Integration and Accumulation of Change · ⁨Интегрирование и накопление изменений⁩

AP Calculus AB · Topic 6 · ⁨Тема 6⁩

View Slides · ⁨Просмотр слайдов⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

Video lesson for this topic · ⁨Видеоурок по этой теме⁩ Open the video page · ⁨Открыть страницу видео⁩

6.1

Exploring Accumulations of Change · ⁨Исследование накопления изменений⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.A: Interpret the meaning of areas associated with the graph of a rate of change in context.

CHA-4.A.1 The area of the region between the graph of a rate of change function and the $x$ axis gives the accumulation of change.
CHA-4.A.2 In some cases, accumulation of change can be evaluated by using geometry.
CHA-4.A.3 If a rate of change is positive (negative) over an interval, then the accumulated change is positive (negative).
CHA-4.A.4 The unit for the area of a region defined by rate of change is the unit for the rate of change multiplied by the unit for the independent variable.

Русский

Принцип (CHA-4): Определённые интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений на интервале.

Цель обучения CHA-4.A: Интерпретировать смысл площадей, связанных с графиком скорости изменения в контексте задачи.

CHA-4.A.1 Площадь области между графиком функции скорости изменения и осью $x$ равна величине накопленного изменения.
CHA-4.A.2 В некоторых случаях накопление изменений можно вычислить с использованием геометрии.
CHA-4.A.3 Если скорость изменения положительна (отрицательна) на интервале, то накопленное изменение также положительно (отрицательно).
CHA-4.A.4 Единицей измерения площади области, ограниченной функцией скорости изменения, является произведение единицы скорости изменения на единицу независимой переменной.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Differentiation found rates. Integration runs the idea in reverse: given a rate of change, it finds the accumulated change 累积变化. The key picture: the area between the graph of a rate function and the $x$-axis gives the total accumulation.

If the rate is positive over an interval, the accumulated change is positive; if negative, negative. Area below the axis counts as negative.
Simple regions (triangles, rectangles) can be found with geometry 几何.
Units: the area's unit is the rate's unit times the input's unit. A rate in vehicles-per-hour times hours gives vehicles.

Русский

Водонапорный бак: интеграл накапливает изменение — общий объем из скорости потока

Дифференцирование находило скорости. Интегрирование выполняет обратную операцию: зная скорость изменения, оно находит накопленное изменение. Ключевая идея: площадь между графиком функции скорости и осью $x$ дает суммарное накопление.

Если скорость положительна на интервале, накопленное изменение положительно; если отрицательна — отрицательно. Площадь ниже оси считается отрицательной.
Простые фигуры (треугольники, прямоугольники) можно найти с помощью геометрии.
Единицы измерения: единица площади равна единице скорости, умноженной на единицу аргумента. Скорость в машинах/час, умноженная на часы, дает машины.

6.2

Approximating Areas with Riemann Sums · ⁨Приближенное вычисление площадей с помощью сумм Римана⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (LIM-5): Definite integrals can be approximated using geometric and numerical methods.

Learning Objective LIM-5.A: Approximate a definite integral using geometric and numerical methods.

LIM-5.A.1 Definite integrals can be approximated for functions that are represented graphically, numerically, analytically, and verbally.
LIM-5.A.2 Definite integrals can be approximated using a left Riemann sum, a right Riemann sum, a midpoint Riemann sum, or a trapezoidal sum; approximations can be computed using either uniform or nonuniform partitions.
LIM-5.A.3 Definite integrals can be approximated using numerical methods, with or without technology.
LIM-5.A.4 Depending on the behavior of a function, it may be possible to determine whether an approximation for a definite integral is an underestimate or overestimate for the value of the definite integral.

Русский

Принцип (LIM-5): Определённые интегралы могут быть приближенно вычислены с использованием геометрических и числовых методов.

Цель обучения LIM-5.A: Приближённо вычислить определённый интеграл с использованием геометрических и числовых методов.

LIM-5.A.1 Определённые интегралы могут быть приближенно вычислены для функций, заданных графически, численно, аналитически и словесно.
LIM-5.A.2 Определённые интегралы могут быть приближенно вычислены с помощью левой суммы Римана, правой суммы Римана, суммы Римана со средними точками или трапециевидной суммы; вычисления могут выполняться с использованием равномерного или неравномерного разбиения.
LIM-5.A.3 Определённые интегралы могут быть приближенно вычислены с использованием числовых методов, с применением технических средств или без них.
LIM-5.A.4 В зависимости от поведения функции возможно определить, является ли приближение определённого интеграла заниженной или завышенной оценкой его значения.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

The integral as area (Riemann sums)

Trapezoidal sums approximate area

When exact area is hard, approximate it with a Riemann sum 黎曼和 – split the interval into subintervals and add up rectangle (or trapezoid) areas. The four standard estimates:

Left Riemann sum – rectangle height from the left endpoint of each subinterval.
Right Riemann sum – height from the right endpoint.
Midpoint Riemann sum – height from the midpoint 中点.
Trapezoidal sum 梯形法 – average the two endpoint heights (a trapezoid).

Subintervals may be uniform (equal width) or nonuniform – read widths from the table.

Over- or underestimate? Judge from the behavior of the function: for an increasing function, a left sum underestimates and a right sum overestimates; a trapezoidal sum overestimates when the function is concave up and underestimates when concave down. Exam parts ask you to state which and why.

Worked example. A table gives $f(0)=3$, $f(2)=5$, $f(4)=8$, $f(6)=9$. Estimate $\int_0^6 f(x)\,dx$ with a right Riemann sum of three equal subintervals ($\Delta x=2$). Use the right endpoint of each strip:

$$2\big(f(2)+f(4)+f(6)\big)=2(5+8+9)=44.$$

Since $f$ is increasing, this right sum is an overestimate; the left sum $2(3+5+8)=32$ would be an underestimate.

Русский

Интеграл как площадь (суммы Римана)

Трапециевидные суммы приближают площадь

Когда точная площадь难求, приблизьте её с помощью суммы Римана — разбейте интервал на подсегменты и сложите площади прямоугольников (или трапеций). Четыре стандартных оценки:

Сумма Римана: прямоугольники шириной dx приближают площадь под кривой — Площадь каждого прямоугольника равна $f(x)\,\Delta x$; их сумма оценивает площадь, а при сужении полос сумма стремится к определенному интегралу.

Левая сумма Римана — высота прямоугольника берется по левому концу каждого подсегмента.
Правая сумма Римана — высота по правому концу.
Средняя сумма Римана — высота по середине отрезка.
Трапециевидная сумма — среднее двух высот на концах (образует трапецию).

Подсегменты могут быть равными (одинаковая ширина) или неравными — ширину считывайте из таблицы.

Занижение или завышение? Оцените по поведению функции: для возрастающей функции левая сумма дает занижение, а правая — завышение; трапециевидная сумма дает завышение при выпуклости вниз и занижение при выпуклости вверх. В заданиях экзамена требуется указать, какая оценка используется и почему.

Разбор примера. Таблица содержит значения $f(0)=3$, $f(2)=5$, $f(4)=8$, $f(6)=9$. Оцените $\int_0^6 f(x)\,dx$ с помощью правой суммы Римана из трех равных подсегментов ($\Delta x=2$). Используйте правый конец каждой полосы:

$$2\big(f(2)+f(4)+f(6)\big)=2(5+8+9)=44.$$

Так как $f$ возрастает, эта правая сумма является завышением; левая сумма $2(3+5+8)=32$ была бы занижением.

Explore · ⁨Исследовать⁩

Approximate area with rectangles · ⁨Аппроксимация площади прямоугольниками⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

A Riemann sum approximates the area under a curve with rectangles. Add more, thinner rectangles and the estimate converges to the exact definite integral. · ⁨Сумма Римана аппроксимирует площадь под кривой прямоугольниками. Увеличивая количество прямоугольников и уменьшая их ширину, оценка сходится к точному определенному интегралу.⁩

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

English	Русский
accumulated change/əˈkjuːmjʊleɪtɪd tʃeɪndʒ/	накопленное изменение
geometry/dʒiˈɒmətri/	геометрия
Riemann sum/ˈriːmən sʌm/	сумма Римана
midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/	середина
Trapezoidal sum/ˈtræpɪzɔɪdl sʌm/	трапециевидная сумма
definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	определенный интеграл

6.3

Riemann Sums and Integral Notation · ⁨Суммы Римана и обозначения интеграла⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

Enduring Understanding	Learning Objective	Essential Knowledge
LIM-5 Definite integrals can be approximated using geometric and numerical methods.	LIM-5.B Interpret the limiting case of the Riemann sum as a definite integral.	LIM-5.B.1 The limit of an approximating Riemann sum can be interpreted as a definite integral. LIM-5.B.2 A Riemann sum, which requires a partition of an interval $I$, is the sum of products, each of which is the value of the function at a point in a subinterval multiplied by the length of that subinterval of the partition.
	LIM-5.C Represent the limiting case of the Riemann sum as a definite integral.	LIM-5.C.1 The definite integral of a continuous function $f$ over the interval $[a, b]$, denoted by $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, is the limit of Riemann sums as the widths of the subintervals approach 0. That is, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^{})\Delta x_i$, where $n$ is the number of subintervals, $\Delta x_i$ is the width of the $i$th subinterval, and $x_i^{}$ is a value in the $i$th subinterval. LIM-5.C.2 A definite integral can be translated into the limit of a related Riemann sum, and the limit of a Riemann sum can be written as a definite integral.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

As the subinterval widths shrink to zero, the Riemann sum approaches an exact value – the definite integral 定积分:

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(x_i^{*})\,\Delta x_i.$$

Here $\Delta x_i$ is the width of the $i$th subinterval and $x_i^{*}$ a point inside it. So a definite integral is the limit of a Riemann sum, and you should be able to translate each into the other.

Русский

По мере того как ширины подсегментов стремятся к нулю, сумма Римана стремится к точному значению — определенному интегралу:

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(x_i^{*})\,\Delta x_i.$$

Здесь $\Delta x_i$ — ширина $i$-го подсегмента, а $x_i^{*}$ — произвольная точка внутри него. Таким образом, определенный интеграл есть предел суммы Римана, и вы должны уметь переводить одно в другое.

6.4

The Fundamental Theorem of Calculus and Accumulation Functions · ⁨Фундаментальная теорема исчисления и функции накопления⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-5): The Fundamental Theorem of Calculus connects differentiation and integration.

Learning Objective FUN-5.A: Represent accumulation functions using definite integrals.

FUN-5.A.1 The definite integral can be used to define new functions.
- Illustrative examples for FUN-5.A.1: $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 If $f$ is a continuous function on an interval containing $a$, then $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, where $x$ is in the interval.

Русский

Принцип (FUN-5): Фундаментальная теорема исчисления связывает дифференцирование и интегрирование.

Цель обучения FUN-5.A: Представлять функции накопления с помощью определённых интегралов.

FUN-5.A.1 Определённый интеграл может использоваться для определения новых функций.
- Иллюстративные примеры для FUN-5.A.1: $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 Если $f$ — непрерывная функция на интервале, содержащем $a$, тогда $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, где $x$ принадлежит этому интервалу.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

The Fundamental Theorem of Calculus

A definite integral with a variable upper limit defines a new accumulation function 累积函数. The Fundamental Theorem of Calculus 微积分基本定理 (first part) says differentiation undoes this accumulation: if $f$ is continuous, then

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x).$$

So if $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, then $g'(x)=f(x)$ and $g''(x)=f'(x)$. This is the engine behind the very common "let $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$" questions.

Русский

Основная теорема математического анализа

Определенный интеграл с переменным верхним пределом определяет новую функцию накопления. Фундаментальная теорема исчисления (первая часть) гласит, что дифференцирование отменяет этот процесс накопления: если $f$ непрерывна, то

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x).$$

Таким образом, если $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, то $g'(x)=f(x)$ и $g''(x)=f'(x)$. Это основа очень распространенного типа вопросов «пусть $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$».

Функция накопления добавляет знакочисловую площадь; ФТИ утверждает, что её производная равна f

Explore · ⁨Исследовать⁩

Accumulate area as an integral · ⁨Накопление площади через интеграл⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

An accumulation function $\int_a^x f(t)\,dt$ builds up signed area as $x$ moves. The Fundamental Theorem says its derivative is just $f(x)$. · ⁨Функция накопления $\int_a^x f(t)\,dt$ накапливает алгебраическую площадь при движении $x$. Основная теорема гласит, что её производная равна просто $f(x)$.⁩

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

English	Русский
accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/	функция накопления
Fundamental Theorem of Calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/	Основная теорема математического анализа
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/	первообразная
indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	неопределенный интеграл
constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/	постоянная интегрирования
u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	замена переменной u
polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/	деление многочлена столбиком
completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/	выделение полного квадрата

6.5

Behavior of Accumulation Functions · ⁨Поведение функций накопления⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-5): The Fundamental Theorem of Calculus connects differentiation and integration.

Learning Objective FUN-5.A: Represent accumulation functions using definite integrals.

FUN-5.A.3 Graphical, numerical, analytical, and verbal representations of a function $f$ provide information about the function $g$ defined as $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

Русский

Принцип (FUN-5): Фундаментальная теорема исчисления связывает дифференцирование и интегрирование.

Цель обучения FUN-5.A: Представлять функции накопления с помощью определённых интегралов.

FUN-5.A.3 Графические, числовые, аналитические и словесные представления функции $f$ дают информацию о функции $g$, определённой как $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Because $g'(x)=f(x)$, everything from Unit 5 applies to an accumulation function using the graph of $f$:

$g$ is increasing where $f>0$ and decreasing where $f<0$;
$g$ has a local extremum where $f$ crosses zero (with a sign change);
$g$ is concave up where $f$ is increasing; inflection points of $g$ occur where $f$ has a local extremum.

To get a value of $g$, compute the signed area: $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, adding areas above the axis and subtracting areas below.

Русский

Поскольку $g'(x)=f(x)$, всё из Модуля 5 применимо к функции накопления, построенной на основе графика $f$:

$g$ возрастает там, где $f>0$, и убывает там, где $f<0$;
$g$ имеет локальный экстремум там, где $f$ пересекает ноль (с изменением знака);
$g$ выпукло вниз (вогнуто вверх) там, где $f$ возрастает; точки перегиба $g$ возникают там, где $f$ имеет локальный экстремум.

Чтобы получить значение $g$, вычислите алгебраическую площадь: $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, прибавляя площади над осью и вычитая площади под ней.

6.6

Properties of Definite Integrals · ⁨Свойства определенного интеграла⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.A: Calculate a definite integral using areas and properties of definite integrals.

FUN-6.A.1 In some cases, a definite integral can be evaluated by using geometry and the connection between the definite integral and area.
FUN-6.A.2 Properties of definite integrals include the integral of a constant times a function, the integral of the sum of two functions, reversal of limits of integration, and the integral of a function over adjacent intervals.
FUN-6.A.3 The definition of the definite integral may be extended to functions with removable or jump discontinuities.

Русский

Принцип (FUN-6): Выявление возможностей применения знаний по геометрии и математическим правилам может упростить процесс интегрирования.

Цель обучения FUN-6.A: Вычислять определённый интеграл, используя площади и свойства определённых интегралов.

FUN-6.A.1 В некоторых случаях определённый интеграл можно вычислить, используя геометрию и связь между определённым интегралом и площадью.
FUN-6.A.2 Свойства определённых интегралов включают интеграл от произведения константы на функцию, интеграл от суммы двух функций, изменение пределов интегрирования и интеграл от функции на смежных интервалах.
FUN-6.A.3 Определение определённого интеграла может быть обобщено на функции с устранимыми или скачкообразными разрывами.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

These properties simplify computation and appear constantly:

$$\int_a^a f = 0,\qquad \int_b^a f = -\int_a^b f,\qquad \int_a^b \big(f\pm g\big) = \int_a^b f \pm \int_a^b g,$$

$$\int_a^b k\,f = k\int_a^b f,\qquad \int_a^c f + \int_c^b f = \int_a^b f.$$

The last (splitting at an interior point $c$) lets you build a total integral from pieces read off a graph.

Русский

Эти свойства упрощают вычисления и встречаются постоянно:

$$\int_a^a f = 0,\qquad \int_b^a f = -\int_a^b f,\qquad \int_a^b \big(f\pm g\big) = \int_a^b f \pm \int_a^b g,$$

$$\int_a^b k\,f = k\int_a^b f,\qquad \int_a^c f + \int_c^b f = \int_a^b f.$$

Последнее (разбиение в произвольной точке $c$) позволяет собрать полный интеграл из кусков, считанных с графика.

6.7

The Fundamental Theorem and Evaluating Integrals · ⁨Основная теорема и вычисление интегралов⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.B: Evaluate definite integrals analytically using the Fundamental Theorem of Calculus.

FUN-6.B.1 An antiderivative of a function $f$ is a function $g$ whose derivative is $f$.
FUN-6.B.2 If a function $f$ is continuous on an interval containing $a$, the function defined by $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ is an antiderivative of $f$ for $x$ in the interval.
FUN-6.B.3 If $f$ is continuous on the interval $[a, b]$ and $F$ is an antiderivative of $f$, then $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Русский

Принцип (FUN-6): Выявление возможностей применения знаний по геометрии и математическим правилам может упростить процесс интегрирования.

Цель обучения FUN-6.B: Вычислять определённые интегралы аналитически, используя Фундаментальную теорему исчисления.

FUN-6.B.1 Первообразная функции $f$ — это функция $g$, производная которой равна $f$.
FUN-6.B.2 Если функция $f$ непрерывна на интервале, содержащем $a$, то функция, заданная выражением $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$, является первообразной для $f$ при всех $x$ из этого интервала.
FUN-6.B.3 Если $f$ непрерывна на интервале $[a, b]$ и $F$ — первообразная для $f$, то $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

The second part of the Fundamental Theorem evaluates a definite integral using an antiderivative 原函数. If $F'=f$, then

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$$

So: find any antiderivative $F$, then subtract its values at the two limits. This is how most exact integrals are computed. It also gives the net change view: $\int_a^b g'(t)\,dt = g(b)-g(a)$, so a starting value plus accumulated change gives a later value, e.g. $g(5)=g(0)+\int_0^5 g'(t)\,dt$.

Worked example. Evaluate $\int_1^3 (2x+1)\,dx$. An antiderivative is $F(x)=x^2+x$, so

$$\int_1^3(2x+1)\,dx=F(3)-F(1)=(9+3)-(1+1)=12-2=10.$$

Русский

Вторая часть Основной теоремы вычисляет определенный интеграл с помощью первообразной. Если $F'=f$, то

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$$

Таким образом: найдите любую первообразную $F$, затем вычтите её значения на двух границах. Именно так вычисляется большинство точных интегралов. Это также дает интерпретацию полного прироста: $\int_a^b g'(t)\,dt = g(b)-g(a)$, поэтому начальное значение плюс накопленное изменение дают более позднее значение, например, $g(5)=g(0)+\int_0^5 g'(t)\,dt$.

Разбор примера. Вычислить $\int_1^3 (2x+1)\,dx$. Первообразная равна $F(x)=x^2+x$, поэтому

$$\int_1^3(2x+1)\,dx=F(3)-F(1)=(9+3)-(1+1)=12-2=10.$$

Определенный интеграл — это алгебраическая площадь между кривой и осью x

6.8

Antiderivatives and Indefinite Integrals · ⁨Первообразные и неопределенные интегралы⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.C: Determine antiderivatives of functions and indefinite integrals, using knowledge of derivatives.

FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ is an indefinite integral of the function $f$ and can be expressed as $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, where $F'(x) = f(x)$ and $C$ is any constant.
FUN-6.C.2 Differentiation rules provide the foundation for finding antiderivatives.
FUN-6.C.3 Many functions do not have closed-form antiderivatives.

Русский

Принцип (FUN-6): Выявление возможностей применения знаний по геометрии и математическим правилам может упростить процесс интегрирования.

Цель обучения FUN-6.C: Определять первообразные функций и неопределенные интегралы, используя знания о производных.

FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ — неопределенный интеграл функции $f$ и может быть записан в виде $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, где $F'(x) = f(x)$ и $C$ — любая постоянная величина.
FUN-6.C.2 Правила дифференцирования лежат в основе нахождения первообразных.
FUN-6.C.3 Многие функции не имеют первообразных, выражаемых через элементарные функции (в замкнутой форме).

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

An indefinite integral 不定积分 is the family of all antiderivatives, written with a constant of integration 积分常数:

$$\int f(x)\,dx = F(x)+C.$$

Reverse each derivative rule to build the basic antiderivatives:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq -1),\quad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C,\quad \int e^x\,dx = e^x+C,$$

$$\int \cos x\,dx = \sin x + C,\quad \int \sin x\,dx = -\cos x + C.$$

Русский

Неопределенный интеграл — это семейство всех первообразных, записываемое с константой интегрирования:

$$\int f(x)\,dx = F(x)+C.$$

Инвертируйте каждое правило дифференцирования, чтобы построить базовые первообразные:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq -1),\quad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C,\quad \int e^x\,dx = e^x+C,$$

$$\int \cos x\,dx = \sin x + C,\quad \int \sin x\,dx = -\cos x + C.$$

6.9

Integrating Using Substitution · ⁨Интегрирование методом замены переменной⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.D: For integrands requiring substitution or rearrangements into equivalent forms: (a) Determine indefinite integrals. (b) Evaluate definite integrals.

FUN-6.D.1 Substitution of variables is a technique for finding antiderivatives.
FUN-6.D.2 For a definite integral, substitution of variables requires corresponding changes to the limits of integration.

Русский

Принцип (FUN-6): Выявление возможностей применения знаний по геометрии и математическим правилам может упростить процесс интегрирования.

Цель обучения FUN-6.D: Для подынтегральных выражений, требующих замены или преобразования к эквивалентным формам: (a) Найти неопределённые интегралы. (b) Вычислить определённые интегралы.

FUN-6.D.1 Метод замены переменной — это техника нахождения первообразных.
FUN-6.D.2 Для определенного интеграла замена переменной требует соответствующей замены пределов интегрирования.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

$u$-substitution 换元积分法 reverses the chain rule. Choose an inside function $u=g(x)$, so $du=g'(x)\,dx$, and rewrite the integral entirely in $u$:

$$\int f\big(g(x)\big)g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.$$

Look for a function and its derivative both present. For a definite integral, either change the limits to $u$-values or convert back to $x$ before substituting the original limits.

Worked example. Evaluate $\int 2x\cos(x^2)\,dx$. The inside function is $u=x^2$, whose derivative $2x\,dx=du$ is present, so

$$\int 2x\cos(x^2)\,dx=\int \cos u\,du=\sin u + C=\sin(x^2)+C.$$

Spotting that $2x$ is exactly $\dfrac{du}{dx}$ is the whole trick.

Русский

Замена $u$ инвертирует правило сложной функции. Выберите внутреннюю функцию $u=g(x)$, так что $du=g'(x)\,dx$, и перепишите интеграл полностью через $u$:

$$\int f\big(g(x)\big)g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.$$

Ищите функцию и её производную, присутствующие одновременно. Для определенного интеграла либо измените пределы интегрирования на значения $u$, либо вернитесь к $x$ перед подстановкой исходных пределов.

Разбор примера. Вычислить $\int 2x\cos(x^2)\,dx$. Внутренняя функция равна $u=x^2$, чья производная $2x\,dx=du$ присутствует, поэтому

$$\int 2x\cos(x^2)\,dx=\int \cos u\,du=\sin u + C=\sin(x^2)+C.$$

Заметить, что $2x$ в точности равно $\dfrac{du}{dx}$, — это весь секрет приема.

6.10

Long Division and Completing the Square · ⁨Деление уголком и выделение полного квадрата⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.D: For integrands requiring substitution or rearrangements into equivalent forms: (a) Determine indefinite integrals. (b) Evaluate definite integrals.

FUN-6.D.3 Techniques for finding antiderivatives include rearrangements into equivalent forms, such as long division and completing the square.

Русский

Принцип (FUN-6): Выявление возможностей применения знаний по геометрии и математическим правилам может упростить процесс интегрирования.

Цель обучения FUN-6.D: Для подынтегральных выражений, требующих замены или преобразования к эквивалентным формам: (a) Найти неопределённые интегралы. (b) Вычислить определённые интегралы.

FUN-6.D.3 Методы нахождения первообразных включают преобразование к эквивалентным формам, такие как деление уголком и выделение полного квадрата.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Two algebraic set-up moves let more integrals fit the basic forms: polynomial long division 多项式长除法 when the top degree is $\ge$ the bottom degree of a rational function, and completing the square 配方法 to turn a quadratic denominator into a form that integrates to an arctangent or logarithm.

Русский

Два алгебраических преобразования позволяют включить больше интегралов в базовые формы: деление уголком, когда степень числителя $\ge$ степени знаменателя рациональной дроби, и выделение полного квадрата, чтобы превратить квадратичный знаменатель в форму, интегрируемую как арктангенс или логарифм.

6.14

Selecting Techniques for Antidifferentiation · ⁨Выбор методов антидифференцирования⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

This topic is intended to focus on the skill of selecting an appropriate procedure for antidifferentiation. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to antidifferentiation.

Русский

Эта тема посвящена отработке навыка выбора подходящей процедуры для антидифференцирования. Ученикам следует предоставить возможность практиковаться в том, когда и как применять все цели обучения, связанные с антидифференцированием.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

A skill topic: match the integral to a method. Try a basic antiderivative first; look for a $u$-substitution (an inside function whose derivative is also present); use algebra (division, completing the square, splitting a fraction) to reshape the integrand into a standard form. Naming the structure first prevents wasted effort.

Русский

Навык по теме: сопоставьте интеграл с методом. Сначала попробуйте базовую первообразную; поищите замену $u$ (внутреннюю функцию, чья производная также присутствует); используйте алгебру (деление, выделение полного квадрата, разложение дроби), чтобы привести подынтегральное выражение к стандартному виду. Название структуры сначала предотвращает напрасные усилия.

6.14

Exam tips · ⁨Советы для экзамена⁩

English

Integration is antidifferentiation; use the power rule $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ and don't forget the $+C$.
The Fundamental Theorem links the two: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, and $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
Approximate a definite integral with Riemann sums or the trapezoidal rule from a table of values.
A definite integral is a signed area (below the axis counts negative); split at sign changes for total area.
Use u-substitution and remember to change the limits (or back-substitute) accordingly.

Русский

Интегрирование — это антидифференцирование; используйте правило степени $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ и не забудьте про $+C$.
Основная теорема связывает их: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, а также $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
Приближенно вычислите определенный интеграл с помощью сумм Римана или правила трапеций по таблице значений.
Определенный интеграл — это алгебраическая площадь (под осью считается отрицательной); разбивайте на участках смены знака для получения полной площади.
Используйте замену u и помните об изменении пределов (или обратном переходе) соответствующим образом.

Interactive lessons on this topic · ⁨Интерактивные уроки по этой теме⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.⁩

Past Papers · ⁨Архив экзаменационных работ⁩

More topics in AP Calculus AB · ⁨Больше тем в AP Calculus AB⁩