Contextual Applications of Differentiation · ⁨Контекстные применения дифференцирования⁩

Как только вы научитесь вычислять производные, вы сможете использовать их для описания реального мира. Производная $f'(x)$ является мгновенной скоростью изменения величины $f$ по отношению к её аргументу. Правильное чтение и формулировка этой скорости — оцениваемый навык.

Единицы измерения имеют значение. Единица измерения $f'(x)$ равна единице измерения $f$, деленной на единицу измерения $x$. Если $C(t)$ — это количество акров, а $t$ — недели, то $C'(t)$ выражается в акрах в неделю. На экзамене задание «Используя правильные единицы измерения, интерпретируйте смысл $g'(140)$» требует полного предложения: значение, величину, слово скорости per («в») и момент времени. Например: «$g'(140)=2.3$ означает, что в момент времени $x=140$ величина увеличивается примерно на $2.3$ единиц в единицу $x$.»

Для частицы, движущейся по прямой, три функции времени связаны через дифференцирование:

• положение $s(t)$;
• скорость $v(t)=s'(t)$ – со знаком; знак указывает направление движения;
• ускорение $a(t)=v'(t)=s''(t)$.

Ключевые показания (частые части экзаменационных заданий):

• Частица покоится, когда $v(t)=0$.
• Она движется вправо/вверх, когда $v(t)>0$, и влево/вниз, когда $v(t)<0$; меняет направление в точках, где $v$ меняет знак.
• Скорость — это $|v(t)|$. Скорость увеличивается, когда $v$ и $a$ имеют одинаковый знак (частица ускоряется), и уменьшается, когда они имеют разные знаки.

Разобранное решение. Частица движется со $s(t)=t^3-6t^2+9t$. Тогда $v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$, поэтому она находится в покое при $t=1$ и $t=3$, меняя направление на каждом из этих точек. При $t=2$ $v(2)=3(1)(-1)=-3<0$ (движение влево) и $a(2)=6(2)-12=0$; сразу после этого $a>0$, пока $v<0$, так что там она замедляется. Внимательно различайте скорость (имеет направление) и модуль скорости (не имеет) — экзамен проверяет именно эту разницу.

Та же идея производной моделирует любую изменяющуюся величину: опустошающийся резервуар, растущую популяцию, остывающую чашку. Когда задача содержит фразу «скорость изменения...», это означает производную. Ознакомьтесь с единицами измерения, чтобы понять, скорость какой именно величины указана, и интерпретируйте результат в контексте задачи.

В задаче о связанных скоростях несколько величин изменяются вместе со временем, вам известны некоторые скорости, но нужно найти другую. Двигатель этой задачи — правило цепочки: дифференцируйте связь по времени $t$. Каждая переменная становится функцией $t$, поэтому каждая производная получает множитель «$\,/\,dt$». Также могут потребоваться правила произведения и частного.

Надежная процедура — и шаблон для получения полного балла на экзамене:

1. Обозначьте переменные и запишите известные скорости и неизвестную скорость (например, «$\dfrac{dh}{dt}=-2$ см/день, найдите $\dfrac{dV}{dt}$»).
2. Запишите уравнение, связывающее величины (часто геометрическая или формула объема).
3. Дифференцируйте обе части по $t$ (правило цепочки) — до подстановки чисел.
4. Подставьте известные значения в интересующий момент и решите относительно неизвестной скорости.
5. Укажите ответ с единицами измерения и правильным знаком (у убывающей величины скорость отрицательна).

Разбор примера. Воздух накачивается в сферический шарик, так что его объем увеличивается со скоростью $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. С какой скоростью увеличивается радиус, когда $r=5\ \text{cm}$? Начните с формулы $V=\tfrac43\pi r^3$ и продифференцируйте её по переменной $t$ сначала:

Подстановка значения $r=5$ слишком рано — классическая ошибка: сначала продифференцируйте общую зависимость, а затем подставьте значение.

Рядом с точкой касания гладкая кривая выглядит как касательная прямая — это локальная линейность. Так что касательная дает линейное приближение (линеаризацию) функции вблизи этой точки:

Используйте её для оценки значения $f$ в точке $x$, близкой к $a$.

Разбор примера. Оцените значение $\sqrt{4.1}$. Возьмите точку $f(x)=\sqrt{x}$ и значение функции $a=4$: получаем $f(4)=2$ и производную $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, значит $f'(4)=\dfrac14$. Затем вычисляем приближенное значение $L(4.1)=2+\tfrac14(4.1-4)=2.025$ (истинное значение составляет $2.0248\ldots$). Поскольку график функции $\sqrt{x}$ выпуклый вверх, касательная проходит выше кривой, поэтому это несколько завышенная оценка — обоснуйте завышение или занижение, используя знак второй производной $f''$.

Когда прямая подстановка в частное пределов дает неопределенную форму $\dfrac{0}{0}$ или $\dfrac{\infty}{\infty}$, можно воспользоваться правилом Лопиталя:

при условии существования правостороннего предела. Продифференцируйте числитель и знаменатель отдельно (это не правило частного), затем снова попробуйте вычислить предел. Сначала убедитесь, что форма действительно является $\tfrac{0}{0}$ или $\tfrac{\infty}{\infty}$ — применение правила к любой другой форме является ошибкой.

Разбор примера. Вычислите предел $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$. Подстановка дает $\tfrac00$, поэтому продифференцируем числитель и знаменатель: получаем $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=\cos 0=1$ – подтверждая знаменитый предел из раздела 1.

• В задачах движения: скорость есть производная от положения, ускорение — производная от скорости; скорость увеличивается, когда скорость и ускорение имеют одинаковый знак.
• Для связанных скоростей продифференцируйте связывающее уравнение по времени, затем подставьте данные значения последними.
• Используйте касательную прямую для линейного приближения рядом с известной точкой; она точна только в непосредственной близости.
• Чтение знака скорости: положительный означает, что величины изменяются в одном направлении, отрицательный — в противоположном.
• Всегда указывайте единицы измерения и интерпретируйте ответ в контексте.