Differential Equations · ⁨Дифференциальные уравнения⁩

AP Calculus AB · Topic 7 · ⁨Тема 7⁩

View Slides · ⁨Просмотр слайдов⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

Video lesson for this topic · ⁨Видеоурок по этой теме⁩ Open the video page · ⁨Открыть страницу видео⁩

7.1

Modeling Situations with Differential Equations · ⁨Моделирование ситуаций с помощью дифференциальных уравнений⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.A: Interpret verbal statements of problems as differential equations involving a derivative expression.

FUN-7.A.1 Differential equations relate a function of an independent variable and the function's derivatives.

Русский

Принцип устойчивости (FUN-7): Решение дифференциальных уравнений позволяет определять функции и создавать модели.

Цель обучения FUN-7.A: Интерпретировать словесные формулировки задач как дифференциальные уравнения, содержащие выражение производной.

FUN-7.A.1 Дифференциальные уравнения связывают функцию независимой переменной и производные этой функции.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

A differential equation 微分方程 is an equation that relates a function to its own derivatives. It describes a situation by its rate of change. For example, "the rate of change of a quantity is proportional to its size" becomes

$$\frac{dy}{dt} = ky.$$

Learning to translate a sentence about a rate into a differential equation is the first skill of this unit.

Русский

Дифференциальное уравнение — это уравнение, связывающее функцию с её собственными производными. Оно описывает ситуацию через её скорость изменения. Например, «скорость изменения величины пропорциональна её размеру» преобразуется в

$$\frac{dy}{dt} = ky.$$

Умение переводить предложение о скорости в дифференциальное уравнение — первый навык этого раздела.

7.2

Verifying Solutions for Differential Equations · ⁨Проверка решений дифференциальных уравнений⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.B: Verify solutions to differential equations.

FUN-7.B.1 Derivatives can be used to verify that a function is a solution to a given differential equation.
FUN-7.B.2 There may be infinitely many general solutions to a differential equation.

Русский

Принцип устойчивости (FUN-7): Решение дифференциальных уравнений позволяет определять функции и создавать модели.

Цель обучения FUN-7.B: Проверять решения дифференциальных уравнений.

FUN-7.B.1 Производные могут использоваться для проверки того, что функция является решением данного дифференциального уравнения.
FUN-7.B.2 У дифференциального уравнения может быть бесконечно много общих решений.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

A solution 解 of a differential equation is a function that makes it true. You can verify a proposed solution by differentiating it and substituting into the equation: if both sides match, it is a solution. Note a differential equation usually has infinitely many solutions – a whole family – differing by a constant.

Русский

Решение дифференциального уравнения — это функция, которая делает его верным. Вы можете проверить предполагаемое решение, продифференцировав его и подставив в уравнение: если обе части совпадают, это решение. Обратите внимание, что дифференциальное уравнение обычно имеет бесконечно много решений – целое семейство –, отличающихся константой.

7.3

Sketching Slope Fields · ⁨Построение полей направлений⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.1 A slope field is a graphical representation of a differential equation on a finite set of points in the plane.
FUN-7.C.2 Slope fields provide information about the behavior of solutions to first-order differential equations.

Русский

Принцип устойчивости (FUN-7): Решение дифференциальных уравнений позволяет определять функции и создавать модели.

Цель обучения FUN-7.C: Оценивать решения дифференциальных уравнений.

FUN-7.C.1 Поле направлений — это графическое представление дифференциального уравнения на конечном множестве точек плоскости.
FUN-7.C.2 Поля направлений дают информацию о поведении решений дифференциальных уравнений первого порядка.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Slope fields & solution curves

A slope field 斜率场 draws the differential equation as a grid of short segments: at each point $(x,y)$ the segment has slope $\dfrac{dy}{dx}$ evaluated there. To sketch one, plug several points into the right-hand side and draw a small segment with that slope at each. The picture shows the shape of the solution curves without solving.

Exam skill. A common part gives a portion of a slope field and asks you to sketch the particular solution through a given point – start at the point and follow the segments, staying tangent to them.

Русский

Поля направлений и кривые решений

Поле направлений представляет дифференциальное уравнение в виде сетки коротких отрезков: в каждой точке $(x,y)$ отрезок имеет наклон $\dfrac{dy}{dx}$, вычисленный в этой точке. Чтобы нарисовать такое поле, подставьте несколько точек в правую часть и нарисуйте маленький отрезок с этим наклоном в каждой. На рисунке показана форма кривых решения без явного нахождения.

Поле направлений показывает dy/dx в каждой точке; кривая решения следует за отрезками — Каждый короткий отрезок имеет наклон $\dfrac{dy}{dx}$ в данной точке; кривая решения проходит сквозь них, оставаясь касательной к полю.

Экзаменационный навык. Типовая задача дает часть поля направлений и просит нарисовать частное решение, проходящее через заданную точку – начните с точки и следуйте отрезкам, оставаясь касательной к ним.

Explore · ⁨Исследовать⁩

Read a differential equation as a slope field · ⁨Чтение дифференциального уравнения как поля направлений⁩

A slope field draws the slope $dy/dx$ at each point. A solution curve threads through, always tangent to the little segments — you can sketch it by following the flow. · ⁨Поле направлений отображает наклон $dy/dx$ в каждой точке. Кривая решения проходит сквозь него, оставаясь касательной к маленьким сегментам — можно нарисовать её, следуя потоку.⁩

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

English	Русский
slope field/sləʊp fiːld/	поле направлений
separation of variables/ˌsepəˈreɪʃn ɒv ˈveərɪəblz/	разделение переменных
general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/	общее решение
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	начальное условие
particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/	частное решение
domain restrictions/dəˈmeɪn rɪˈstrɪkʃnz/	ограничения области определения
exponential growth and decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ænd dɪˈkeɪ/	экспоненциальный рост и спад

7.4

Reasoning Using Slope Fields · ⁨Анализ с использованием полей направлений⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.3 Solutions to differential equations are functions or families of functions.

Русский

Принцип устойчивости (FUN-7): Решение дифференциальных уравнений позволяет определять функции и создавать модели.

Цель обучения FUN-7.C: Оценивать решения дифференциальных уравнений.

FUN-7.C.3 Решения дифференциальных уравнений представляют собой функции или семейства функций.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Solutions to a differential equation are functions or families of functions. Read a slope field to reason about behavior: where the segments are flat ($\tfrac{dy}{dx}=0$) the solution is momentarily level; where they steepen the solution rises or falls faster; horizontal rows of equal slope suggest the rate depends only on $y$ (or only on $x$).

Русский

Решения дифференциального уравнения являются функциями или семействами функций. Читая поле направлений, можно судить о поведении: там, где отрезки горизонтальны ($\tfrac{dy}{dx}=0$), решение временно становится плоским; там, где они круче, решение растет или падает быстрее; горизонтальные ряды одинакового наклона указывают, что скорость зависит только от $y$ (или только от $x$).

7.6

Finding General Solutions Using Separation of Variables · ⁨Нахождение общих решений методом разделения переменных⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.D: Determine general solutions to differential equations.

FUN-7.D.1 Some differential equations can be solved by separation of variables.
FUN-7.D.2 Antidifferentiation can be used to find general solutions to differential equations.

Русский

Принцип устойчивости (FUN-7): Решение дифференциальных уравнений позволяет определять функции и создавать модели.

Цель обучения FUN-7.D: Определять общие решения дифференциальных уравнений.

FUN-7.D.1 Некоторые дифференциальные уравнения можно решить методом разделения переменных.
FUN-7.D.2 Нахождение первообразных (интегрирование) может использоваться для поиска общих решений дифференциальных уравнений.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Many exam differential equations are solved by separation of variables 分离变量法. If $\dfrac{dy}{dx}$ factors into a function of $x$ times a function of $y$, move all $y$'s to one side and all $x$'s to the other, then integrate both sides:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\;\Longrightarrow\;\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx.$$

Add the constant of integration once (on the $x$-side). This gives the general solution 通解.

Worked example. Solve $\dfrac{dy}{dx}=xy$ with the initial condition $y(0)=2$. Separate and integrate:

$$\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx\;\Rightarrow\;\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C\;\Rightarrow\;y=Ae^{x^2/2}.$$

Applying $y(0)=2$ gives $A=2$, so the particular solution is $y=2e^{x^2/2}$.

Русский

Многие дифференциальные уравнения на экзаменах решаются методом разделения переменных. Если $\dfrac{dy}{dx}$ можно разложить на произведение функции от $x$ на функцию от $y$, перенесите все $y$ в одну сторону, а все $x$ — в другую, затем проинтегрируйте обе части:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\;\Longrightarrow\;\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx.$$

Добавьте константу интегрирования один раз (со стороны $x$). Это дает общее решение.

Разобранное решение. Решите $\dfrac{dy}{dx}=xy$ с начальным условием $y(0)=2$. Разделите переменные и проинтегрируйте:

$$\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx\;\Rightarrow\;\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C\;\Rightarrow\;y=Ae^{x^2/2}.$$

Подстановка $y(0)=2$ даёт $A=2$, поэтому частное решение имеет вид $y=2e^{x^2/2}$.

7.7

Finding Particular Solutions Using Initial Conditions and Separation of Variables · ⁨Нахождение частных решений с помощью начальных условий и разделения переменных⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.E: Determine particular solutions to differential equations.

FUN-7.E.1 A general solution may describe infinitely many solutions to a differential equation. There is only one particular solution passing through a given point.
FUN-7.E.2 The function $F$ defined by $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ is a particular solution to the differential equation $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfying $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Solutions to differential equations may be subject to domain restrictions.

Русский

Принцип устойчивости (FUN-7): Решение дифференциальных уравнений позволяет определять функции и создавать модели.

Цель обучения FUN-7.E: Определять частные решения дифференциальных уравнений.

FUN-7.E.1 Общее решение может описывать бесконечно много решений дифференциального уравнения. Через заданную точку проходит только одно частное решение.
FUN-7.E.2 Функция $F$, заданная формулой $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$, является частным решением дифференциального уравнения $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, удовлетворяющим условию $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Решения дифференциальных уравнений могут иметь ограничения области определения.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

An initial condition 初始条件 – a known point $(x_0,y_0)$ – pins down one curve from the family. Substitute it to solve for the constant $C$; the result is the particular solution 特解. There is exactly one solution through a given point. Watch for domain restrictions 定义域限制: keep the branch that contains the initial point (for example, the correct sign of a square root).

Русский

Начальное условие — известная точка $(x_0,y_0)$ — определяет одну кривую из семейства. Подставьте её, чтобы найти константу $C$; результат является частным решением. Через заданную точку проходит ровно одно решение. Следите за ограничениями области определения: выбирайте ту ветвь, которая содержит начальную точку (например, правильный знак квадратного корня).

Константа порождает семейство кривых; начальное условие выбирает одну конкретную

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

English	Русский
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	дифференциальное уравнение
solution/səˈluːʃn/	раствором

7.8

Exponential Models with Differential Equations · ⁨Экспоненциальные модели с дифференциальными уравнениями⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.F: Interpret the meaning of a differential equation and its variables in context.

FUN-7.F.1 Specific applications of finding general and particular solutions to differential equations include motion along a line and exponential growth and decay.
FUN-7.F.2 The model for exponential growth and decay that arises from the statement "The rate of change of a quantity is proportional to the size of the quantity" is $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Learning Objective FUN-7.G: Determine general and particular solutions for problems involving differential equations in context.

FUN-7.G.1 The exponential growth and decay model, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, with initial condition $y = y_0$ when $t = 0$, has solutions of the form $y = y_0 e^{kt}$.

Русский

Принцип устойчивости (FUN-7): Решение дифференциальных уравнений позволяет определять функции и создавать модели.

Цель обучения FUN-7.F: Интерпретировать смысл дифференциального уравнения и его переменных в контексте задачи.

FUN-7.F.1 Конкретные приложения нахождения общих и частных решений дифференциальных уравнений включают движение вдоль прямой и экспоненциальный рост и убывание.
FUN-7.F.2 Модель экспоненциального роста и убывания, вытекающая из утверждения «Скорость изменения величины пропорциональна ее размеру», имеет вид $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Цель обучения FUN-7.G: Определять общие и частные решения для задач, связанных с дифференциальными уравнениями в контексте.

FUN-7.G.1 Модель экспоненциального роста и убывания $\dfrac{dy}{dt} = ky$ с начальным условием $y = y_0$ при $t = 0$ имеет решения вида $y = y_0 e^{kt}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

The most important model is exponential growth and decay 指数增长与衰减. The equation $\dfrac{dy}{dt}=ky$ (rate proportional to size) has the solution:

$$y = y_0\,e^{kt},$$

where $y_0$ is the value at $t=0$. Here $k>0$ gives growth and $k<0$ gives decay. You can derive this by separation of variables ($\int \tfrac{dy}{y} = \int k\,dt$), and it models processes like population growth, radioactive decay, and Newton's law of cooling. A follow-up part may ask for $\dfrac{d^2y}{dt^2}$: differentiate $\dfrac{dy}{dt}=ky$ again (using $\dfrac{dy}{dt}=ky$) to express it in terms of $y$.

Worked example. A sample decays by $\dfrac{dy}{dt}=-0.10\,y$ (in years) from $y_0=50\ \text{g}$. The solution is $y=50e^{-0.10t}$, so after $10$ years $y=50e^{-1}=18.4\ \text{g}$. Its half-life solves $25=50e^{-0.10t}$, i.e. $e^{-0.10t}=\tfrac12$, giving $t=\dfrac{\ln 2}{0.10}=6.9\ \text{years}$ – independent of the starting amount.

Русский

E. coli под микроскопом: дифференциальные уравнения моделируют экспоненциальный рост популяций

Самая важная модель — экспоненциальный рост и убывание. Уравнение $\dfrac{dy}{dt}=ky$ (скорость пропорциональна размеру) имеет решение:

$$y = y_0\,e^{kt},$$

где $y_0$ — значение в момент $t=0$. Здесь $k>0$ соответствует росту, а $k<0$ — убыванию. Это можно вывести методом разделения переменных ($\int \tfrac{dy}{y} = \int k\,dt$), и оно моделирует процессы, такие как рост популяции, радиоактивный распад и закон охлаждения Ньютона. Во второй части задания может потребоваться найти $\dfrac{d^2y}{dt^2}$: продифференцируйте $\dfrac{dy}{dt}=ky$ ещё раз (используя $\dfrac{dy}{dt}=ky$), чтобы выразить его через $y$.

Разобранное решение. Образец распадается на $\dfrac{dy}{dt}=-0.10\,y$ (в годах) от начального значения $y_0=50\ \text{g}$. Решение имеет вид $y=50e^{-0.10t}$, поэтому через $10$ лет остаётся $y=50e^{-1}=18.4\ \text{g}$. Его период полураспада находится из уравнения $25=50e^{-0.10t}$, то есть $e^{-0.10t}=\tfrac12$, что даёт $t=\dfrac{\ln 2}{0.10}=6.9\ \text{years}$ — величину, не зависящую от начального количества.

Остывающая чашка кофе: закон Ньютона охлаждения — классическая модель дифференциальных уравнений — Остывающая чашка кофе: закон охлаждения Ньютона — классическая модель дифференциальных уравнений

Explore · ⁨Исследовать⁩

An exponential growth/decay model · ⁨Модель экспоненциального роста/спада⁩

y = a·e^(bx) + c

The equation $dy/dt=ky$ has exponential solutions: quantity changes at a rate proportional to itself, giving unbounded growth ($k>0$) or decay to zero ($k<0$). · ⁨Уравнение $dy/dt=ky$ имеет экспоненциальные решения: величина изменяется со скоростью, пропорциональной самому себе, что дает неограниченный рост ($k>0$) или спад к нулю ($k<0$).⁩

7.8

Exam tips · ⁨Советы для экзамена⁩

English

Solve a separable equation by getting all $y$ on one side and all $x$ on the other, then integrating both sides (add $+C$ once).
Use the initial condition to find $C$ (a particular solution).
Sketch or read a slope field: the little segments show $\tfrac{dy}{dx}$ at each point, and a solution curve follows them.
Recognise exponential models $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (growth/decay).
A differential equation gives the slope — you must integrate to recover the function.

Русский

Решите разделимое уравнение, перенеся все $y$ в одну сторону, а все $x$ — в другую, затем проинтегрировав обе части (добавьте константу $+C$ один раз).
Используйте начальное условие, чтобы найти конкретное решение ($C$).
Нарисуйте или прочитайте поле направлений: маленькие отрезки показывают значение $\tfrac{dy}{dx}$ в каждой точке, а кривая решения следует им.
Распознавайте экспоненциальные модели $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (рост/убывание).
Дифференциальное уравнение дает наклон — вам нужно проинтегрировать, чтобы восстановить функцию.

Interactive lessons on this topic · ⁨Интерактивные уроки по этой теме⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.⁩

Past Papers · ⁨Архив экзаменационных работ⁩

More topics in AP Calculus AB · ⁨Больше тем в AP Calculus AB⁩