\Delta U_E}{q}$
9.2.A.4 Разность электрических потенциалов также может возникать в результате химических процессов, приводящих к разделению положительных и отрицательных зарядов, например, в батарее.
Предельное утверждение: AP Physics C: Электричество и магнетизм требует от студентов использования дифференциального исчисления для нахождения электрического потенциала, создаваемого следующими распределениями зарядов и в следующих точках: бесконечно длинный равномерно заряженный проводник или цилиндр на расстоянии от его центральной оси, тонкое кольцо заряда в точке на оси кольца, полукруговая дуга или часть полукруговой дуги в ее центре, а также конечный проводник или линейный заряд в точке, коллинеарной с линейным зарядом, или в точке на перпендикуляре к нему, проходящем через середину.
Цель обучения 9.2.B: Описать связь между электрическим потенциалом и электрическим полем.
9.2.B.1 Значение компоненты вектора электрического поля в любом направлении в данной точке равно отрицательному значению пространственной производной электрического потенциала в этой точке.
Уравнение:$E_x = -\dfrac{dV}{dx}$
9.2.B.2 Изменение электрического потенциала между двумя точками может быть определено путем интегрирования скалярного произведения вектора электрического поля и вектора перемещения вдоль пути, соединяющего эти точки.
Уравнение:$\Delta V = V_b - V_a = -\displaystyle\int_a^b \vec{E}\cdot d\vec{r}$
9.2.B.3 Векторные карты электрического поля и линии эквипотенциалов являются инструментами для описания поля, создаваемого зарядом или конфигурацией зарядов, и могут использоваться для предсказания движения заряженных объектов в этом поле.
9.2.B.3.i Линии эквипотенциал представляют собой линии с одинаковым значением электрического потенциала. Эти линии также называются изолиниями электрического потенциала.
9.2.B.3.ii Изолинии перпендикулярны векторам электрического поля. Карту изолиний электрического потенциала можно построить по векторной карте электрического поля, и наоборот — векторную карту электрического поля можно построить по карте изолиний.
9.2.B.3.iii Вектор электрического поля направлен в сторону уменьшения потенциала.
9.2.B.3.iv Вдоль изолинии отсутствует компонента вектора электрического поля.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
English
Electric potential 电势 is electric potential energy per unit charge at a point in space. It is measured in volts ($1\ \text{V}=1\ \text{J/C}$):
Potential is a scalar 标量: it has a sign but no direction. This makes $V$ far easier to work with than the field $\vec{E}$. For several point charges 点电荷, use scalar superposition 叠加 – add the potentials with their signs:
Worked example. The potential $0.10\ \text{m}$ from a $+3.0\ \text{nC}$ point charge is $V=\dfrac{kq}{r}=\dfrac{9.0\times10^{9}(3.0\times10^{-9})}{0.10}=270\ \text{V}$. Now add a $-3.0\ \text{nC}$ charge $0.30\ \text{m}$ from the same point: it contributes $\dfrac{9.0\times10^{9}(-3.0\times10^{-9})}{0.30}=-90\ \text{V}$, so the total is $270-90=180\ \text{V}$. Just a signed sum – no vector components to resolve.
Continuous charge distributions
For a continuous charge distribution 连续电荷分布, cut it into small pieces $dq$, treat each piece as a point charge, and integrate 积分:
This is a scalar integral, so it is usually much easier than the field integral. AP expects you to handle four shapes with calculus: a thin ring (at a point on its axis), an arc (at its centre), a finite line or wire (collinear, or on its perpendicular bisector), and an infinitely long wire or cylinder (at a distance from its axis).
Worked example (ring of charge). A thin ring of radius $R$ carries total charge $Q$. For a point $P$ on the axis a distance $z$ from the centre, every element $dq$ sits at the same distance $r=\sqrt{R^2+z^2}$ from $P$. The distance is constant, so it comes out of the integral:
On an FRQ, say that $r$ is the same for every element – that statement is the marked step. The same idea gives $V=kQ/R$ at the centre of any arc, whatever its angle.
From potential to field
Potential and field contain the same information, linked by a derivative in each direction and by a path integral:
The field is the negative gradient 梯度 of the potential: $\vec{E}$ points from high potential to low potential, "downhill". Where $V$ changes quickly, the field is strong.
Worked example. Along the $x$-axis, $V(x)=3x^{2}-2x$ (volts, with $x$ in metres). Then $E_x=-\dfrac{dV}{dx}=2-6x\ \text{V/m}$. At $x=0.50\ \text{m}$, $E_x=-1.0\ \text{V/m}$: the field there points in the $-x$ direction.
The potential difference 电势差 between two points is the change in potential energy per unit charge moved between them: $\Delta V=\Delta U_E/q$. A battery makes a potential difference chemically: reactions inside separate positive from negative charge and hold the terminals a fixed $\Delta V$ apart.
Equipotential maps
An equipotential 等势面 line (also called an isoline 等值线) joins points that share the same potential. Four rules let you read any map:
Isolines are perpendicular 垂直 to field lines 电场线 everywhere they cross.
$\vec{E}$ points from high $V$ to low $V$ – never along an isoline. Moving a charge along an isoline takes no work.
Closely spaced isolines mean a strong field: $E\approx-\Delta V/\Delta x$.
You can sketch the field map from an isoline map, and the isoline map from a field map.
Exam skill. Given a map with isolines every $10\ \text{V}$ spaced about $2\ \text{cm}$ apart, estimate $E\approx\dfrac{10}{0.02}=500\ \text{V/m}$, pointing from the higher-value line to the lower one. The work an external agent does moving a charge $q$ slowly from $A$ to $B$ is $W=q(V_B-V_A)$ – the path taken does not matter.
Русский
Электрический потенциал — это потенциальная энергия на единицу заряда в данной точке пространства. Он измеряется в вольтах ($1\ \text{V}=1\ \text{J/C}$):
Потенциал является скаляром: он имеет знак, но не имеет направления. Это делает $V$ гораздо удобнее для работы, чем поле $\vec{E}$. Для нескольких точечных зарядов используйте скалярную суперпозицию — складывайте потенциалы с учетом их знаков:
Разобранный пример. Потенциал $0.10\ \text{m}$ от точечного заряда $+3.0\ \text{nC}$ равен $V=\dfrac{kq}{r}=\dfrac{9.0\times10^{9}(3.0\times10^{-9})}{0.10}=270\ \text{V}$. Теперь добавим заряд $-3.0\ \text{nC}$ на расстоянии $0.30\ \text{m}$ от той же точки: он вносит вклад $\dfrac{9.0\times10^{9}(-3.0\times10^{-9})}{0.30}=-90\ \text{V}$, поэтому полная сумма равна $270-90=180\ \text{V}$. Это просто алгебраическая сумма – разлагать векторные составляющие не нужно.
Непрерывные распределения заряда
Для непрерывного распределения заряда разрежьте его на малые элементы $dq$, каждый элемент Considered as a point charge, and integrate:
Это скалярный интеграл, поэтому обычно он намного проще, чем интеграл для поля. В программе AP ожидается умение работать с четырьмя геометрическими фигурами с помощью исчисления: тонким кольцом (в точке на оси), дугой (в её центре), конечным стержнем или проводом (коллинеарно или на перпендикулярном биссекторе) и бесконечно длинным проводом или цилиндром (на расстоянии от оси).
Изображение кольца с зарядом: каждый элемент dq находится на одинаковом расстоянии от точки на оси
Разобранное решение (кольцо с зарядом). Тонкое кольцо радиуса $R$ несет полный заряд $Q$. Для точки $P$ на оси, находящейся на расстоянии $z$ от центра, каждый элемент $dq$ находится на одинаковом расстоянии $r=\sqrt{R^2+z^2}$ от точки $P$. Расстояние постоянно, поэтому оно выносится за знак интеграла:
На FRQ скажите, что $r$ одинаков для каждого элемента — это утверждение является ключевым этапом оценки. Та же идея дает результат $V=kQ/R$ в центре любой дуги, независимо от угла.
От потенциала к полю
Потенциал и поле содержат одну и ту же информацию, связанную производной в каждом направлении и контурным интегралом:
Поле является отрицательным градиентом потенциала: $\vec{E}$ указывает от высокого потенциала к низкому, «по склону». Там, где $V$ меняется быстро, поле сильное.
Разобранное решение. Вдоль оси $x$, $V(x)=3x^{2}-2x$ (вольты, при $x$ в метрах). Тогда $E_x=-\dfrac{dV}{dx}=2-6x\ \text{V/m}$. При $x=0.50\ \text{m}$, $E_x=-1.0\ \text{V/m}$: поле там направлено в $-x$ направлении.
Изображение в однородном поле потенциал убывает равномерно с расстоянием
Разность потенциалов между двумя точками — это изменение потенциальной энергии на единицу заряда, перемещаемого между ними: $\Delta V=\Delta U_E/q$. Аккумулятор создает разность потенциалов химическим путем: реакции внутри разделяют положительные и отрицательные заряды и удерживают клеммы на фиксированном расстоянии $\Delta V$ друг от друга.
Потенциал вблизи точечного заряда изменяется как 1/r
Карты эквипотенциалов
Эквипотенциальная линия (также называемая изолинией) соединяет точки с одинаковым потенциалом. Четыре правила помогут вам прочитать любую карту:
Изолинии перпендикулярны силовым линиям везде, где они их пересекают.
$\vec{E}$ указывает от высокого $V$ к низкому $V$ – никогда вдоль изолинии. Перемещение заряда вдоль изолинии не требует работы.
Плотное расположение изолиний означает сильное поле: $E\approx-\Delta V/\Delta x$.
Вы можете нарисовать карту поля по карте изолиний и карту изолиний по карте поля.
Эквипотенциальные линии вокруг диполя пересекают силовые линии под прямым углом
Навык для экзамена. Дана карта с изолиниями через каждые $10\ \text{V}$, расположенными примерно на расстоянии $2\ \text{cm}$ друг от друга. Оцените $E\approx\dfrac{10}{0.02}=500\ \text{V/m}$, направленный от линии с большим значением к линии с меньшим. Работа внешнего агента при перемещении заряда $q$ медленно от $A$ до $B$ равна $W=q(V_B-V_A)$ – путь не имеет значения.
Высоковольтные линии электропередачи: энергия электрического потенциала преобразуется и передается в виде тока под высоким напряжением
Explore · Исследовать
Field lines and the potential around a charge · Силовые линии и потенциал вокруг заряда
Electric potential is the energy per unit charge. It falls off with distance from a positive charge; the field lines point from high potential to low. · Электрический потенциал — это энергия на единицу заряда. Он убывает с удалением от положительного заряда; силовые линии направлены от высокого потенциала к низкому.
Conservation of Electric Energy · Сохранение электрической энергии
Syllabus · Программа
English
Learning Objective 9.3.A: Describe changes in a system due to a difference in electric potential between two locations.
9.3.A.1 When a charged object moves between two locations with different electric potentials, the resulting change in the electric potential energy of the object-field system is given by the following equation.
Equation:$\Delta U_E = q\Delta V$
9.3.A.2 The movement of a charged object between two points with different electric potentials results in a change in kinetic energy of the object consistent with the conservation of energy.
Русский
Цель обучения 9.3.A: Описать изменения в системе, вызванные разностью электрических потенциалов между двумя участками.
9.3.A.1 При перемещении заряженного объекта между двумя участками с различными электрическими потенциалами resulting изменение электрической потенциальной энергии системы «объект-поле» задается следующим уравнением.
Уравнение:$\Delta U_E = q\Delta V$
9.3.A.2 Перемещение заряженного объекта между двумя точками с разными электрическими потенциалами приводит к изменению кинетической энергии объекта, согласующемуся с законом сохранения энергии.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
English
When a charge $q$ moves between two points that differ in potential by $\Delta V$, the potential energy of the charge–field system changes by
$$\Delta U_E=q\,\Delta V.$$
If only the electric force acts, total energy is conserved, so the kinetic energy changes by the opposite amount:
$$\Delta K=-\Delta U_E=-q\,\Delta V.$$
Watch the two signs together: a positive charge speeds up when it moves to lower potential, while a negative charge speeds up when it moves to higher potential. Both are just the system trading potential energy for kinetic energy. This is how particle accelerators give charged particles their energy, and it underlies energy analysis in circuits.
Worked example. A proton ($q=1.6\times10^{-19}\ \text{C}$, $m=1.67\times10^{-27}\ \text{kg}$) starts at rest and is accelerated through a potential drop of $500\ \text{V}$ (it moves to lower potential, so $\Delta V=-500\ \text{V}$ and $\Delta K=-q\,\Delta V=+8.0\times10^{-17}\ \text{J}$). Setting $\Delta K=\tfrac12 mv^2$:
Exam skill. Choose energy methods, not kinematics, whenever the field is non-uniform or the path curves: only the end-point potentials matter. A typical FRQ chain is $q\,\Delta V \to \Delta K \to v$, with one line of justification: "the electric force is conservative, so energy is conserved."
Русский
Когда заряд $q$ перемещается между двумя точками, разность потенциалов которых составляет $\Delta V$, потенциальная энергия системы «заряд–поле» изменяется на
$$\Delta U_E=q\,\Delta V.$$
Если действует только электрическая сила, полная энергия сохраняется, поэтому кинетическая энергия изменяется на противоположное количество:
$$\Delta K=-\Delta U_E=-q\,\Delta V.$$
Следите за обоими знаками одновременно: положительный заряд ускоряется при движении к более низкому потенциалу, а отрицательный — при движении к более высокому потенциалу. В обоих случаях система просто обменивает потенциальную энергию на кинетическую. Именно так ускорители частиц сообщают заряженным частицам энергию, и именно это лежит в основе энергетического анализа в цепях.
Разобранный пример. Протон ($q=1.6\times10^{-19}\ \text{C}$, $m=1.67\times10^{-27}\ \text{kg}$) начинает движение из состояния покоя и ускоряется через падение потенциала на $500\ \text{V}$ (он движется к более низкому потенциалу, значит $\Delta V=-500\ \text{V}$ и $\Delta K=-q\,\Delta V=+8.0\times10^{-17}\ \text{J}$). Принимая $\Delta K=\tfrac12 mv^2$:
Навык для экзамена. Выбирайте методы сохранения энергии, а не кинематику, когда поле неоднородно или траектория изогнута: важны только потенциалы начальной и конечной точек. Типичная цепочка заданий FRQ выглядит как $q\,\Delta V \to \Delta K \to v$, с одной строкой обоснования: «электрическая сила является консервативной, поэтому энергия сохраняется.»
9.3
Exam tips · Советы для экзамена
English
Relate field and potential by $V=-\int \vec E\cdot d\vec l$ and $\vec E=-\nabla V$ (in 1-D, $E_x=-\tfrac{dV}{dx}$).
Potential is a scalar — add contributions with signs, no vector components needed.
Potential energy of a pair is $U=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\tfrac{q_1 q_2}{r}$; use energy conservation for a charge's speed.
Know that no work is done moving along an equipotential, which is perpendicular to $\vec E$.
Choose the zero of potential (usually infinity) and state it.
Русский
Связать поле и потенциал можно через $V=-\int \vec E\cdot d\vec l$ и $\vec E=-\nabla V$ (в 1-D: $E_x=-\tfrac{dV}{dx}$).
Потенциал является скалярной величиной — складывайте вклады со знаками, векторные компоненты не нужны.
Потенциальная энергия пары равна $U=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\tfrac{q_1 q_2}{r}$; используйте закон сохранения энергии для скорости заряда.
Знать, что работа не совершается при перемещении вдоль эквипотенциали, которая перпендикулярна $\vec E$.
Выберите ноль потенциала (обычно бесконечность) и укажите его.
Interactive lessons on this topic · Интерактивные уроки по этой теме
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.
More topics in AP Physics C: Electricity and Magnetism · AP Физика C: Электричество и магнетизм · Больше тем в AP Physics C: Electricity and Magnetism · AP Физика C: Электричество и магнетизм
Pick one and the site follows you — notes, papers, videos and practice all open on it. · Выберите один, и сайт будет вести вас — конспекты, работы, видео и практика откроются там.
Type to search notes, lessons, code, vocabulary and past-paper questions across every subject. · Введите запрос для поиска заметок, уроков, кода, словаря и вопросов с реальных экзаменов по всем предметам.
