Внимательно посмотрите на эту функцию: синус от квадрата икса. На самом деле это две функции, одна внутри другой. Сначала возведите аргумент в квадрат. Затем вычислите синус от…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
3.1
The Chain Rule · Правило сложной функции
Syllabus · Программа
English
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.C: Calculate derivatives of compositions of differentiable functions.
FUN-3.C.1 The chain rule provides a way to differentiate composite functions.
Русский
Принцип (FUN-3): Осознание возможностей применения правил дифференцирования может упростить процесс нахождения производных.
Цель обучения FUN-3.C: Вычислять производные композиций дифференцируемых функций.
FUN-3.C.1 Цепное правило предоставляет способ дифференцирования сложных функций.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
English
The chain rule
Unit 2 differentiated single functions. Unit 3 differentiates functions built inside other functions. The chain rule 链式法则 differentiates a composite function 复合函数$f\big(g(x)\big)$:
"Derivative of the outer function (leaving the inside alone), times the derivative of the inside." The inner derivative $g'(x)$ is the piece students forget, so always ask "what is the inside, and what is its derivative?" Example:
$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$
In Leibniz notation, with $y=f(u)$ and $u=g(x)$, the rule reads $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – the intermediate $du$ appears to "cancel." Exam questions often give a table for $f$, $g$, $f'$, $g'$ and ask for $h'(a)$ where $h(x)=f\big(g(x)\big)$; evaluate $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ by reading values.
Worked example. Differentiate $h(x)=(2x^2+1)^5$. The outer function is "(something)$^5$", the inner is $2x^2+1$:
Единица 2 дифференцировала одиночные функции. Единица 3 дифференцирует функции, встроенные внутрь других функций. Правило сложной функции дифференцирует составную функцию$f\big(g(x)\big)$:
"Производная внешней функции (оставляя внутреннюю нетронутой), умноженная на производную внутренней." Внутренняя производная $g'(x)$ — та часть, которую студенты забывают, поэтому всегда спрашивайте «что внутри и какова его производная?» Пример:
$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$
В нотации Лейбница, с $y=f(u)$ и $u=g(x)$, правило читается как $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ — промежуточный $du$ seemingly «сокращается». Экзаменационные вопросы часто дают таблицу для $f$, $g$, $f'$, $g'$ и просят найти $h'(a)$, где $h(x)=f\big(g(x)\big)$; вычислите $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$, считывая значения.
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.D: Calculate derivatives of implicitly defined functions.
FUN-3.D.1 The chain rule is the basis for implicit differentiation.
Русский
Принцип (FUN-3): Осознание возможностей применения правил дифференцирования может упростить процесс нахождения производных.
Цель обучения FUN-3.D: Вычислять производные неявно заданных функций.
FUN-3.D.1 Цепное правило является основой неявного дифференцирования.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
English
Some curves are defined implicitly – by an equation in $x$ and $y$ that is not solved for $y$, such as $x^2+y^2=25$. Implicit differentiation 隐函数求导 finds $\dfrac{dy}{dx}$ without solving for $y$ first. It is just the chain rule, treating $y$ as a function of $x$.
The method: differentiate both sides with respect to $x$; every time you differentiate a $y$-term, multiply by $\dfrac{dy}{dx}$ (the chain rule); then solve algebraically for $\dfrac{dy}{dx}$. For $x^2+y^2=25$:
Worked example. Find the tangent line to the circle $x^2+y^2=25$ at the point $(3,4)$. From above $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}=-\dfrac{3}{4}$ there, so the tangent is
$$y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3).$$
Notice the tangent is perpendicular to the radius, as geometry promises – a good sanity check.
Exam skill – "Show that $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". This exact prompt appears most years (e.g. "Show that $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Because the target is given, you must show every algebra step cleanly: differentiate both sides, use the product/chain rules on mixed $xy$ terms, collect all $\dfrac{dy}{dx}$ terms on one side, factor, and divide. A correct final line that skips the algebra earns little. Follow-up parts then ask for a tangent line, or where the tangent is horizontal ($\tfrac{dy}{dx}=0$, so the numerator is $0$) or vertical (the denominator is $0$).
Русский
Некоторые кривые определены неявно — уравнением от $x$ и $y$, которое не разрешено относительно $y$, например $x^2+y^2=25$. Неявное дифференцирование находит $\dfrac{dy}{dx}$ без предварительного решения относительно $y$. Это просто правило сложной функции, рассматривающее $y$ как функцию от $x$.
Метод: продифференцируйте обе части по $x$; каждый раз, когда вы дифференцируете член с $y$, умножайте на $\dfrac{dy}{dx}$ (правило сложной функции); затем алгебраически решите относительно $\dfrac{dy}{dx}$. Для $x^2+y^2=25$:
Разбор примера. Найдите касательную к окружности $x^2+y^2=25$ в точке $(3,4)$. Из вышеизложенного следует, что там $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}=-\dfrac{3}{4}$, поэтому касательная имеет вид
$$y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3).$$
Заметьте, что касательная перпендикулярна радиусу, как и обещает геометрия — это хорошая проверка на здравый смысл.
Неявное дифференцирование дает касательную к окружности, перпендикулярную радиусу
Экзаменационный навык – «Докажите, что $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$».» Этот точный запрос встречается каждый год (например, «Докажите, что $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$»). Поскольку целевое выражение задано, необходимо показать каждый алгебраический шаг четко: продифференцировать обе стороны, применить правила произведения/цепного правила для смешанных $xy$ членов, собрать все $\dfrac{dy}{dx}$ члены с одной стороны, вынести за скобки и разделить. Правильная финальная строка, пропускающая алгебру, получает мало баллов. В последующих частях просят найти касательную или место, где касательная горизонтальна ($\tfrac{dy}{dx}=0$, поэтому числитель равен $0$) или вертикальна (знаменатель равен $0$).
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.E: Calculate derivatives of inverse and inverse trigonometric functions.
FUN-3.E.1 The chain rule and definition of an inverse function can be used to find the derivative of an inverse function, provided the derivative exists.
Русский
Принцип (FUN-3): Осознание возможностей применения правил дифференцирования может упростить процесс нахождения производных.
Цель обучения FUN-3.E: Вычислять производные обратных и обратных тригонометрических функций.
FUN-3.E.1 Цепное правило и определение обратной функции могут быть использованы для нахождения производной обратной функции, при условии существования её производной.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
English
If $g$ is the inverse function 反函数 of $f$ (so $f(g(x))=x$), the chain rule links their derivatives:
In words: the derivative of the inverse at a point is the reciprocal 倒数 of the derivative of the original function at the matching point. A common exam setup gives a table and a point $(a,b)$ on $f$ (so $(b,a)$ is on $g$), then asks for $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.
Worked example. Suppose $f(2)=5$ and $f'(2)=3$, and $g$ is the inverse of $f$. Because $(2,5)$ lies on $f$, the point $(5,2)$ lies on $g$, and
$$g'(5)=\frac{1}{f'(2)}=\frac{1}{3}.$$
The graphs of $f$ and $g$ are mirror images across $y=x$, so their slopes at matching points are reciprocals.
Русский
Если $g$ является обратной функцией для $f$ (так что $f(g(x))=x$), правило цепочки связывает их производные:
Простыми словами: производная обратной функции в точке равна обратной величине производной исходной функции в соответствующей точке. Типичный экзаменационный вариант представляет таблицу и точку $(a,b)$ на графике $f$ (таким образом, точка $(b,a)$ находится на графике $g$), а затем просит найти $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.
Обратная функция является зеркальным отражением функции относительно прямой y = x
Разбор примера. Предположим, что $f(2)=5$ и $f'(2)=3$, а $g$ является обратной функцией для $f$. Поскольку точка $(2,5)$ лежит на графике $f$, точка $(5,2)$ лежит на графике $g$, и
$$g'(5)=\frac{1}{f'(2)}=\frac{1}{3}.$$
Графики $f$ и $g$ являются зеркальным отражением друг друга относительно $y=x$, поэтому их угловые коэффициенты в соответствующих точках являются взаимно обратными величинами.
Explore · Исследовать
An exponential and its inverse the logarithm · Экспонента и обратная ей логарифмическая функция
y = a·e^(bx) + c
Inverse functions are mirror images across $y=x$, and their slopes are reciprocals: $\frac{d}{dx}[f^{-1}(x)] = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Where one is steep, its inverse is shallow. · Обратные функции являются зеркальными отражениями относительно $y=x$, а их наклоны взаимно обратны: $\frac{d}{dx}[f^{-1}(x)] = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Там, где одна функция крутая, обратная ей — пологая.
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.E: Calculate derivatives of inverse and inverse trigonometric functions.
FUN-3.E.2 The chain rule applied with the definition of an inverse function, or the formula for the derivative of an inverse function, can be used to find the derivatives of inverse trigonometric functions.
Русский
Принцип (FUN-3): Осознание возможностей применения правил дифференцирования может упростить процесс нахождения производных.
Цель обучения FUN-3.E: Вычислять производные обратных и обратных тригонометрических функций.
FUN-3.E.2 Применение цепного правила вместе с определением обратной функции или формулы производной обратной функции может быть использовано для нахождения производных обратных тригонометрических функций.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
English
The same idea gives the derivatives of the inverse trigonometric functions 反三角函数. The three you should know:
$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
Combine these with the chain rule when the input is itself a function, e.g. $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
Русский
Та же идея приводит к формулам производных для обратных тригонометрических функций. Три из них, которые нужно знать:
$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
Комбинируйте их с правилом сложной функции, если аргументом является сама функция, например $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
3.5
Selecting Procedures for Calculating Derivatives · Выбор методов вычисления производных
Syllabus · Программа
English
This topic is intended to focus on the skill of selecting an appropriate procedure for calculating derivatives. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to calculating derivatives.
Русский
Эта тема предназначена для сосредоточения на навыке выбора подходящей процедуры для вычисления производных. Студентам следует предоставить возможность практиковать, когда и как применять все цели обучения, связанные с вычислением производных.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
English
A skill topic: real derivatives mix several rules, so read the structure of the expression first, from the outside in.
Is it a sum? Differentiate term by term.
A product or quotient? Apply that rule, and expect to use the chain rule inside.
A composite (something inside something)? Chain rule.
Given implicitly? Implicit differentiation.
Name the outermost operation, apply its rule, and recurse inward. Neatness prevents the sign and bookkeeping errors that cost marks.
Русский
Тема навыков: реальные производные сочетают несколько правил, поэтому сначала прочитайте структуру выражения, двигаясь от внешнего к внутреннему.
Это сумма? Продифференцируйте каждое слагаемое по отдельности.
Произведение или частное? Примените соответствующее правило и ожидайте использования правила сложной функции внутри.
Это композитная (что-то внутри чего-то)? Правило сложной функции.
Задана неявно? Неявное дифференцирование.
Назовите внешнюю операцию, примените к ней правило и рекурсивно переходите внутрь. Аккуратность предотвращает ошибки со знаками и счетом, за которые снижают баллы.
3.6
Calculating Higher-Order Derivatives · Вычисление производных высших порядков
Syllabus · Программа
English
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.F: Determine higher order derivatives of a function.
FUN-3.F.1 Differentiating $f'$ produces the second derivative $f''$, provided the derivative of $f'$ exists; repeating this process produces higher-order derivatives of $f$.
FUN-3.F.2 Higher-order derivatives are represented with a variety of notations. For $y = f(x)$, notations for the second derivative include $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$, and $y''$. Higher-order derivatives can be denoted $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ or $f^{(n)}(x)$.
Русский
Принцип (FUN-3): Осознание возможностей применения правил дифференцирования может упростить процесс нахождения производных.
Цель обучения FUN-3.F: Определять производные более высокого порядка функции.
FUN-3.F.1 Дифференцирование $f'$ дает вторую производную $f''$, при условии существования производной от $f'$; повторение этого процесса порождает производные более высокого порядка от $f$.
FUN-3.F.2 Производные более высокого порядка представляются с помощью различных обозначений. Для $y = f(x)$ обозначения второй производной включают $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$ и $y''$. Производные более высокого порядка могут обозначаться как $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ или $f^{(n)}(x)$.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
English
Differentiating $f'$ produces the second derivative 二阶导数$f''$; repeating gives higher-order derivatives. The notations:
$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$
The second derivative measures how the slope is changing; it drives concavity 凹凸性 and acceleration in later units. To find $f''$ implicitly, differentiate the expression for $\dfrac{dy}{dx}$ again (with the quotient and chain rules), then substitute $\dfrac{dy}{dx}$ back in.
Русский
Дифференцирование $f'$ дает вторую производную$f''$; повторение процесса порождает производные более высоких порядков. Обозначения:
$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$
Вторая производная измеряет скорость изменения углового коэффициента; она определяет выпуклость (вогнутость) и ускорение в последующих разделах. Чтобы найти $f''$ неявно, продифференцируйте выражение для $\dfrac{dy}{dx}$ еще раз (используя правила частного и сложной функции), а затем подставьте обратно $\dfrac{dy}{dx}$.
Explore · Исследовать
Slope of the slope: the second derivative · Наклон наклона: вторая производная
y = ax³ + bx² + cx + d
Differentiating again gives the second derivative — the rate at which the slope changes. Where the tangent's slope is itself increasing, the curve bends upward (concave up). · Дальнейшее дифференцирование дает вторую производную — скорость изменения наклона. Если наклон касательной сам увеличивается, кривая изгибается вверх (выпуклость вниз).
3.6
Exam tips · Советы для экзамена
English
Use the chain rule for composite functions — differentiate the outside, then multiply by the derivative of the inside (the most-forgotten factor).
For implicit differentiation, differentiate both sides with respect to $x$ and attach $\tfrac{dy}{dx}$ each time $y$ is differentiated, then solve.
Get the second derivative by differentiating twice (velocity → acceleration).
Combine rules carefully in layered expressions (chain inside product, etc.).
The inverse function's graph is the reflection in $y=x$; its slope is the reciprocal of the original's at the matching point.
Русский
Используйте правило сложной функции для композитных функций — дифференцируйте внешнюю часть, затем умножьте на производную внутренней (самый часто забываемый множитель).
Для неявного дифференцирования продифференцируйте обе части по переменной $x$ и присоедините $\tfrac{dy}{dx}$ каждый раз, когда дифференцируется $y$, затем решите полученное уравнение.
Получите вторую производную, продифференцировав дважды (скорость → ускорение).
Тщательно комбинируйте правила во вложенных выражениях (сложная функция внутри произведения и т.д.).
График обратной функции представляет собой отражение графика исходной функции относительно прямой $y=x$; его угловой коэффициент в соответствующей точке является взаимно обратной величиной к угловому коэффициенту исходной функции.
Interactive lessons on this topic · Интерактивные уроки по этой теме
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.
Pick one and the site follows you — notes, papers, videos and practice all open on it. · Выберите один, и сайт будет вести вас — конспекты, работы, видео и практика откроются там.
Type to search notes, lessons, code, vocabulary and past-paper questions across every subject. · Введите запрос для поиска заметок, уроков, кода, словаря и вопросов с реальных экзаменов по всем предметам.
